OIM 2019
Nous sommes en pleine OIM 2019
http://maths-olympiques.fr/?p=2618
Un copain m'a dit qu'il avait résolu le premier problème en un quart d'heure, je le crois car il est très doué. Je l'ai résolu aussi ... mais en plusieurs quarts d'heure !
Sinon, les solutions se trouvent certainement quelque part sur la Toile.
Bonne journée d'été.
http://maths-olympiques.fr/?p=2618
Un copain m'a dit qu'il avait résolu le premier problème en un quart d'heure, je le crois car il est très doué. Je l'ai résolu aussi ... mais en plusieurs quarts d'heure !
Sinon, les solutions se trouvent certainement quelque part sur la Toile.
Bonne journée d'été.
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Réponses
Cela dit, compte tenu de sa préparation, un élève français faisant partie des 6 qui vont aux OIM doit effectivement résoudre ce problème 1, assez rapidement. D'après mes sources, les 6 français auraient résolu cet exercice. Sans doute assez vite d'ailleurs car, c'est assez rare, plusieurs auraient même réussi le problème 3 (et/ou le problème 2). Un joli problème de combinatoire.
A ce sujet, les problèmes intermédiaires et difficiles sont des exos de combi et de géométrie. Il sera sans doute amusant de calculer le rapport (points gagnés en combi)/(points gagnés en géométrie) pour se faire une idée du profil des préparateurs :-D
Pierre.
Pierre.
Domi
Pierre.
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]
Je dirais plutôt à l'X.
Je sors.
cordialement,
AdB
On pose $a=0$ ,alors $f(0)+2f(b)=f(f(b))$.
On pose $b=0$, donc $f(2a)+2f(0)=f(f(a))$.
On fait la somme: $3f(0)+f(2a)+2f(b)=f(f(a))+f(f(b))$. Donc $f(f(a+b))+3f(0)=f(f(a))+f(f(b))$.
Donc il existe $\lambda, \mu \in \Z$ tels que pour tout $x\in \Z$, $f(f(x))=\lambda x+ \mu$ pour
Donc, pour tout $a,b \in \Z$, $f(2a)+2f(b)=\lambda(a+b)+\mu$.
Donc, en choisissant $a=b=0$, on a $\mu=3f(0)$
Donc, en posant $a=0$, on a $2f(b)=\lambda b +\mu -f(0)=\lambda b+2f(0)$
Donc en choisissant $\lambda=1$, on trouve que $\lambda$ est pair égal à $2u$ pour un certain $u\in \Z$.
Donc, il existe $u,v \in \Z$ tel que pour tout $x \in \Z$, $f(x)=ux+v$.
En remplaçant, dans l'équation initiale, on trouve
$u=2$ et $v$ quelconque,
ou $u=0$, et $v=0$.
Je n'ai pas compris pourquoi l'énoncé suppose que $f$ est une application de $\mathbb Z$ dans $\mathbb Z$. Il me semble que pour $f$ de $\mathbb Q$ dans $\mathbb Q$ ça marche aussi.
Par contre, si $f$ est une application de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$, il faut une hypothèse additionnelle si l'on veut avoir seulement les solutions $f(x)=0$ et $f(x)=2x+c$.
Pour les collègues de prépas, on peut en tirer un exercice sur les EVN.
Bonne nuit.
(1) D'après $E(a,0)$ on a $f(f(a))=f(2a)+2c$.
(2) D'après $E(0,a)$ on a $f(f(a))=2f(a)+c$.
(3) Par différence, $f(2a)=2f(a)-c$.
(4) En combinant $E(a+b,0)$ avec (3) on trouve $f(f(a+b))=f(2(a+b))+2c=2f(a+b)+c$.
(5) On soustrait $E(a,b)$, ce qui donne $f(2a)+2f(b)=2f(a+b)+c$. D'après (3) on a $f(a+b)+c=f(a)+f(b)$.
(6) Par conséquent, $x\mapsto f(x)-c$ est linéaire : il existe $\lambda$ tel que $f(x)=\lambda x+c$.
On remplace dans l'équation et on trouve que $\lambda=2$ ou $(\lambda,c)=(0,0)$.
