Agreg interne leçon 321
Bonjour à tous,
je travaille sur la leçon 321 : Exercices faisant intervenir la réduction des matrices symétriques réelles dans des domaines variés.
Je pense à la racine carrée/cubique d'une matrice symétrique, à la décomposition polaire, au rayon spectral d'une matrice symétrique, au classement des coniques.
Qu'en pensez-vous ?
Est-ce que vous avez d'autres idées (avec des références) ?
Merci par avance.
je travaille sur la leçon 321 : Exercices faisant intervenir la réduction des matrices symétriques réelles dans des domaines variés.
Je pense à la racine carrée/cubique d'une matrice symétrique, à la décomposition polaire, au rayon spectral d'une matrice symétrique, au classement des coniques.
Qu'en pensez-vous ?
Est-ce que vous avez d'autres idées (avec des références) ?
Merci par avance.
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Réponses
Il faudrait évoquer la hessienne d'une application disons de classe $\mathcal{C}^2$ et son utilisation pour les problèmes d'extrema.
C'est traité dans le tome de géométrie de Jean-Marie Monnier.
Un exemple avec une matrice symétrique
Est-ce que vous pensez que je peux proposer la décomposition polaire en développement ?
j'ai aussi pensé spontanément aux histoires de chaîne de Markov, mais l'intitulé de la leçon me fait douter, notamment le "symétrique". Un tel développement ne risque-t-il pas de donner une impression de "refourgage" de développement ?
A+
F.
PS: Sans le symétrique, cela me semble être un très bon développement ;-)
Bon courage
En géométrie encore, les matrices de Gram sont naturellement symétriques (et vice versa).
$g(x) = \frac{ \langle x , Ax \rangle }{ \langle x , Bx \rangle } $ ? Ca doit être assez original pour le jury sans être trop trop dur. Mais ça se rapproche plus du calcul diff que des matrices symétriques. Le seul moment où on utilise le fait qu'elles soient SDP c'est pour montrer que le min ou le max existe.
je crois me rappeler que la recherche de l'état stationnaire d'un graphe probabiliste est assez simple lorsque les coefficients de la matrice sont tous non-nuls, c'est l'objet du théorème de Perron Froebenius. Si cette condition n'est pas vérifiée, il peut y avoir plusieurs états stationnaires de différentes natures...L'hypothèse de symétrie dans le cas d'une marche aléatoire ne me semble pas donc d'une grande utilité.
A+
F.