Oral 2 agrégation interne sujet 411
Bonjour
Voici le sujet 411 de l'agrégation interne : exemples d'étude de fonctions définies par une série.
J ai trouvé un exercice où la fonction est définie comme une série avec une équation fonctionnelle :
F(x) = sigma (a_n F(x^n))
Il faut montrer que f est constante.
Cet exercice vous parait-il convenir pour ce sujet ?
Voici le sujet 411 de l'agrégation interne : exemples d'étude de fonctions définies par une série.
J ai trouvé un exercice où la fonction est définie comme une série avec une équation fonctionnelle :
F(x) = sigma (a_n F(x^n))
Il faut montrer que f est constante.
Cet exercice vous parait-il convenir pour ce sujet ?
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Réponses
J'imagine que le jury sera déjà très content de retrouver dans cette leçon les fonctions usuelles (inutile de les introduire toutes, mais un ou deux exemple bien présentés me semblent indispensables), on peut ainsi évoquer la formule du binôme (développement de $ \bigl(1+x\bigr)^{\alpha} $ pour tout $ \alpha\in\mathbb{R} $), on peut évoquer la fonction $ \arcsin $, on peut également évoquer la fonction d'erreur définie par :
$$ \operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int _{0}^{x}\exp\left(-t^{2}\right)dt $$
qui admet un développement en série entière, on peut encore évoquer la recherche de solutions analytique d'équations différentielles. Le sujet ne manque pas d'applications riches et utiles.
Par contre, proposer un exercice où on résout une équation fonctionnelle qui n'admet que des solutions constantes, c'est à mon avis passer complètement à côté de l'intérêt de la théorie des développement en séries entières.
De même, peut-on redémontrer les propriétés de la fonction $ \sin $ à partir de sa série entière, à savoir que $ \sin $ est impaire (facile), périodique (hum) et que, si $ 2T $ est la période, $ \sin(x+T)=-\sin(x) $ ?
A+
F.
C'est vrai que c'est un peu ambiguë ...
[Ne pas oublier les apostrophes. AD]