Agreg interne, leçon 444
Bonjour à tous,
l'intitulé de la leçon est : " Exemples de calcul approché de la limite d'une suite, de la somme d'une série. Aspects algo".
Je pensais à l'approximation de Pi par la méthode d'Archimède, la méthode de Newton.
Peut-on mettre des développements asymptotiques (je pense au sinus itéré) ?
Pour les séries, Stirling ?
Toutes les idées et remarques seront les bienvenues :-)
Merci.
l'intitulé de la leçon est : " Exemples de calcul approché de la limite d'une suite, de la somme d'une série. Aspects algo".
Je pensais à l'approximation de Pi par la méthode d'Archimède, la méthode de Newton.
Peut-on mettre des développements asymptotiques (je pense au sinus itéré) ?
Pour les séries, Stirling ?
Toutes les idées et remarques seront les bienvenues :-)
Merci.
Réponses
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J’ajouterais bien un peu d’accélération de convergence (il y a une leçon sur ce sujet dans un des tomes de Franche-Comté).Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Pour les séries on a une estimation du reste quand on peut appliquer le critère des séries alternées. Sinon on peut parfois obtenir une estimation du reste avec une comparaison série-intégrale (pour les sommes de Riemann par exemple...).
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Pour les suites ou series convergeant lentement dont on a un equivalent du reste sans connaitre la constante, typiquement en c/n^alpha, prendre R_(2n) est de l'ordre de 1/2^alpha*R_n, on peut donc calculer (2^alpha*S_(2n)-S(n))/(2^alpha-1) qui converge vers la meme limite mais sans le premier terme du reste. Si on connait un developpement asymptotique complet, on peut ensuite eliminer le terme suivant du reste, etc.
Cette methode appliquee a la methode des trapezes donne la methode de Richardson-Romberg. En voici une illustration (les programmes fonctionnent en Xcas ou en Python)
session Xcas
Une illustration de la methode de Richardson pour trouver une valeur approchee de ln(sqrt(2*pi)).
session Xcas
Pour l'approximation de pi, dans les aspects algorithmiques, on peut illustrer les problemes qui apparaissent lorsqu'on travaille avec des flottants. Ainsi, le programme suivant (compatible Python et Xcas):from math import * def f(eps): u=[0,2.0] for n in range(1,40): u.append(sqrt(2)*(2**n)*sqrt(1-sqrt(1-(u[n]/(2**n))**2))) #formule de recurrence if abs(u[-1]-pi)<eps: return u return "trop d'iterations",u print(f(1e-6)) print(f(1e-20))
(n.b.: ici on triche dans le test d'arret, si on ne connait pas pi, il faudra utiliser la difference entre 2 iterations).
La formule sqrt(1-sqrt(1-(u[n]/(2**n))**2) pose deux problemes: u[n] est de l'ordre de pi, donc quand on divise par 2**n et qu'on prend le carre on a un nombre petit qu'on soustrait de 1, ce qui est mauvais numeriquement. Ensuite la racine englobante a pour argument la difference de 2 flottants proches l'un de l'autre ce qui est aussi mauvais.
On peut illustrer dans Xcas que c'est bien un probleme de precision en remplacant l'initialisation u=[0,2.0] par u=[0,evalf(2,30)].
Cette suite se prete bien a une acceleration de Richardson.from math import * def f(eps): u=[0,2.0] v=[0] for n in range(1,100): u.append(sqrt(2)*(2**n)*sqrt(1-sqrt(1-(u[n]/(2**n))**2))) #formule de recurrence v.append((4*u[-1]-u[-2])/3) if abs(u[-1]-pi)<eps: return u,v return "trop d'iterations",u print f(1e-5)
On peut aussi ameliorer la stabilite numerique en multipliant par le conjugue de l'argument de la racine carree.
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