Merci les pédagogos qui ont saboté l'enseignement des mathématiques depuis 20 ans
En 1994 , un français était major du concours (Philippe Golle)
[Un major du concours mérite quand même une majuscule. --JLT]
Précisons qu'il y avait 621 participants
https://www.imo-official.org/year_info.aspx?year=2019
Il y a aussi le classement par pays :
https://www.imo-official.org/results.aspx
La France 25ème sur 112 pays, ce n'est pas trop mal.
Je rappelle le site animaths qui relate le quotidien de l'équipe de France :
http://maths-olympiques.fr/?p=2618
Cela fait plaisir de voir cette jeunesse française douée et motivée, et conservant le caractère de la jeunesse. Dommage qu'ils n'aient pu visiter Stonehenge, haut lieu de mémoire des Européens.
Maintenant, on pourrait toujours souhaiter un meilleur classement pour notre pays, vu la qualité de notre école mathématique. Il me semble qu'on en a déjà parlé. D'accord avec franckfranck, le naufrage de notre enseignement secondaire n'est plus à démontrer. Mais il n'est pas nécessairement corrélé aux résultats de l'équipe de France aux OIM, qui concernent la frange la plus douée-motivée des élèves. Je penserais plutôt au repérage et à la préparation de ceux-ci. Sauf erreur, on compte surtout sur le bénévolat, et il faut saluer ceux qui le pratiquent. Mon idée est qu'il faudrait professionnaliser cette activité, et que des professeurs soient rétribués à temps plein pour cela. Ceci peut se faire à crédits constants, en prenant sur les sommes allouées en pure perte aux secteurs dégradés de notre enseignement, ou bien les détachements de professeurs dans diverses associations bien-pensantes.
Bonne journée.
Toujours les mêmes en tête :
Extrême-Orient (dont USA) et Europe de l'Est.
A+
https://link.springer.com/content/pdf/bbm:978-3-642-14565-0/1.pdf
Classement par pays : https://www.imo-official.org/results.aspx
Pour information, j'ai listé le classement dans l'ordre jusqu'à la France :
1. CHN (République populaire de Chine), USA (États-Unis d'Amérique)
3. KOR (République de Corée)
4. PRK (République populaire démocratique de Corée)
5. THA (Thaïlande)
6. RUS (Russie)
7. VNM (Viêt Nam)
8. SGP (Singapour)
9. SRB (Serbie)
10. POL (Pologne)
11. HUN (Hongrie), UKR (Ukraine)
13. JPN (Japon)
14. IDN (Indonésie)
15. IND (Inde), ISR (Israël)
17. ROU (Roumanie)
18. AUS (Australie)
19. BGR (Bulgarie), IRN (République islamique d'Iran)
21. UNK (Royaume Uni)
22. TWN (Taïwan)
23. KAZ (Kazakhstan)
24. CAN (Canada)
25. FRA (France)
Historique des résultats de la France :
https://www.imo-official.org/country_team_r.aspx?code=FRA
Felix qui potuit rerum cognoscere causas
20/07/2019
Pierre.
Exercice 4. Déterminer tous les couples d'entiers naturels non nuls $(k,n)$ tels que $$k!=(2^n-1)(2^{n}-2)(2^n-4)\cdots (2^n-2^{n-1}).$$
On constate que $(0,1)$, $(1,1)$ et $(3,2)$ sont les seules solutions pour $n\leqslant 3$.
Soit $b_n$ le membre de droite. On a $b_n=2^{n(n-1)/2}(2^n-1)(2^{n-1}-1)\cdots(2-1)$ donc
$n(n-1)/2=v_2(k!)<\frac{k}{2}+\frac{k}{4}+\frac{k}{8}+\cdots<k$.
Soit $a_n=(n(n-1)/2)!$. De ce qui précède on déduit que $a_n<b_n<2^{n^2}$. Notons $c_n=2^{n^2}$.
On calcule que $a_6=15!>2^{36}=c_6$, et pour tout $n\geqslant 6$,
$\frac{a_{n+1}}{a_n}>(n(n-1)/2)^n\geqslant 15^n$ alors que
$\frac{c_{n+1}}{c_n}=2^{2n+1}< 2^{3n}=8^n<15^n$, donc une récurrence immédiate montre que $a_n>c_n$ pour tout $n\geqslant 6$. Il n'y a donc pas de solution pour $n\geqslant 6$.
