Réduction de Jordan

Les deux sont bonnes, il faut juste faire attention à ce qu'on dit. On peut avoir plusieurs "blocs de Jordan" de tailles diverses avec des $1$ sur la surdiagonale. Si un de ces blocs est de taille $1$, il n'y a pas vraiment de $1$ au-dessus ! C'est le cas pour tous les blocs si et seulement si la matrice est diagonalisable. Toute la machinerie des tailles de blocs est cachée dans la suite des noyaux itérés de ta matrice. Je te conseille la lecture du premier tome des Histoires hédonistes de groupes et de géométrie de Philippe Caldero et Jérôme Germoni pour y voir plus clair.

Prenons deux matrices nilpotentes de même taille sous forme de Jordan "avec trois $1$ et un $0$ sur la surdiagonale" : \[\left(\begin{array}{ccccc}0&1&0&0&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\end{array}\right)\quad\text{et}\quad\left(\begin{array}{ccccc}0&1&0&0&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&1\\ 0&0&0&0&0\end{array}\right).\] Ce n'est pas très satisfaisant car le nombre de $1$ sur la surdiagonale n'est pas un bon indicateur : là, c'est le même nombre alors que ces deux matrices ne sont pas semblables. En revanche on peut les découper de façon utile : \[\left(\begin{array}{cccc|c}0&1&0&0&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&0\\\hline 0&0&0&0&0\end{array}\right)\quad\text{et}\quad\left(\begin{array}{ccc|cc}0&1&0&0&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&0&0\\\hline 0&0&0&0&1\\ 0&0&0&0&0\end{array}\right).\]La taille des blocs qui apparaissent ainsi, $4$ et $1$ d'un côté, $3$ et $2$ de l'autre, sont de vrais invariants et ils suffisent pour distinguer les deux matrices (à similitude près).

Bref, si on décrit la matrice avec "une suite de $0$ et de $1$", on n'a rien pas beaucoup d'information. Cela suffit pour montrer qu'une matrice est semblable à sa transposée mais cela ne permet pas de comprendre en quoi le théorème de Jordan est un théorème de classification.

Il serait étonnant de confondre le mathématicien Camille Jordan et le basketteur Michael Jordan. Il est peut-être moins évident que les algèbres de Jordan ont été baptisées d'après le physicien allemand Pascual Jordan.