Exercice sur les structures algébriques
Bonjour
Je me permets de soumettre ici un sujet d'examen, portant sur l'étude très complète d'un sous-anneau de C.
Voilà donc, j'espère être au bon endroit pour cela, et surtout qu'un forumeur trouvera le temps, la patience et l'extrême gentillesse de me fournir une solution complète à chacune des questions de ce problème, qu'il m'apparaît tout à fait important de savoir résoudre dans le cadre de mon cursus, et qui compte parmi les exercices valant beaucoup de points aux examens.
Je me permets de soumettre ici un sujet d'examen, portant sur l'étude très complète d'un sous-anneau de C.
Voilà donc, j'espère être au bon endroit pour cela, et surtout qu'un forumeur trouvera le temps, la patience et l'extrême gentillesse de me fournir une solution complète à chacune des questions de ce problème, qu'il m'apparaît tout à fait important de savoir résoudre dans le cadre de mon cursus, et qui compte parmi les exercices valant beaucoup de points aux examens.
Réponses
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Personne ne va résoudre cet exercice à ta place, mais nous pouvons bien sûr t'aider.
Qu'est-ce qui te bloque à la première question ? -
Effectivement on peut t'aider, mais pour ça il faut que tu nous dises ce que tu as fait et où tu bloques.
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Admettons que les deux premières questions soient basiques (je ne sais pas encore bien comment répondre mais on va dire qu'en cherchant un peu ça m'apparaîtra clair et surtout faisable), mais le reste me dépasse et d'assez loin.. J'ignore ce qu'est notamment le Frac d'un sous-anneau, encore moins comment le calculer bien sûr, un stathme ou encore comment montrer que deux anneaux sont isomorphes.. S'il y avait une seule question à laquelle je savais répondre précisément croyez-bien que j'aurais posté mon raisonnement..
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On devine sans rien calculer que j est racine du polynôme mentionné à la question i), x²+x+1, en dehors de ça je suis démuni face à ce problème dans son entièreté, c'est bien pour ça que j'en ai demandé la solution, pour avoir une chance de comprendre de mon côté..
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Il n'y aura donc personne pour me donner des réponses même partielles ? Sur un forum entièrement dédié aux mathématiques ?
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Tu es bien impatient, les gens sont en week-end, tu ne vas pas forcément recevoir des réponses dans l'heure !
Il me semble que ton problème vient surtout que tu ne connais pas les définitions des objets dont on parle dans l'exercice. $Frac(\mathbb Z[j])$ désigne le corps des fractions de l'anneau $\mathbb Z[j]$. Tu dois avoir vu quelque chose comme ça dans ton cours. Pour ce qui est d'un stathme, c'est l'application qui intervient dans la définition d'un anneau euclidien. -
Reformulation des questions.
- Montrer que $1$ appartient à $\Z[j]$ et que quels que soient les entiers $a$, $b$, $a'$, $b'$, $a+bj-(a'+b'j)\in\Z[j]$ et que $(a+bj)(a'+b'j)\in\Z[j]$.
- Calculer $1/(1+j)$ – l'écrire sous la forme $a+bj$ avec $a$ et $b$ rationnels – et déterminer si $a$ et $b$ sont entiers.
- Calculer, pour $a$ et $b$ entiers, $(a+bj)\overline{a+bj}$, montrer que c'est un entier et montrer qu'il est positif ou nul.
- Donner une expression simple du quotient de deux éléments de $\Z[j]$.
[Version spoilée : montrer que l'ensemble $\Q[j]=\{a+bj,\ a,b\in\Q\}$ est stable par différence, par produit et par passage à l'inverse. Pour les deux premiers points, c'est comme dans la question a ; pour la deuxième, ça ressemble à b.] - Soient $z$ et $w$ dans $\Z[j]$, avec $w$ non nul. On note $q$ le (ou l'un des points) de $\Z[j]$ le plus proche de $z/w$ et $r=z-wq$. Montrer que $\bigl|\frac{z}{w}-q\bigr|<1$. En déduire qu'il existe un couple $(q,r)\in\Z[j]^2$ tel que $z=wq+r$ et $N(r)<N(w)$.
- Justifier que l'inverse de $a+bj$ (calculé dans $\C$) appartient à $\Z[j]$ si et seulement si $N(a+bj)=\pm1$. Déterminer les entiers $a$ et $b$ tels que $N(a+bj)=\pm1$.
- Calculer $N(a+bj)\pmod{3}$ pour $a,b\in\{0,1,2\}$. [Je passe la suite sous silence...]
- Décrire un morphisme $\varphi:\Z[x]\to\Z[j]$ (mot clé : évaluation). Montrer que le polynôme unitaire de degré minimal $P$ tel que $P(j)=0$ est $x^2+x+1$. En déduire que le noyau de $\varphi$ est l'idéal engendré par $x^2+x+1$, puis l'isomorphisme demandé.