Il reste à régler les cas $n=3,4,5$.
On a $b_3=2^3\times 7\times 3$. Si $b_3=k!$ alors $7$ divise $k!$ donc $k\geqslant 7$, ce qui implique $5\mid k!=b_3$. Contradiction.
On a $b_4=2^6\times 15\times 7\times 3$, or $v_ 2(7!)=4$ et $v_2(8!)=7$ donc aucune factorielle n'a une $2$-valuation égale à $6$.
On a $b_5=2^{10}\times 31\times 15\times 7\times 3$ qui est divisible par $31$ mais pas par $11$ donc ce n'est pas une factorielle d'après le même argument que pour $b_3$.
Domi
La preuve: les USA ont d'excellents résultats aux OIM alors que l'enseignement des maths là-bas est une catastrophe.
Que se passe-t-il de catastrophique dans l'enseignement des mathématiques aux États-Unis ?
Non, je pense que l'enseignement à l'école, collège et lycée joue un rôle important. Cela permet de préparer le grand vivier des candidats. Moins la réussite en maths à l'école/collège/lycée dépend du statut sociale et des parents, plus grand est le vivier. Le programme et l'enseignement doivent être exigeants et bienveillants. Le but est de ne pas faire le cours pour 1-3 meilleurs, mais faire le cours de sorte que tout le monde a au moins 10/20 et que le 18/20-20/20 est atteignable par beaucoup d'élèves. Si la moitié de la classe a le niveau pour avoir 16/20 - c'est génial!
Après il faut savoir travailler avec ce vivier et trouver les meilleurs avec un très grand potentiel.
Et le troisième ingrédient : il faut de la concurrence entre les établissements d'enseignement supérieur. S'il y a 1500 candidats très doués en maths et prometteurs, ils doivent pouvoir suivre le même enseignement de qualité. On a actuellement que Ulm. 38 admis cette année - c'est ridicule!!! L'université de Lomonosov à Moscou propose 328 places cette année en maths équivalent Ulm. Il y a plusieurs établissements à Moscou, plusieurs à Saint-Petersbourg, un à Novosibirsk. Ils sont tous à peu près, voire plus, équivalent Ulm. Même si le système de détection des talents ne t'a pas remarqué, tu as toujours une chance de faire des maths très poussées. Il suffit de bosser au collège/lycée. Même s'il est dans un village pommé.
Tant que le programme français reste indigeste, tant qu'il n'y a pas de manuels de maths au collège/lycée, tant que l'enseignement de maths est réservé à une poignée des personnes bien informées... on sera toujours à la traine. Et avec le temps l'enseignement supérieur va le sentir.
Considérons les $2^{n-1}$ mots finissant par $T$. Le processus est exactement le même que le processus tronqué en ignorant la dernière lettre, donc il se finit en moyenne au bout de $u_{n-1}$ étapes.
Considérons les $2^{n-1}$ mots finissant par $H$. Tant que le mot n'est pas uniquement constitué de $H$, le processus est le même que le processus tronqué en ignorant la dernière lettre, mais en permutant les rôles de $T$ et $H$ et en comptant à partir de la droite et non à partir de la gauche. Au bout de $u_{n-1}$ étapes en moyenne, on arrive au mot $HH\cdots H$. Il est clair qu'il reste exactement $n$ étapes pour arriver au mot $TT\cdots T$ donc, pour les $2^{n-1}$ mots finissant par $H$, le processus se finit en $u_{n-1}+n$ étapes en moyenne.
On en déduit que $u_n=u_{n-1}+\frac{n}{2}$ donc $u_n=n(n+1)/4$ par récurrence.
https://www.imo-official.org/country_individual_r.aspx?code=USA
Au classement PISA, les Etats-Unis ne font pas mieux que la France.
https://www.linternaute.com/actualite/education/1310839-pisa-2019-combien-de-points-obtient-la-france/
On pourrait donc en trouver aussi pour la préparation des compétiteurs .
Je trouve très intéressante cette photo:
C'est un scandale ! Où est la parité ?
