Dérivations
Bonjour tout le monde,
soit $\mathbb{K}$ un corps de caractéristique nulle et $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $1$. On appelle dérivation de l'algèbre $M_n (\mathbb{K})$ tout endomorphisme $d$ de l'espace vectoriel $M_n (\mathbb{K})$ vérifiant :
$$
\forall (A,B)\in M_n (\mathbb{K}),\quad d(AB)=d(A)B+Ad(B).
$$
Théorème : pour toute dérivation de $M_n (\mathbb{K})$, il existe une matrice $A$ telle que
$$
\forall M\in M_n (\mathbb{K}), \quad d(M)=AM-MA.
$$
1. Je cherche une référence avec ISBN pour ce résultat (j'ai deux sujets de concours où c'est fait, mais c'est du dématérialisé).
2. Connaissez-vous des généralisations ?
Merci.
soit $\mathbb{K}$ un corps de caractéristique nulle et $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $1$. On appelle dérivation de l'algèbre $M_n (\mathbb{K})$ tout endomorphisme $d$ de l'espace vectoriel $M_n (\mathbb{K})$ vérifiant :
$$
\forall (A,B)\in M_n (\mathbb{K}),\quad d(AB)=d(A)B+Ad(B).
$$
Théorème : pour toute dérivation de $M_n (\mathbb{K})$, il existe une matrice $A$ telle que
$$
\forall M\in M_n (\mathbb{K}), \quad d(M)=AM-MA.
$$
1. Je cherche une référence avec ISBN pour ce résultat (j'ai deux sujets de concours où c'est fait, mais c'est du dématérialisé).
2. Connaissez-vous des généralisations ?
Merci.
Réponses
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Une généralisation : les dérivations sur une algèbre de Lie $\mathfrak g$ (ici $\mathcal M_n(\mathbb K)$ est l'algèbre de Lie de $\mathsf{GL}_n(\mathbb K)$) forment l'algèbre de Lie du groupe des automorphismes (d'algèbre de Lie) de $\mathfrak g$. Mais ça dépasse le cadre de l'agreg :-D
-
Et $M\mapsto-M^{\mathsf{T}}$, ce n'est plus un automorphisme, alors ?
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Ce n'est pas un automorphisme d'algèbre de Lie, si ?
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L'automorphisme indiqué par Math Coss est bien un automorphisme d'algèbres de Lie, mais je ne vois pas en quoi ça contredit le message de Poirot qui précède.
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En effet, en lisant plus attentivement, ça ne contredit pas ce message mais ça contredit celui-ci. Comme d'habitude j'ai lu trop vite et refait la phrase fausse suivante dans ma tête : « $\mathrm{GL}_n(\mathbf{K})$ est le groupe des automorphismes de $\mathcal{M}_n(\mathbf{K})$. »
Pour dire les choses plus directement, le groupe des automorphismes de l'algèbre de Lie $\mathcal{M}_n(\mathbf{K})$ est le produit semi-direct de $\mathrm{PGL}_n(\mathbf{K})$ par $\Z/2\Z$, ce dernier groupe étant réalisé par $M\mapsto-M^{\mathsf{T}}$. L'algèbre de Lie de ce groupe s'identifie à l'espace des matrices de trace nulle $\mathfrak{sl}_n(\mathbf{K})$ muni du commutateur.
(Ici, $\mathbf{K}$ est $\R$ ou $\C$.) -
Bon bah c'est moi qui ne comprend plus. Si $M$ et $N$ sont des matrices, $[-\,^tM, -\,^tN] = \,^tM^tN - \,^tN^tM$, pourquoi est-ce ça doit être égal à $[M,N]$ ?
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Bonjour,
merci pour ces contributions. Sinon pour une référence accessible avec ISBN du résultat de départ, des idées ?
Je vous avoue ne pas avoir le temps de me plonger dans la théorie des représentations des algèbres de Lie.
Au pire je ferai jouer ma mémoire déjà bien encombrée ! -
Poirot, tu es distrait : un automorphisme est caractérisé par $f\bigl([M,N]\bigr)=\bigl[f(M),f(N)\bigr]$ et pas par $f\bigl([M,N]\bigr)=[M,N]$. Or on a bien \[[-\,^tM, -\,^tN] = \,^tM^tN - \,^tN^tM={\vphantom{\bigl(\bigr)}}^t\bigl(NM-MN\bigr)=-{\vphantom{\bigl(\bigr)}}^t\bigl([M,N]\bigr).\]
-
Je pensais plutôt à $[f(M),f(N)] = [M,N]$. Merci.
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