Agreg interne, lecons 412 et 413

Dans 412 on dispose d’une fonction.
On peut la connaître et décider de la développer en série entière.
On peut ne pas la connaître (équation différentielle) et chercher son développement en série entière.

Dans 413 on présente des exemple d’applications des séries entières.
J’en déduis que 412 est inclus dans 413.
Mais on peut trouver des choses qui seraient dans 413 mais qui ne seraient pas dans 412 selon moi (sauf si on parvient à donner un argument).
Je n’ai pas d’idée précise : pour résoudre un problème, parfois on construit une série entière et on dégage les propriétés que l’on souhaite. Si c’est pas clair, c’est normal... j’espère être plus inspiré un peu plus tard.
Je pense à la fonction de Weierstrass qui n’est pas une série entière mais dont l’idée est de fabriquer une fonction particulière.
Il y a aussi tout le dossier des fonctions génératrices en Proba (dont je ne connais pas grand chose).

En effet la différence entre les sujets est ténue mais pas existante de mon point de vue.

Je te propose l'exercice suivant qui pourrait rentrer (en forçant un poil ...) dans la 413 (mais pas trop dans la 412).

Soient $x$ et $y$ deux éléments d'un anneau.

Montrer que si $1-xy$ admet un inverse à droite (resp. à gauche), alors $1-yx$ admet un inverse à droite (resp. à gauche).

En déduire que tout élément de l'anneau admettant un unique inverse à droite (resp. à gauche) est inversible.

Bien sûr, on ne voit pas trop le rapport avec les séries entières (d'ailleurs, il se pourrait qu'il n'y en ait pas ...) et pourtant ...

Oui, de mémoire, on peut trouver des expressions des nombres de Catalan, ou encore du nombre d'involutions d'un ensemble fini en s'amusant avec des séries entières, ce sont des exercices sympathiques!

Il y a une différence d'esprit entre les deux leçons : dans la première, les séries entières (SE) sont l'objet principal de l'étude, et on peut les étudier pour elles-mêmes à condition qu'elles soient issues d'un développement, les applications attendues étant les applications d'un développement en SE (à quoi ça sert de développer en SE ? qu'est-ce que ça apporte pour l'étude de la fonction par exemple, ou pour établir une égalité célèbre ?).

Dans la seconde, les SE interviennent comme outil permettant de faire avancer le schmilblick issu d'une autre thématique (algèbre, équations différentielles, probabilités, géométrie...), le fait qu'elles proviennent d'un développement d'une fonction que l'on explicite ou qu'on les introduise de façon plus formelle étant annexe (cf. exercice proposé par Eric).

Bref, comme souvent, c'est assez "délicat", plus subtil que la majorité des candidats ne le verront par manque de temps à consacrer à l'analyse préalable de la leçon (qui prend déjà du temps quand on la mène de façon un peu approfondie, et il y a de quoi s'arracher les cheveux sur pas mal de leçons !).

:-S Pour les raisons que j'ai évoquées, peut-être ?

C'est à croire en lisant certains commentaires que le jury détermine les titres des leçons un peu au hasard, en ne sachant pas ce qui existe déjà...
Tu peux présenter comme tu veux un exercice qui ne répond pas au sujet, il ne répondra toujours pas au sujet ! Si l'on demande des exercices d'application des groupes à la géométrie, un exercice qui étudie un groupe pour lui-même n'a pas sa place, pas plus qu'un groupe qu'on utilise pour résoudre une équation algébrique. On peut toujours justifier comme on veut, ça risque fort de déplaire au jury. Ça ne veut pas dire qu'on n'aura pas l'agrégation à la fin, ça veut dire qu'on perdra un pouillème de point à cet endroit dans la grille de notation.
Les rapports sont très clairs sur ces points (et le sont moins sur d'autres, hélas...).

Je reviens sur l'exercice que j'ai proposé plus haut.