A+
P.S. Image du site web https://ioelondonblog.wordpress.com/2017/12/04/how-similar-are-the-pisa-and-timss-studies/
Le France a participé à TIMSS en 95 et 2016 (Cm1 et Terminal). Cette année les collégiens ont participé la première fois. Les résultats seront disponible en décembre 2020. Tu peux regarder les résultats 2016 sur le site de TIMSS - ils ne sont pas glorieux pour la France.
Il faudrait que la France soit classée dans les 5 premiers.
J’arrive un peu tard pour résoudre l’équation fonctionnelle : voici ma solution.
On cherche les fonctions $f$ de $\Z$ dans $\Z$ qui vérifient, pour tous les $(a,b)\in \Z^2$, $f(2 a)+2f(b)=f(f(a+b)).$
L’idée est d’utiliser la relation $a+b=(a-t)+(b+t)$ pour tout $t\in \Z$, et donc $f(f(a+b))=f(2a)+2f(b)=f(2(a-t))+2f(b+t)$ et, par différence, $f(b+t)-f(b)=[f(2a)-f(2(a-t))]/2=c,c\in\Z$ puisqu’il suffit de prendre une valeur de $b$ pour montrer que le membre de gauche est une constante.
On choisit alors $t=1$, et on a établi que $f(b+1)-f(b)=c$, puis par récurrence $f(k)=c k+d, d\in\Z$ et on substitue dans l’équation originale pour trouver la fonction nulle et la fonction $f(b)=2b+c,c\in\Z$ comme seules solutions.
http://maths-olympiques.fr/?p=2618
Au samedi 20 juillet, je lis :
« L’après-midi, nous assistons à une conférence de Ben Green présentant des problèmes de recherches liés à certaines annales d’olympiade internationale. Il présente une solution complète en quelques lignes, puis annonce que cette solution telle quelle ne vaudrait que deux points sur sept pour plaisanter sur la sévérité du markscheme de cette année. »
Si quelqu'un a des détails sur les problèmes évoqués dans cette conférence, je serais intéressé.
Bonne journée.
Fr. Ch.
NB. Renseignement pris, il paraît que « markscheme » signifie « barême».
Effectivement, en français, on dit barème.
Pierre.
https://fr.wiktionary.org/wiki/barême
Le circonflexe tire sa légitimité de l'origine du mot :
https://fr.wikipedia.org/wiki/François_Barrême
Il me semble même avoir vu orthographier Barresme ce patronyme.
L'accent grave semble l'emporter, il est peut-être le fruit de telle ou telle réforme à vocation - ou prétention - simplificatrice de l'orthographe, ce qui m'inciterait plutôt à en rester au circonflexe.
Bonne journée.
Fr. Ch.
Tu me crois obsédé par un mauvais génie,
Alcippe, tu te plains de l'étrange manie
Qui fait qu'en ma maison devenu prisonnier,
D 'un flot d'x et d'y je couvre mon papier.
Laisse là, me dis-tu, l'algèbre et ses formules,
Laisse là ton compas, laisse là tes modules;
C 'est un emploi bien triste et des nuits et des jours
Q ue d'intégrer sans fin et de chiffrer toujours.
. . . . . . . . . . . . . .
Mais ont-ils ces mortels que le destin caresse,
Au calcul intégral demandé la richesse?
Vois ce vieux financier. Sans cesse à son comptoir,
Il revient supputer son doit et son avoir.
D 'enchérir sur Euclide il n'a point la folie;
Il ajoute, soustrait, divise ou multiplie,
Et, de Barême seul écoutant la leçon,
Laisse dormir en paix Descartes et Newton.
CAUCHY.
Alphonse Rebière, Mathématiques et mathématiciens, pensées et curiosités, Nony, 1898
http://bankofbook.org:50080/book/BGb_p0JPSLy4qJjNav6Qhg/index.pdf
Donc nous avons des très bons, très nettement au dessus des autres, mais sur une base qui doit être plus faible que celle de Singapour (qui pourtant compte 10 fois moins d'habitants que la France).
