BAC S Amérique du nord 2019

Réponses

  • laurenty
    laurenty
    Dans l'exercice sur les suites, pas moyen de descendre en dessous de 10^-15 avec la TI ou la Casio (avec Numworks ça va) . Quelqu'un a une solution niveau terminale ?
  • kioups
    kioups
    Effectivement, ça pose problème : https://tiplanet.org/forum/viewtopic.php?t=22659&p=242592
  • Dom
    Dom
    Mal réveillé, même s’il est 11h30 passé, je trouve que $\ell =0$ dans cet exercice.

    Quelqu’un peut-il me rassurer ?
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    C'est bien cohérent avec le reste de l'exercice.

    Cordialement.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Ils sont très gentils de décomposer en deux questions pour arriver à l'inégalité.
    Cela dit, pour tout $x\geq 0$,
    \begin{align}x-\ln(1+x)&=\int_0^x 1 \,dt-\int_0^x \frac{1}{1+t}\,dt\\
    &=\int_0^x \frac{t}{1+t}\,dt\\
    \end{align}
    L'intégrande étant positive, $x\geq 0$, donc l'intégrale est positive et donc on a l'inégalité cherchée.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    La fonction $g(t)=\dfrac{t}{1+t}$ est strictement croissante sur $]-1,\infty[$. sur $[0;1]$ cette fonction est majorée par $\dfrac{1}{2}$.
    On sait que $0<u_n<1$ et que $\displaystyle u_{n+1}=\int_0^{u_n} \dfrac{t}{1+t}\,dt$
    On a donc, sauf erreur, que $u_{n+1}\leq \dfrac{1}{2}u_n$ pour $n$ entier naturel.

    On peut affiner le coefficient $\dfrac{1}{2}$ pour des valeurs de $n$ plus grandes qu'un $n_0$ et en particulier remplacer ce coefficient $\dfrac{1}{2}$ par $\dfrac{1}{10}$.

    Dès que pour tout $n\geq n_0$, ($n_0$ à déterminer) $u_n\in \left[0;\dfrac{1}{9}\right]$ on peut remplacer $\dfrac{1}{2}$ par $\dfrac{1}{10}$

    On peut prendre $n_0=2$ si je ne me suis pas trompé.
  • Audeo
    Audeo
    En écrivant : $$x-\ln(1+x)=\int_0^x \frac{t}{1+t}\mathrm dt=\int_0^x \left(t-\frac{t^2}{1+t}\right)\mathrm dt=\frac{x^2}{2}+g(x)\quad \text{avec} \quad \lvert g(x)\rvert \leq \int_0^xt^2\mathrm dt,$$ on doit pouvoir retrouver ce $n=6$ à partir de $u_4$.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Ce type de raisonnement ne permet d'avoir, en soi, la plus petite valeur $n$ demandée.
    Il faudrait avoir une minoration j'imagine.
  • Audeo
    Audeo
    Partant de $2\cdot 10^{-7}\leq u_4\leq 3\cdot 10^{-7}$, $$f(u_4)\geq \frac{u_4^2}{2}-\frac{u_4^3}{3}\geq 2\cdot 10^{-14}(1-2\cdot 10^{-7})>10^{-15}.$$
    Et en revenant à $f(x)=\int_0^x\frac{t}{1+t}\mathrm dt\leq \int_0^x t\mathrm dt$, on a $u_5=f(u_4)\leq u_4^2\leq 10^{-12}$ puis $u_6=f(u_5)\leq 10^{-24}<10^{-15}$.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Pour tout $x\geq 0$,
    $\displaystyle x-\frac{x^2}{2}-\ln(1+x)=\int_0^x 1 \,dt-\int_0^x t\,dt-\int_0^x\frac{t}{1+t}\,dt=-\int_0^x \frac{t^2}{1+t}\,dt$
    Donc, pour tout $n\geq 0,\displaystyle u_{n+1}\leq \frac{1}{2}u_n^2$
  • Audeo
    Audeo
    @FdP : ??? On a $u_{n+1}\leq u_n^2/2$ pour tout $n\geq 0$ car $u_{n+1}=\int_0^{u_n}\frac{t}{1+t}\mathrm dt\leq \int_0^{u_n} t\mathrm dt=u_n^2/2$. Non ? La ligne qui précède montre plus : pour tout $n\geq 0$, $u_{n+1}-u_n^2/2\geq -u_n^3/3$, d'où l'on tire $u_5>10^{-15}$.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Je ne répondais pas spécialement à ton message.
    Bien sûr qu'on peut minorer $u_n$ mieux que par $0$.