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Rusyfed,
tu sembles avoir posté sans lire "A lire avant de poster". Fais-le, tu comprendras que personne n'est ici pour faire tes devoirs à ta place.
Cordialement.
NB : Ça ne sert pas à grand chose de faire un problème sans avoir étudié le cours correspondant. Après, on ne peut même pas en faire un autre de même genre. -
MathCoss : pour ton a., tu as oublié le $1$ (enfin selon la définition de "sous-anneau" ...)
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On attendra. Reviens quand ça sera le moment.
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Bonjour à tous,
Grâce à l'aide précieuse de @Mathcross, j'en suis venu aux éléments de réponse suivants :
Pour la question d), l'expression du quotient qu'évoque Mathcross n'a rien de simple, même en la condensant autant que possible.. Quant aux questions restantes elles demeurent inaccessibles pour moi.. Pour répondre encore à Gérard, j'ai repris la charte du forum (car l'ayant déjà lue avant), et l'un des premier points mentionne la possibilité de soumettre des problèmes de ce genre.. Aussi cet exercice n'est pas du tout un devoir pour moi mais un moyen d'arriver paré du mieux possible à l'examen, qui a lieu dans trois semaines maintenant.. J'ai donc un peu l'impression qu'on s'est moqué de moi il y a quelques jours, en plus de me dénigrer.. Aussi, mendier de l'aide de cette façon me plaît sans doute encore moins qu'à vous, mais j'en suis arrivé à un point où je n'ai plus d'autre choix que d'en passer par là.. Ça urge pour être tout à fait clair, donc s'il n'y a de nouveau personne pour solutionner mon problème intégralement, j'irai demander de l'aide ailleurs.. Vous souhaitant une bonne fin de journée et remerciant par avance ceux qui au moins auront lu ceci jusqu'au bout.. -
Bonjour.
a) Relis l'énoncé, puis ta première phrase. Crois-tu vraiment que $b=\bar j$ soit possible ? Dans le même ordre d'idée, pourquoi $(a-a')+(b-b')j$ est-il dans $\mathbb Z(j)$ ?
Pour le produit, tu as dit toi-même " j est racine du polynôme mentionné à la question i), x²+x+1", donc ... donc j² = ....
b) " ... =-j donc clairement pas dans $\mathbb Z(j)$" ?? j=0+(-1)j ne serait pas dans $\mathbb Z(j)$ ?
Petit problème au départ : tu écris $\frac 1 {1+j}$ c'est à dire l'inverse dont on te demande de justifier l'existence. Il y a un moyen de justifier cela, mais c'est à faire. Ou revenir à la définition de l'inverse.
c) il est évident que a²-ab+b² est un entier. Encore faut-il justifier qu'il est dans $\mathbb N$.
Bon travail ! -
a) Tu as remarqué en a) que $j^2=\bar{j}$ et, en c), que $\bar{j}=-1-j$ (enfin, tu as écrit $j+\bar{j}=1$) : tu peux injecter ça dans $bb'j^2$.
b) Tu as raison, $1/(1+j)=-j$, ce qui te redit que $j^2+j+1=0$. Tu ne sais pas trouver deux entiers $a$ et $b$ tels que $a+bj=j$ ?!
c) Il est clair que $a^2-ab+b^2$ est un entier mais comment justifies-tu que c'est un entier positif ou nul ? -
Dans la a) tu ne peux pas prendre $b=\overline{j}$... Ensuite, tu peux exprimer $j^2$ en fonction de $j$ en te rappelant que $1+j+j^2=0$.
Pour la b) tu penses vraiment que $-j$ n'est pas dans $\mathbb Z[j]$ ? On dirait que tu ne réfléchis même pas à ce que tu écris !
Pour la c), tu as effectivement montré que $N(a+bj) \in \mathbb Z$, il faut encore justifier la positivité.
Pour la d), tu peux remarquer et prouver que, lorsque $a, b \in \mathbb Z$ ne sont pas tous les deux nuls, $\frac{1}{a+bj} = \frac{a+b\overline j}{N(a+bj)}$. -
Effectivement, je ne sais pas ce qui m'a fait dire qu'il était possible que b=j barre, c'est n'importe quoi je m'en rends compte en relisant.. L'expression du produit est finalement égale à aa'-bb’+(ab'+a'b-bb’)j qui montre l'appartenance à Z(j). Pour la b) on a bien 1/(1+j)=0+(-1)j qui est dans Z(j). Pour la c), on a : a²-ab+b²=(a-b/2)²+3b²/4 et les deux termes étant positifs ou nuls quels que soient a et b dans Z, on a bien que N(a+bj) est dans N.
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Exact :-)
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Bonjour!
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