Le Cnesco https://www.cnesco.fr/fr/comparaison-pisa-timss/volet-mathematiques/analyse-des-resultats-timss/ l'a relevé : "Cette contre-performance se retrouve également pour les meilleurs élèves, dont la proportion est nettement plus faible en France que dans les autres pays de l’OCDE participant à l’enquête." Quand on regarde les distributions de notes sur la rétrospective 1987-2017 en math CM2, on s'aperçoit de la disparition des très bons élèves (on passe de 10% dans le 9eme décile à 1% https://cache.media.education.gouv.fr/file/2019/91/1/depp-ni-2019-19-08-evolution-des-performances-en-calcul-des-eleves-CM2-a-trente-ans-d-intervalle-1987-2017_1103911.pdf , et encore je suis persuadé qu'il y a un gros arrondi ...).
Dans 6 ans ces enfants seront en terminale, et pour les autres plus jeunes ça restera pareil. Donc "l'excellence" et tutti quanti va continuer à se faire au forcing dans les mêmes lycées / prépas auprès d'élèves qui auront été instruit (pour les maths) très majoritairement en dehors de l'école (parents, cours dédiés, clubs, lectures personnelles et différentes activités). Peut-être y-aura toujours un médaillé Fields de temps en temps, des olympiens avec un niveau très correct pour concurrencer l'Arabie saoudite ou la Géorgie (mais plus la Serbie, le Viet Nam ou l'Iran), sur un paysage mathématique global en ruines.
Je passe sur les considérations sociologiques qui laissent pessimistes quand à la possibilité d'un redressement spectaculaire tant elles sont évidentes : le poisson pourrit toujours par la tête.
D'ailleurs ça me donne une idée, ce qui serait intéressant, ce serait de supprimer la condition (réellement scandaleuse) de la classe prépa pour passer le concours des Ens, et de l'ouvrir sur un recrutement Union Européenne. Au moins ça réglerait un premier problème. En plus le niveau pourrait vraiment exploser - avec certes une proportion de normaliens français qui passerait de 95% à 5% - mais avec un apport culturel intéressant (polonais, hongrois, roumains, bulgares etc.) et certainement une sympathique remise en question sur le niveau l'enseignement en France.
Singapour est un cas très intéressant : l'enseignement repose sur une pratique inconnue en France. Les profs passent beaucoup de temps, en équipe, à déterminer ce qui bloque quand un élève fléchit, et il est remis à niveau en classe.
Il y a aussi une possibilité d'entrer par la voie universitaire : https://www.ens.fr/sites/default/files/admiis-lc-cne-sciences-2019.pdf mais qui ne donne pas droit à une rémunération ni à une bourse.
Le problème si on veut faire un concours commun pour tout le monde, français et étrangers, c'est celui de la langue.
D'autre part, je ne crois pas que le niveau des français à l'ENS soit si mauvais. On voit sur la liste d'admission 2019 du concours MPI https://www.ens.fr/sites/default/files/2019_mp_lp_ulm_signee.pdf
* Elie Studnia (participant OIM 2017, 2e à l'ENS)
* Ilyas Lebleu (participant OIM 2017, 4e à l'ENS)
* Paul Cahen (participant OIM 2018, 15e à l'ENS, donc il a réussi le concours en 3/2 Edit : en 1/2...)
On peut reconnaître quelques noms d'élèves qui sont passés par la préparation olympique, mais cela ne dépasse pas 25% des noms au total.
Il est normal que les enfants passés par les stages olympiques sont peu nombreux, puisque ils sont de toute façon peu nombreux. Connais-tu le devenir des stagiaires Animaths après le lycée ? Est-ce qu’ils vont tous en prépa MPSI puis ENS/X ? Y a-t-il des élèves qui vont à l'étranger ?
@xax, je suis d’accord avec toi, sauf sur un point. Je ne pense pas que les ENS sont si attractifs que ça pour les étrangers. Les pays qui ont un très bon enseignement en maths, des médailles à OIM, beaucoup d’élèves de très haut niveau - ils ont aussi d’excellentes formations en maths qui commencent à BAC+1 et non BAC+3. Il y a les pays dont les élèves ne brillent pas beaucoup, mais qui ont un enseignement exigeant en maths et des universités d’excellence (Suisse). Les seuls intéressés sont les asiatiques (hors Chine), quelques pays d’Europe de l’ouest (et non est) et Afrique. Et pas pour longtemps si le niveau en maths de nos élèves continuent à baisser.
