Agreg interne 417 approximations

permaths · February 2020

Bonjour à tous,
je travaille sur la leçon d'exercices 417 : exemples illustrant l'approximation de fonctions numériques.

Je pensais aux polynômes de Bernstein et ??? je pensais aux fonctions en escalier, mais je ne trouve pas vraiment de référence d'exercices, les séries trigonométriques, mais là encore quel type d'exercice, références ?

Merci par avance pour vos idées.

nicolas.patrois · February 2020

La formule de Taylor avec reste intégral (que tu majores) ?
Comment les calculettes calculent les fonctions trigonométriques, exponentielle et logarithme ?

Zimbabou · February 2020

Salut, je propose :
> approx de ln(2) avec Taylor
> théorème des moments avec Weierstrass
> lemme de Riemann Lebesgue avec les fonctions en escalier
> phénomène de Gibbs avec Fourier et Riemann

Benoit RIVET · February 2020

La (vraie) formule du binôme de Newton pour calculer $ (1+x)^{\alpha} $ lorsque $ |x|<1 $.

Attention ! Il ne s'agit pas de la formule lorsque $ \alpha $ est entier, mais de la formule généralisée lorsque $ \alpha $ est un réel quelconque.

parisse · February 2020

nicolas.patrois écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?6,1942808,1942834#msg-1942834
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

Réduction d'argument, puis séries de Taylor ou approximants de Padé (cf. dans Xcas, Aide>Manuels>Algorithmes le chapitre 24).

Par exemple, pour l'exponentielle
pade(exp(x),x,10,6) vaut (-x^5-30*x^4-420*x^3-3360*x^2-15120*x-30240)/(x^5-30*x^4+420*x^3-3360*x^2+15120*x-30240)
et l’écart est très faible avec exp(x) sur [-0.5,0.5].
Le calcul est efficace, et se fait en 6 additions/soustractions, 5 multiplications, 1 division sur cet intervalle :
X:=x^2;
P:=X*(30X+3360)-30240; N:=x*(X*(X-420)-15120);
(P+N)/(P-N);
Rajouter au plus 11 mises au carré pour le cas d'un argument hors de cet intervalle : exp(x)=exp(x/2)^2

On peut aussi utiliser des approximations par interpolation polynomiale sur des intervalles en utilisant des valeurs précalculées en des points de Tchebyshev.

Eric · February 2020

Je viens de poster un exemple de développement qui fait en même temps formule de Taylor, développement en série entière et calcul d'approximation dans un autre fil
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?6,1247595

Quelques remarques pour tout le monde : comment font les calculettes ... avec l'algorithme Cordic. Ça peut se faire en développement à l'agreg, mais c'est velu ...

Pour une fois que je suis d'accord avec Parisse ... un développement de Padé peut être une bonne idée. Plutôt que celui de l'exponentielle, pourquoi pas celui de la fonction tangente, qui permet de voir que ce développement se comporte bien passé le (gros) problème en $\pi/2$, ce qui n'est pas le cas du développement en série entière en 0.

parisse · February 2020

[hors sujet]
@AD: je suis completement d'accord que citer un long message nuit a la lisibilite (en particulier lorsque la citation n'est suivie que de 1 ou 2 lignes de contenu nouveau), et dans ce cas il faut mettre un lien, mais ici j'avais cite 3 lignes du message de nicolas.patrois, votre correction a mon message a donc l'effet inverse, on perd en lisibilite puisqu'il faut cliquer pour remonter, encore plus avec votre commentaire en gras (et la ligne en fin de message qui indique qu'il a ete edite avec en plus les accents qui passent mal). En resume, c'est tres desagreable, j'espere qu'a l'avenir mes messages ne seront plus edites sans discernement, merci d'avance.

AD · February 2020

@Parisse
Passer la souris sur le lien rend celui-ci visible, dans le cas présent dans sa totalité car il ne contient que deux lignes. Il n'est donc nullement nécessaire de cliquer sur le lien !
Je profite de ce message pour te conseiller d'installer un correcteur d'orthographe français qui te permettrait, malgré ton clavier qwerty, de facilement corriger le manque d'accents qui gêne certainement plus la lisibilité de tes messages.
AD

Rescassol · February 2020

Bonjour,

Le manque de $\LaTeX$ dans:

Parisse a écrit:

Par exemple, pour l'exponentielle
pade(exp(x),x,10,6) vaut (-x^5-30*x^4-420*x^3-3360*x^2-15120*x-30240)/(x^5-30*x^4+420*x^3-3360*x^2+15120*x-30240)

est très gênant également.