Si $z\in\mathbb{C}$ et $\lvert z\rvert<1$, alors
\begin{equation*}
\mathopen(1-z\mathclose)^{-1}=1+z+z^{2}+z^{3}+\dotsc
\end{equation*}
Soient $x$ et $y$ deux éléments de l'anneau considéré tels que $1-xy$ admette un inverse à droite noté $z$. On remplace dans l'égalité ci-dessus, sans se soucier du sens que cela peut avoir (d'ailleurs, ce qui suit n'a aucun sens, la notion de convergence d'une série n'étant pas définie dans un anneau quelconque). On obtient
\begin{equation*}
\begin{aligned}
z&=1+xy+\mathopen(xy\mathclose)^{2}+\mathopen(xy\mathclose)^{3}+\dotsc \\
&=1+xy+xyxy+xyxyxy+\dotsc
\end{aligned}
\end{equation*}
Si $w$ est un inverse à droite de $1-yx$, en appliquant le non-sens précédent, on obtient
\begin{equation*}
w=1+yx+yxyx+yxyxyx+\dotsc
\end{equation*}
et, en supposant que la distributivité s'applique à ce non-sens,
\begin{equation*}
\begin{aligned}
w&=1+y(1+xy+xyxy+\dotsc)x \\
&=1+yzx.
\end{aligned}
\end{equation*}
Étant donné un inverse à droite de $1-xy$, on a ainsi obtenu un potentiel inverse à droite de $1-yx$. Il ne reste plus qu'à faire un calcul (valide) de vérification.

Soit $v$ un inverse à droite de $1-xy$. On a
\begin{equation*}
(1-xy)v=1,\quad\text{d'où}\quad xyv=v-1.
\end{equation*}
On obtient alors
\begin{equation*}
\begin{aligned}
(1-yx)(1+yvx)&=1-yx+yvx-yxyvx \\
&=1-yx+yvx-y(v-1)x\\
&=1.
\end{aligned}
\end{equation*}
On vérifie de la même façon que $(1+yvx)(1-yx)=1$ si $v$ est un inverse à gauche de $1-xy$.

Reste à voir comment un jury d'agrégation réagit à ce qui précède (un volontaire pour essayer en septembre ?). Le mieux que je vois pour que ça passe est l'argument d'autorité (de toute façon, si vous vous lancez sur cette voie, faut pas faire semblant). Le raisonnement précédent a été publié par Halmos et ensuite été repris par Rudin (dans l'American Mathematical Monthly qui plus est).

La deuxième question est là pour justifier la première (comme si le non-sens avait besoin de justification).
En prenant $y=1$, on voit que, si $v$ est un inverse droite de $1-x$, alors $1+vx$ est aussi un inverse à droite de $1-x$. Si $1-x$ admet un unique inverse à droite, alors $v=1+vx$, d'où $v(1-x)=1$ et l'on conclut que $v$ est un inverse à gauche de $1-x$. Ainsi, $1-x$ est inversible. Il reste à noter que, si $z$ est un élément de l'anneau, alors $z=1-(1-z)$.

Les leçons 210 et 264 sont très différentes. Dans la 210, on "doit" rester très général et couvrir l'ensemble du thème sur les SE. Dans la 264, on se focalise sur l'aspect développement en SE d'une fonction. D'ailleurs, l'intitulé de la leçon est intéressant avec la précision entre parenthèses : "Les résultats relatifs aux séries entières sont supposés connus". Ça n'empêchera pas nombre de candidats choisissant cette leçon (par rapport à une autre qui n'aura pas été du tout préparée : probas ou équations différentielles par exemple !) de faire les trois quarts du plan sur ces généralités, et d'avoir une note en conséquence sur cette partie de la grille d'évaluation...

Le fait que 412 = 264 ne me choque pas : ce sont deux épreuves différentes (une leçon de cours avec une partie théorique, et une séance de TP/TD avec des exercices). On a d'autres exemples de choses assez proches dans le reste du concours.

Sinon, oui, le programme est très ambitieux avec un nombre de leçons démesurément exagéré. Préparer l'agrégation interne dans l'esprit du concours demande plusieurs années. Mais heureusement, on peut l'avoir en ne faisant que 10% de ce qui est attendu sur le papier :-D.