Agreg interne 328
Bonjour à tous,
328 : exemples d'utilisation de transformations en géométrie
J'ai pensé aux inversions avec le théorème de Ptolémée, les isométries du cube, homothéties et Ménélaüs.
Qu'en pensez-vous ?
Des idées (pas trop compliquées et avec des références) ?
Merci par avance
328 : exemples d'utilisation de transformations en géométrie
J'ai pensé aux inversions avec le théorème de Ptolémée, les isométries du cube, homothéties et Ménélaüs.
Qu'en pensez-vous ?
Des idées (pas trop compliquées et avec des références) ?
Merci par avance
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Réponses
Moi je penserais plutôt à des problèmes classiques de géométrie, qu'on résout par des transformations, l'inversion d'accord si elle est au programme et pour faire plaisir à pappus, mais aussi les isométries et similitudes. Il y a pas mal de problèmes d'extremums ou de constructions.
On y reviendra si tu es d'accord.
Bon courage.
Fr. Ch.
-- Schnoebelen, Philippe
https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_van_Aubel
Geometric transformations, volume I à IV, de I.M. Yaglom, publié par la MAA.
Ce serait mon premier choix de référence (pour ne pas dire le seul) si je devais présenter cette leçon.
Chaurien, je connais pas mal de mes anciens collègues qui ne sauraient pas faire ton exo, aussi bien certifiés qu'agrégés.
La géométrie n'est tout simplement plus à la mode.
Cordialement,
Rescassol
Pour cet exercice (proposé par Chaurien), on utilise donc des transformations ?
J’ai gribouillé quelques calculs dans un repère cartésien où chaque cercle est de centre (0;0) et où le plus grand cercle est de rayon 1.
J’ai même choisi, quitte à appliquer une rotation (ha ! on rentre timidement dans le sujet), le point de coordonnées (1;0) pour le sommet du triangle sous réserve d’existence.
Mes idées naïves sont-elles bonnes ?
Cordialement
Ben, on prend un point sur un premier cercle, on fait tourner un second cercle, on regarde où ça coupe le troisième, on tourne dans l'autre sens, on s'assoit et on discute.
Cordialement,
Rescassol
Attention au fait que l'introduction de transformations apporte souvent une solution parmi beaucoup d'autres aux problèmes les plus classiques ou les plus connus. Comparer (au moins) deux méthodes pour un même exercice peut être apprécié. Et s'attendre à ce genre de question de la part du jury...
Attention, il peut se résoudre dès la cinquième de manière élémentaire.
[Selon http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?6,1955342,1956362#msg-1956362 Il faut montrer que les points A,I,L sont alignés. AD]
-- Schnoebelen, Philippe
Il suffit de savoir que la somme des angles d'un triangle est de 180°.
Cordialement,
Rescassol
-- Schnoebelen, Philippe
Bien sûr que si, pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ?
Cordialement,
Rescassol
Mais qu'est-ce qu'il faut résoudre ?
Il faut montrer que les points $A,I,L$ sont alignés.
Cordialement,
Rescassol
La solution : on considère B’, symétrique de B par rapport à $D$, puis considérer $AB’$ etc...
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1429690,1434700#msg-1434700
Mais je ne vois pas comment le traiter avec une transformation ponctuelle.
-- Schnoebelen, Philippe
rotation et théorème de Napoléon et point de Fermat-Toricelli
inversion et théorème de Ptolémée
homothétie et Menelaüs dans l'espace
Je travaille parallèlement sur la leçon 330 angles et distances en dim 2 et 3.
Je pense à :
caractérisation de la cocyclicité et théorème de Ptolémée
rotation et théorème de Napoléon et point de Fermat-Toricelli
homothétie et Menelaüs dans l'espace
Qu'en dites-vous ?
Des idées d'exercices avec des références susceptibles d'être dans ma bibliothèque d'agrégatif (les autres bibliothèques étant fermées...).
Merci par avance
Ne connaissant pas ta bibliothèque, ça ne va pas aider pour donner des références. Je redonne celle que j'ai déjà donnée et j'en ajoute d'autres :
Geometric transformations, volume I à IV, de I.M. Yaglom, publié par la MAA.
Complex Numbers and Geometry de Liang-shin Hahn, publié par la MAA.
Geometry Revisited de Coxeter et Greitzer, MAA (il existe une version française Redécouvrons la géométrie, publiée par Jacques Gabay)
Complex Numbers from A to ... Z de Titu Andreescu, Birkhauser
OShine, pas besoin de courage pour ça, beaucoup de scientifiques lisent l'anglais.
Moi même, je ne le parle pas très bien, mais je le lis à peu près couramment, tant qu'il s'agit de mathématiques ou d'informatique.
C'est une obligation quand on voit la quantité de documents écrits dans cette langue.
Je ne sais pas si c'est vrai ou une légende, on m'avait dit que Jean Dieudonné avait d'abord écrit son cours d'analyse (en 9 tomes) en anglais avant de le traduire des années plus tard en français.
Cordialement,
Rescassol
Edit: Je possède d'ailleurs les livres cités par Éric, ce sont des classiques.
J'ajouterai que mon niveau d'anglais est catastrophique, proche de 0, mais pour lire des maths ce n'est pas trop gênant, c'est un peu tout le temps les mêmes mots qui reviennent.
Je suis donc allé voir le Yaglom, ce livre est génial, c'est même dur de choisir un problème... Parfait pour toutes les leçons de géométrie.
Et j'ai commencé à regarder la dernière référence sur les nombres complexes et ça me plaît bien, je cherchais la démonstration du théorème de Morley avec les complexes et elle y est...
@Rescassol : si je me souviens bien, au début du premier tome des Eléments d'analyse de Dieudonné, il est écrit qu'il s'agit de la version française d'un bouquin d'abord publié en anglais.
@rimf84 : la démonstration de Morley par les complexes version Andreescu (qui est en fait une démonstration due à Connes), j'y regarderais à deux fois. Je l'avais faite à la main il y a quelques années et j'y avais trouvé un bug. Ce n'est vraiment pas ce que je prendrais dans le Andreescu sur les complexes. Je préfère sur ce point ce que fait Hahn. Il va au bout des choses et traite toutes les combinaisons de trissectrices et toutes les configurations de Morley (en n'utilisant que les complexes).
J'avais transformé cette démonstration de A.Connes en un DM pour mes TS il y a un certain temps, en rajoutant suffisamment de sous-questions, ça leur avait plu.
Je ne m'étendrai pas sur les TS d'aujourd'hui, sniff !!....
Cordialement,
Rescassol