Décomposition de Frobenius
Bonjour tout le monde,
la notion de module n'est pas au programme de l'agrégation externe. Cependant, les algèbres (associatives ou non) sur les anneaux commutatifs le sont et les matrices à coefficients dans un anneau commutatif aussi. Je considère donc que les notions basiques sur les modules sont dans l'adhérence du programme (peut-être me plante-je). Pour l'instant, je ne suis pas vraiment décidé à investir beaucoup de temps dans une notion hors-programme. Mais, pour comprendre l'existence d'une décomposition de Frobenius, il me semble que ça s'éclaircit bien avec ce langage. Je soumets à la critique une adaptation directe d'une démonstration du résultat concernant la structure des groupes abéliens de type fini (où là, pour l'existence d'un isomorphisme vers un produit de cycliques avec un $\mathbb{Z}^r$, on peut même rester dans les groupes; pas besoin de prononcer les mots anneau, module, algèbre). Pour l'instant, seule la question de l'existence d'une décomposition de Frobenius m'intéresse. Question : est-elle correcte ?
Tout retour sur le fond ou la forme est le bienvenu.
B
la notion de module n'est pas au programme de l'agrégation externe. Cependant, les algèbres (associatives ou non) sur les anneaux commutatifs le sont et les matrices à coefficients dans un anneau commutatif aussi. Je considère donc que les notions basiques sur les modules sont dans l'adhérence du programme (peut-être me plante-je). Pour l'instant, je ne suis pas vraiment décidé à investir beaucoup de temps dans une notion hors-programme. Mais, pour comprendre l'existence d'une décomposition de Frobenius, il me semble que ça s'éclaircit bien avec ce langage. Je soumets à la critique une adaptation directe d'une démonstration du résultat concernant la structure des groupes abéliens de type fini (où là, pour l'existence d'un isomorphisme vers un produit de cycliques avec un $\mathbb{Z}^r$, on peut même rester dans les groupes; pas besoin de prononcer les mots anneau, module, algèbre). Pour l'instant, seule la question de l'existence d'une décomposition de Frobenius m'intéresse. Question : est-elle correcte ?
Tout retour sur le fond ou la forme est le bienvenu.
B
Réponses
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Bonjour,
je me permets de faire remonter ce message en étant un peu plus précis : si ce que j'ai écrit est correct et si je dis que je ne connais que les modules sur les anneaux euclidiens (pour montrer que j'ai compris ce dont on a seulement besoin ici et aussi pour délimiter le champ des questions), ceci vous paraît-il être un développement intéressant à présenter ? Ou bien est-ce casse-gu...le sans plus de bagage ? Bien sûr, cela dépend de plusieurs paramètres; mais disons... au jugé ?
Merci à vous,
B -
Bonjour,
serait-il possible qu'un modérateur fasse passer la PJ du premier message dans le forum "algèbre" pour obtenir un avis, non pas sur mes questions liées au concours (elles n'y auraient pas leur place), mais pour savoir si celle-ci est correcte ?
Je préfère demander...
Merci,
B -
Tu peux créer un nouveau sujet en algèbre avec ta pièce jointe en demandant ce que les gens en pensent.
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Ok, c'est fait.
Merci,
B -
Si je peux me permettre une question de débutant, je ne comprend pas quelle est la structure de $K[X]^n$ : ce sont en quelques sortes des matrices à $n$ colonnes et au nombre de lignes indéterminé ? Mais alors c'est de dimension infinie ? Tu parles pourtant d'une base finie. D'autre part puisque c'est un module, donc si je comprend bien une sorte d'espace vectoriel sur un anneau au lieu d'être sur un corps, ça veut dire que les scalaires sont les $P\in K[X]$ mais comment multiplies tu ma /matrice/ par un tel polynôme ? Colonne par colonne ?
C'est juste que j'essaie de voir quels objets on manipule avant de lire le raisonnement... -
Bonjour elodouwen,
quand tu disposes d'un corps $K$et d'un entier $n\geq 1$, tu disposes d'un $K$-espace vectoriel en la personne de $K^n$. Quand tu disposes d'un anneau commutatif et unitaire $A$ et d'un entier $n\geq 1$, tu disposes d'un $A$-module en la personne de $A^n$. La construction de ce dernier à partir de $A$ se fait de la même manière que lorsque tu construis $K^n$ à partir de $K$. La "base canonique" $\left(\epsilon_i\right)_{1\leq i \leq n}$ de $A^n$ est la famille telle que pour tout $i$, la $j$e coordonnée de $\epsilon_i$ est $1_A$ si $j=i$ et $0_A$ sinon.
B
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Bonjour!
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