Veau Frais (2)

Sympa cette question. Merci Ev.

On peut montrer que s'il existe une telle fonction alors $1=0$.
Donc c'est faux 8-)

Foys a écrit:

On peut montrer que s'il existe une telle fonction alors 1=0.

Oui.

Foys a écrit:

Donc c'est faux.

Non.

ev a écrit:

L'épreuve de maths (en option) à l'entrée de Sciences-Po Paris date de quelques années.
Il s'agit d'une orientation vers les masters de finances communs aux grandes écoles parisiennes.

Je comprends de moins en moins. Si c'est une orientation vers les masters de finances communs aux grandes écoles parisiennes, pourquoi le programme est-il celui de 1S/TS ?

Bon, en toute rigueur on montre que "pour tout $f$, $\big [$ $f\in \R^{\R}$, $f$ est dérivable, $f(0)=0$ et $1+f^2=f'$ $\Longrightarrow$ "les martiens existent" $\big ] $ . Les histoires de $f=c+tangente$ ne jouent en fait aucun rôle.
L'énoncé affirme qu'il a déjà une telle $f$ à sa disposition. C'est son problème.

Dès qu'on suppose l'existence d'une telle $f$, le théorème des accroissements finis entraîne l'existence de $x\in ]-1,0[$ tel que $f(-1)=f(-1)-f(0)=-f'(x) = -(1+f(x)^2))$ qui est strictement négatif.
Il entraîne aussi accessoirement celle de $y\in ]-10.5\pi,0[$ tel que $f(-10.5\pi)=f(-10.5\pi)-f(0)=-10.5\pi f'(y)$.

Fin de partie a écrit:

D'où vous tirez qu'on peut en déduire que $0=1$ ?

(un exemple parmi tant d'autres).
Soit $t$ un réel à la fois strictement positif et strictement négatif.
Alors $t=\frac{t}{|t|}=1$ et $t=\frac{t}{|t|}=-1$. Donc $0=\frac{-1+1}{2}=\frac{t+1}{2}=\frac{1+1}{2}=1$.

Je suis en train de discuter de l'existence d'une telle fonction telle que définie dans l'énoncé.

Si on n'est pas regardant sur l'existence de cette fonction alors pour moi la réponse est, FAUX.
La fonction dérivée est strictement positive sur son domaine de définition donc $f$ est strictement croissante et $1>0,f(1)=0$
Ce qui veut dire que la fonction est négative sur l'intervalle $[-1,0]$.

Foys:
Un réel à la fois strictement positif ET strictement négatif? Tu sais que le premier avril est passé? B-)-

@Foys (et sans doute ev ? je mets des vous dans la suite dans le doute, mais on peut dire que je vouvoie foys),

Je viens de comprendre votre point de vue : vous estimez qu'on doit (ou du moins qu'on peut) répondre "faux" lorsque la négation de l'énoncé est démontrable.

Ce n'est pas ainsi que je comprends le principe d'un questionnaire vrai/faux (mais j'ai peut-être tort), je comprends qu'il faut répondre "vrai" lorsque l'énoncé est démontrable et faux dans tout autre cas (y compris si la négation n'est pas démontrable). Donc, avec mon interprétation, ici il faut répondre "vrai" car l'énoncé est démontrable.

Le problème de l'interprétation que je vous attribue c'est que vous ne pouvez rien répondre (ni vrai ni faux) si l'énoncé n'est ni réfutable ni démontrable.
Imaginons que l'énoncé soit :
"Soit $f$ une fonction à valeurs réelles, dérivable sur $\R$.
On a $\forall x\in\R,\ f'(x)=f(x)$.
Affirmation : $f$ est strictement positive sur l'intervalle $[-1,0]$."
Moi je réponds "faux", parce que l'énoncé n'est pas démontrable. Mais si on se tient à la règle que je vous attribue, vous ne pouvez rien répondre du tout, car il n'est pas réfutable non plus.

Je trouve (sans surprise :-P) ma façon de comprendre le principe d'un vrai/faux plus convaincante.

(J'ai tant vieilli que ça? On me vouvoie de plus en plus)
Nîmes-man:

Les quatre énoncés suivants sont des théorèmes de maths ($D(f)$ abrégeant "$f$ est dérivable")
1.a°) $\forall f \left [ \left (f \in \R^{\R} \wedge D(f) \wedge f'=1+f^2\right) \Rightarrow \forall x\in [-1,0], f(x)>0\right ]$
1.b°) $\forall f \left [ \left (f \in \R^{\R} \wedge D(f) \wedge f'=1+f^2 \right) \Rightarrow \neg\left (\forall x\in [-1,0], f(x)>0 \right )\right ]$
1.c°) $\forall f \left [\left (f \in \R^{\R} \wedge D(f) \wedge f'=1+f^2 \right ) \Rightarrow \forall x\in [-1,0], f(x)<0\right ]$
2°) $\left ( \forall f \left [\left (f\in \R^{\R} \wedge D(f) \wedge f'=f \right )\Rightarrow \forall x\in [-1,0], f(x)>0 \right ]\right ) \Rightarrow -2=-7$

Les affirmations commençant par "soit $f$" sont parfois ambiguës(*). Le problème est que "soit $f$..." introduit un contexte (un nom ou une liste de noms déclarés d'objets).
Or seul un énoncé totalement quantifié (sans variable libre) est suceptible d'avoir une valeur de vérité (vrai/faux).
Les énoncés du contexte $a_1,...,a_n$ (i.e. dont toutes les variable libres sont dans $a_1,...,a_n$), au lieu d'être vrais ou faux, s'interprètent comme des fonctions de $E_1 \times ... \times E_n$ dans $\{vrai,faux\}$ (où pour chaque $i$, $E_i$ est un ensemble/un type auquel appartient a priori l'objet désigné par $a_i$). Donc de tels énoncés ne sont pas appropriés pour un vrai/faux.




(*)Quand on dit "soit $x$ tel que $P(x)$" en maths c'est en général pour deux raisons.
(i) on veut montrer un énoncé du type $\forall x[P(x) \Rightarrow Q(x)]$
(ii) on sait déjà qu'il existe au moins un objet $y$ tel que $P(y)$ et on veut mettre à contribution un théorème connu $(\exists z P(z)) \Rightarrow F$ avec $z$ n'apparaissant pas dans $F$, pour en fait démontrer $F$ (NB: quand $u$ n'apparait pas dans $G$ -i.e n'y est pas libre, $(\exists u P(u)) \Rightarrow G$ et $\forall u[P(u) \Rightarrow G]$ sont équivalents).

On voit bien que ce n'est pas le même usage.