454 : applications de la notion de compact

Le théorème de Heine ?
Il me semble qu’on peut enchaîner avec les théorèmes de Dini qui utilisent le théorème de Heine.

Des résultats d'analyse complexe ? Par exemple le fait que la limite d'une suite de fonctions holomorphes qui converge uniformément sur tout compact reste holomorphe.

Corto,

Ton dernier théorème, c’est Heine, non ?

En effet le « sur tout compact » est utilisé souvent comme « sur tout borné ».
En prenant ses (ou ces) précautions, je pense qu’il faut en parler dans cette leçon.

Romanesco a écrit:

Pour le th de point fixe, j'y ai pensé, mais il est plus généralement vrai sur un espace complet, donc j'hésite un peu.

Si tu parles du théorème du point fixe de Picard il ne s'agit pas de la même chose. Les conclusions sont les mêmes (la fonction a un seul point fixe) mais les hypothèses sont relativement différentes. Il y a deux différences majeures :

L'espace de départ. Dans le théorème de Picard il s'agit d'un espace vectoriel normé, dans l'autre théorème il s'agit d'un espace métrique (ce qui englobe les EVN). Pour picard on demande à ce que l'espace soit complet alors que dans l'autre théorème il faut qu'il soit compact (ce qui implique complet).

La contraction de la fonction. Dans le théorème de Picard on demande à ce que l'application soit $k$-Lipschitzienne avec $k<1$, ceci est plus fort que l'hypothèse de l'autre théorème ou l'on demande simplement $\forall x\neq y $, $d(f(x),f(y))<d(x,y)$. Dans l'autre théorème l'application peut donc être potentiellement $1$-Lipschitzienne.

Bref, aucun de ces théorème n'implique l'autre et ils sont en général "complémentaires". Voici un petit exemple qui montre que le caractère complet ne suffit pas dans le théorème que j'ai énoncé. On pose $f : \R_+ \to \R_+$ définie par $f: x \mapsto \sqrt{1+x^2}$. On sait que $\R_+$ est complet pour la distance euclidienne et on a bien $|f(x)-f(y)|< |x-y|$ car $|f'(t)|<1$ pour tout $t\in \R_+$. En revanche la fonction $f$ n'admet aucun point fixe car on a toujours $f(t) >t$.

Tu n'as pas à t'excuser de poser des questions, on est là pour ça après tout ;-)

Ce que je dis ce n'est pas que l'application est potentiellement lipschitzienne (elle l'est de toute façon), ce que je veux dire c'est que le théorème marche dans certains cas où l'application est $1$-lipschitzienne contrairement au théorème de Picard qui demande une hypothèse plus forte à ce niveau.

Pour ton application sur $\zeta$ je ne peux pas te répondre, je ne suis pas assez au fait des attentes du jury de l'agrégation interne. Je ne sais donc pas si ce sera considéré comme trop éloigné du sujet de la leçon ou non.

Est-ce que Hahn-Banach géométrique ferait une bonne application de la notion de compacité ?