Arithmétique dans $\Z$

Oui c’est normal, statistiquement.
En arithmétique il faut des réflexes (en ce qui concerne les exercices d’examens et concours...).
Bien entendu, c’est à nuancer. Disons que les réflexes en analyse sont travaillés depuis le début de la scolarité (si on peut dire).
L’arithmétique est plus récente dans une formation classique. Ça peut expliquer ce problème.

Non les exercices ne sont pas nécessairement trop difficiles, a priori.

Le bouquin est peut-être rédigé par « un analyste » qui a sa manière de rédiger.
Ça me faisait ça aussi jadis.
Et en algèbre aussi.

Pour la 1°, j'ai déjà répondu sur ton autre fil.

Pour la 2°, on suit la démonstration effectuée par Euler. Soit $n \geqslant 2$ un entier pair et parfait, de sorte que $\sigma(n) = 2n$.

(i) On commence par écrire $n = 2^{e-1}m$ avec $e \geqslant 2$ entier et $m$ impair.

(ii) Puisque $2^{e-1}$ et $m$ sont premiers entre eux (puisque $m$ est impair), l'égalité $\sigma(n) = 2n$ s'écrit $(2^e-1) \sigma(m) = 2^e m$, et donc $2^e-1$ divise $2^e m$. Comme $2^e-1$ est impair, le théorème de Gauss entraîne que $2^e-1$ divise $m$.

(iii) Écrivons $m = (2^e-1) d$. Note que ceci s'écrit aussi $m+d = 2^e d$ et que, par définition de $d$, on a aussi $\sigma(m) = 2^e d$. Ainsi, $\sigma(m) = m + d$, ce qui implique que $m$ n'a pas d'autres diviseurs que $m$ et $d$. Ainsi, $m$ est premier (il n'a que deux diviseurs), et donc $d = 1$, puis $m = 2^e - 1$.

Conclusion. On a montré que, si $n$ est pair et parfait, il s'écrit $n = 2^{e-1} \left( 2^e - 1 \right)$, avec $e \geqslant 2$ et $2^e-1$ est premier.