Agreg interne leçon 321
Bonjour à tous,
je travaille sur la leçon 321 : Exercices faisant intervenir la réduction des matrices symétriques réelles dans des domaines variés.
Je pense à la racine carrée/cubique d'une matrice symétrique, à la décomposition polaire, au rayon spectral d'une matrice symétrique, au classement des coniques.
Qu'en pensez-vous ?
Est-ce que vous avez d'autres idées (avec des références) ?
Merci par avance.
je travaille sur la leçon 321 : Exercices faisant intervenir la réduction des matrices symétriques réelles dans des domaines variés.
Je pense à la racine carrée/cubique d'une matrice symétrique, à la décomposition polaire, au rayon spectral d'une matrice symétrique, au classement des coniques.
Qu'en pensez-vous ?
Est-ce que vous avez d'autres idées (avec des références) ?
Merci par avance.
Réponses
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Le lien avec les formes quadratiques réelles peut être exploité (cf. Histoires hédonistes de groupes et de géométrie Tome I ou le Gourdon algèbre).
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Plutôt classification que classement.
Il faudrait évoquer la hessienne d'une application disons de classe $\mathcal{C}^2$ et son utilisation pour les problèmes d'extrema. -
En géométrie : Classification des coniques (en dimension 2) et des quadriques ( dim 3 )
C'est traité dans le tome de géométrie de Jean-Marie Monnier. -
En probabilité : Marche aléatoire - chaînes de Markov
Un exemple avec une matrice symétrique -
Merci pour ces idées.
Est-ce que vous pensez que je peux proposer la décomposition polaire en développement ? -
Bonsoir,
j'ai aussi pensé spontanément aux histoires de chaîne de Markov, mais l'intitulé de la leçon me fait douter, notamment le "symétrique". Un tel développement ne risque-t-il pas de donner une impression de "refourgage" de développement ?
A+
F.
PS: Sans le symétrique, cela me semble être un très bon développement ;-) -
En géométrie, il y a l’ellipsoide de John Loewner. La preuve de l’existence (oraux X algèbre 1) peut faire l’objet d’un développement et peut être restitué en 15 min avec un peu d’entraînement.
Bon courage -
Pour une marche au hasard sur un graphe non orienté, il est naturel que la matrice de transition soit symétrique. En revanche, je ne sais pas si cette propriété a un intérêt vis à vis de l'état stationnaire : on peut diagonaliser complètement mais ce qui est intéressant, c'est la valeur propre (de module) maximale qui existe toujours.
En géométrie encore, les matrices de Gram sont naturellement symétriques (et vice versa). -
Si $A$ et $B$ sont symétriques définies positives; pourquoi ne pas étudier le minimum et maximum de la fonction
$g(x) = \frac{ \langle x , Ax \rangle }{ \langle x , Bx \rangle } $ ? Ca doit être assez original pour le jury sans être trop trop dur. Mais ça se rapproche plus du calcul diff que des matrices symétriques. Le seul moment où on utilise le fait qu'elles soient SDP c'est pour montrer que le min ou le max existe. -
Bof, un peu facile puisque cela se resume aux extrema de $$y\mapsto \frac{\lambda_1 y_1^2+\cdots+\lambda_ny_n^2}{y_1^2+\cdots+y_n^2}$$ ou les $\lambda$ sont les valeurs propres de la matrice $C=B^{-1/2}AB^{-1/2}$ et les $y$ sont les coordonnees de $B^{1/2}x$ dans une base orthonormale de diagonalisation de $C$.
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@mathcoss: Bonjour,
je crois me rappeler que la recherche de l'état stationnaire d'un graphe probabiliste est assez simple lorsque les coefficients de la matrice sont tous non-nuls, c'est l'objet du théorème de Perron Froebenius. Si cette condition n'est pas vérifiée, il peut y avoir plusieurs états stationnaires de différentes natures...L'hypothèse de symétrie dans le cas d'une marche aléatoire ne me semble pas donc d'une grande utilité.
A+
F.
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Bonjour!
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