Préparer une leçon (agrégation interne)

Franchement, la partie que plein de personnes font est choisie...parce qu'ils savent la faire.
La suite que tu proposes, peut-être que moins de personnes s'y risquent.
Je ne connais pas du tout la théorie de Galois mais d'autres te répondront peut-être plus précisément.

La règle dans les leçons d'agrégation est : si je sais justifier mon plan, alors c'est ok.

Bien entendu "savoir justifier" ne veut rien dire et après tout cela peut dépendre du jury...

Attendons d'autres points de vue.

Salut,

Il est noté à coefficient réels ou complexes ... du coup niveau Galois ça risque d'être un peu hors sujet !

Ça ne me semble pas du tout raisonnable de parler de théorie de Galois à l'interne – en dehors d'une remarque incidente, si par extraordinaire il se produisait un alignement d'astres qui la rendrait pertinente. Avant de pouvoir parler de Galois, de toute façon, il faut commencer par la théorie élémentaire des corps (degré d'une extension, multiplicativité des degrés... éventuellement constructibilité) qu'il faut bien caser puisque ce n'est pas au programme ; après, il faut coller les notions d'extensions normales et séparées et démontrer tout un tas de choses avant d'arriver à la correspondance de Galois. Et qu'est-ce qu'on en fait après ?

Quelle peut être la réaction du jury ? Peut-être attaquer vivement sur un détail mineur à côté de la théorie de Galois, constater que là y a un trou et conclure que Galois c'était de la poudre aux yeux ; ou bien attaquer sur Galois et là, gare si on ne maîtrise pas à fond. Ça m'a l'air perdant-perdant.


Pour revenir à quoi faire dans la deuxième partie, je trouverais curieux de parler de polynômes sans parler de dérivées ; le lien avec les racines multiples s'impose naturellement. Il faut bien aussi un peu d'arithmétique : une leçon qui ne mentionnerait pas la division euclidienne et la factorisation unique passerait à côté de son affaire ; parler d'anneau principal serait un plus. On peut aboutir à une « forme normale factorisée » dans le cas de $\C$ (admis, conformément au programme) et de $\R$ (qu'on en déduit).

Dans le genre collé au programme, les polynômes y interviennent massivement pour l'algèbre linéaire : polynôme caractéristique, polynôme minimal et tout ce qu'on en tire pour la réduction. La matrice compagnon est une source de développements intéressants, où l'on voit clairement que c'est l'arithmétique des polynômes qui gouverne la situation « espace vectoriel + matrice carrée ».

Si on s'ennuie après ça, on peut calculer le déterminant de Vandermonde, démontrer quelques identités sur les coefficients binomiaux grâce au « polynôme générateur » (version allégée de la série génératrice), parler de polynômes cyclotomiques, de Tchébytchev (et d'autres polynômes orthogonaux) ou de Lagrange (et de quadrature à la Gauss), faire le lien entre le lemme chinois et le lemme des noyaux, voire décrire les idempotents de l'algèbre quotient $K[X]/(P)$, aller vers la classification des corps finis, montrer qu'un sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps est cyclique, que sais-je ? Mais PAS DE THÉORIE DE GALOIS !