Cordialement,

Rescassol

parisse · February 2020

@AD: ok, je n'avais pas remarque, mais ca ne change pas le fait qu'a mon avis, inserer une courte citation ne nuit pas a la lisibilite, au contraire. Si vous souhaitez vraiment interdire toute citation sur ce forum, il serait logique de programmer le bouton Citer pour qu'il fasse ce que vous souhaitez ou le supprimer.
Pour le correcteur orthographique, j'estime que c'est un compromis : je passe du temps a fournir du contenu, ca compense a mon avis le petit inconvenient du manque d'accents, les gens qui ne supportent pas cet inconvenient peuvent ignorer mes messages.

@Rescassol: avoir un affichage 2d a a mon sens peu d'interet ici, ce qui importe c'est d'avoir une formule exploitable avec un logiciel de maths qui n'a pas forcement une commande pour calculer un approximant de Pade.

AD · February 2020

parisse a écrit:

Pour le correcteur orthographique, j'estime que c'est un compromis : je passe du temps à fournir du contenu, ça compense à mon avis le petit inconvénient du manque d'accents

C'est bien dommage, parce qu'un effort minime supplémentaire bénéficierait grandement à tous.
AD

Rescassol · February 2020

Bonjour,

Je ne suis pas d'accord.
$pade(exp(x),x,10,6)$ vaut $\dfrac{-x^5-30x^4-420x^3-3360x^2-15120x-30240}{x^5-30x^4+420x^3-3360x^2+15120x-30240}$
est quand même plus lisible.
Le but d'un forum est quand même de communiquer, pas de fournir des choses recopiables, même si ça peut arriver.
Et puis, les amateurs de recopiage peuvent eux même rajouter des $*$ et transformer des accolades en parenthèses.

Cordialement,

Rescassol

nicolas.patrois · February 2020

Sauf quand il s’agit de copier le script dans une fenêtre de XCAS.

kioups · February 2020

Dans un script en Python, on écrit x**4 au lieu de $x^4$, c'est peut-être moins joli, mais le deuxième choix ne veut rien dire en Python.

[Tandis que le premier choix ne veut rien dire en $\LaTeX$ :-D AD]

parisse · February 2020

Voici une version qui fonctionne avec Python et avec Xcas:

def E(x):
    X=x*x
    P=X*(30*X+3360)+30240 
    N=x*(X*(X+420)+15120)
    return (P+N)/(P-N)

Pour x dans [0,0.5] on a 13 decimales (l'erreur maximale est atteinte en x=0.5, et ca peut faire partie d'un exercice/developpement de le prouver, en utilisant le calcul formel pour calculer les derivees et faire les tableaux de variations).
Pour x en-dehors de [0,0.5], le flottant est ecrit sous forme 2^exposant*mantisse que l'on peut lire avec frexp, il suffit juste de lire l'exposant pour savoir combien il faut faire de carres

Patrick123 · February 2020

Il y a l'algorithme CORDIC pour calculer les valeurs numériques des fonctions trigonométriques et il y a une version pour les fonctions hyperboliques et donc exponentielles.

https://fr.wikipedia.org/wiki/CORDIC

Ces approximations ont une valeur historique dans le développement de la calculatrice scientifique dans les années 70 (la fameuse HP-35), quand les petits processeurs ne pouvaient faire que des additions et des multiplications de puissance 2.

permaths · February 2020

@Zimbabou : des références ? ;-)

Zimbabou · February 2020

bien sûr
> ln(2) par exemple dans un De Boeck Costantini théorème des moments dans un Sorosina
> Riemann Lebesgue dans analystan ex 1 Gibbs dans analystan ex 32 http://math.univ-lyon1.fr/irem/IMG/pdf/analystan.pdf

buon coraggio

Agreg interne 417 approximations

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