    $\displaystyle x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\ln(1+x)=\int_0^x 1 \,dt-\int_0^x t\,dt+\int_0^x t^2 \,dt\int_0^x\frac{t}{1+t}\,dt=\int_0^x \frac{t^3}{1+t}\,dt $

    Et donc, en effet, on a pour tout $\displaystyle n\geq 0,u_{n+1}\geq \frac{1}{2}u_n^2-\frac{1}{3}u_n^3$
  • Audeo
    Audeo
    Et cela permet de conclure : pour résumer, on a $$\forall x\geq 0, \quad \int_0^x\frac{1}{1+t}\mathrm dt=\int_0^x\Bigl(1-t+\frac{t^2}{1+t}\Bigr)\mathrm dt,$$
    d'où l'on tire $$\forall n\in\N, \quad \frac{u_n^2}2-\frac{u_n^3}3\leq u_{n+1}\leq \frac{u_n^2}2$$ puis $u_6<10^{-15}<u_5$ à partir de $2\cdot 10^{-7}\leq u_4\leq 3\cdot 10^{-7}.$
  • zeitnot
    zeitnot
    Dans le vrai/faux, l'auteur ne pensait-il pas plutôt à $1+e^{-2i x}$ ?
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • vorobichek
    vorobichek
    Le sujet de Liban est aussi disponible: https://www.apmep.fr/IMG/pdf/S_Liban_31_mai_2019.pdf


    Je trouve l'exercice 1 trop chargé, il y a trop de blablabla, trop guidé (au point qu'il est difficile de comprendre le but) et surtout trop formalisé.
    Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O, I, J)$. On considère la fonction $f$ définie sur $]0;1]$ par :
    \[f(x) = \ln x\]
    On note $\mathcal{F}$ la courbe représentative de la fonction $f$. Soient $a$ un réel appratenant à l'intervalle $]0;1]$ et $g$ la tangente à $\mathcal{F}$ au au point $M$ d'abscisse $a$. La tangente coupe l'axe des abscisses au point $N$ et l'axe des ordonnées au point $P$. On cherche à évaluer l'aire du triangle $ONP$.
    1. Déterminer l'equation de la tangente $g$.
    2. Trouver l'aire du triangle $ONP$ pour tout $a \in ]0;1]$.
    3. Calculer la valeur exacte de l'aire de triangle pour $a=0,2$.
    4. Pour quelle valeur de $a$, l'aire du triangle $ONP$ est maximale? Calculer cette aire maximale.
    Pas besoin de la calculatrice. Si l'élève a besoin d'autres notations (p.ex. pour l'aire), c'est à lui de le définir. P.ex. "posons $\mathcal{A}$ l'aire du triangle $ONP$.

    Pourquoi faut-il mettre autant de blablabla?
  • biely
    biely
    @Findepartie
    Que viennent faire toutes ces intégrales dans cet exercice sur les suites sur le sujet de l'Amérique du Nord? quelque chose m'échappe là. ..:)o
  • Audeo
    Audeo
    @biely : @laurenty demandait une solution niveau terminale, pour montrer que le plus petit entier $n$ tel que $u_n<10^{-15}$ est $6$...
  • biely
    biely
    @audeo
    Ok, merci, j'avais zappé ce détail facheux sur le calcul "impossible" (faux plutôt ) sur les calculatrices classiques...du coup je me pose une question: cette "coquille" était-elle volontaire ou non? A mon avis oui car cela permettra de donner les points à tous les élèves...
    Heureusement que les sujets sont censés être vérifiés plusieurs fois...
  • zeitnot
    zeitnot
    Les sujets sont dans doute vérifiés, lus et relus. Mais ils ne sont certainement pas "cobayés" en se mettant en "situation élève". Cela éviterait quelques problèmes pourtant. Un bon cobayage est pourtant essentiel !
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Biely:

    Une manière de redresser un sujet qui a été mal ficelé.
    Parce que bien évidemment la question qui pose problème n'était pas une question piège et qu'elle est toute pourrie. :-D

    PS:
    Après on s'étonne que les questions d'algorithmes donnent lieu à un festival de stupidités de la part des élèves. :-D
  • stephane_idf
    stephane_idf
    Dommage qu'un sujet de bac demandant de montrer que un >=0 alors que la calculatrice imprécise donne les un < 0 à partir de n=5. cela a peut-être instillé le doute pour certains élèves
  • noix de totos
    noix de totos
    À noter que, même si cette machine "passe le cap" de $n=5$, la valeur de $u_6$ fournie par la Numworks (en tout cas son émulateur en ligne : https://www.numworks.com/fr/simulateur/) est très certainement fausse.
  • biely
    biely
    A se demander si ceux qui ont pondu cette question l'ont mal "cobayée" en lisant trop rapidement leur calculatrice qui affiche bien du 10^-15 (faux) mais avec un petit "-" devant qui a peut-être été zappé...(:D
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