Pour petite anecdote : nous avons un étudiant russe en M1 qui va passer en M2. Sa formation en économie n’est pas brillante du tout, il vient d’une université russe très moyenne en économie et pas du tout reconnue par les grands masters d’eco en France. Son niveau doit être assez moyen comparé aux autres russes, puisqu’il n’a pas fait une meilleure université. Mais qu’est-ce qu’il est bon en maths, programmation et dans le reste des cours ! Non seulement il approfondit tous les cours et pour certains cours d’économétrie/analyse des données a déjà le niveau M2, mais il s'intéresse aussi aux maths. En parallèle au stage recherche, il a étudié les anneaux, groupes, corps et avait demandé à notre PRAG maths (ex ENS) si cela peut être utile pour l'économie et comment il peut approfondir ses connaissances. Pouvez-vous imaginer un ex-ES/L moyen maths tenir un tel discours et être capable d'apprendre ce genre de chose en autodidacte ?
Tu veux plutôt dire, en 1/2 ? (:P)
Sauf erreur de ma part, il est rentré directement en MP* à Louis-le-Grand (en sautant donc la MPSI) après le baccalauréat.
Pour les non initiés au langage prepa, que signifie 3/2 et 5/2?
$$\displaystyle\int_1^2xdx = \displaystyle\frac{3}{2}$$
$$\displaystyle\int_2^3xdx = \displaystyle\frac{5}{2}$$
J'observe juste que le concours ENS fonctionnaire est ultra dérogatoire au droit français puisqu'il est hyper restreint à ceux issus des CPGE. La barrière de la langue, sérieusement ?
Attention, je n'ai pas dit que les élèves n'étaient pas bons : ils le sont, et ont toutes les chances de l'être encore plus compte tenu de l'environnement Ens (enseignants, documentation, état d'esprit, conditions matérielles etc.).
Je mets le doigt sur une très grosse singularité : nous avons d'une part un effondrement de l'enseignement des maths que personne ne conteste, mais comme par hasard, un recrutement de fonctionnaire ultra dérogatoire en droit d'autre part, sur une base d'élèves très réduite dont on connaît bien la sociologie moyenne enfin.
En clair le concours qui conditionne la stratification éducative française sent beaucoup l'entre-soi. Ça fait réfléchir. À mettre en perspective avec la mission originelle des ens ...
@vorobichek : j'ai bien conscience que le système éducatif russe est plus démocratique que le système français, qui le fut jadis, l'erreur fondamentale de Bourdieu a été de croire qu'il ne l'était pas alors qu'au contraire il atténuait la prédestination sociale qui a nettement augmenté. Plutôt que de revoir globalement l'enseignement à la base, en France ou préfère la politique du strapontin qui consiste à prévoir des places pour les élèves qui ont survécu en dehors d'un environnement moins privilégié, d'où la nécessité impérative de détecter les "bons boursiers" pour ravaler a posteriori la façade.
Donc pour en revenir aux olympiades - et plus généralement aux différents concours ludiques ou même le CG - je n'ai pas trop de doute sur le fait qu'une majorité d'élèves fonctionnaires d'Ulm (je parle en sciences) ont du bénéficier en majorité à un moment ou un autre d'une préparation spécifique ou d'un environnement de club de maths.
C'est à dire que sur une base restreinte d'élèves qui n'ont pas été tués par l'enseignement à programme pourris parce qu'issus d'un environnement déjà privilégié, on applique une distinction qui va les rendre meilleurs encore.
Quant aux "normaliens étudiants", je trouve que, de la part des ENS (et particulièrement pour Ulm), c'est un peu vouloir le beurre et l'argent du beurre.
Mais il n'est pas étonnant que des changements dans les politiques publiques d'enseignement se traduisent dans les buts que se donnent les ENS.
Certaines ENS (Lyon,Paris-Saclay,Rennes) ont un vrai concours étudiant, recrutant des fonctionnaires stagiaires sur concours. Rien n'empêcherait Ulm de déplacer des places de son cours prépa vers un concours fonctionnaire étudiant.