Résolution CAPES maths 1 2020 partie B

Il y a pas une erreur dans le sujet ? Pour la question VI.1 il faut pas $n \geq 2$ au lieu de $n \geq 1$ ?

Car pour $k=n-1$ (j'en ai besoin pour la question 2), on a du $n(B_{n-1,n-2}-B_{n-1,n-1})$ et le $B_{n-1,n-2}$ n'est pas défini pour $n=1$....

J'ai réussi la question 2, il faut trouver la bonne factorisation j'ai mis une dizaine de minutes mais ça marche bien.

Par contre je bloque à la question 3 pour montrer que c'est une base. J'ai supposé $\displaystyle\sum_{k=0}^n a_i B_{n,k}(t)=0$ mais je ne parviens à montrer que $a_0=a_n=0$ en utilisant les valeurs en $0$ et en $1$.

Il suffit de montrer que la famille est libre car la famille possède $n+1$ élément et que c'est la dimension de $\R_n[X]$.

Je ne comprends pas pourquoi c'est échelonné en degré.
Pour moi le degré des $B_{n,k}$ vaut $n$ quelque soit $k$.

Les vecteurs propres $B_{n;k}$ correspondent à $n+1$ valeurs propres distinctes $\{0,1,2,\cdots, n\}$ donc la famille est libre.

Il y a $n+1$ valeurs propres distinctes donc $\phi_n$ est diagonalisable.

Montrons que $\psi_n$ est bijectif.

Soit $P \in Ker (\psi_n)$. Alors $\displaystyle\sum_{k=0}^n P(\dfrac{k}{n}) B_{n,k} (X)=0$
Comme la famille des $(B_{n,k})$ est une base elle est libre et donc $ \forall k \in [|0,n|] \ P(\dfrac{k}{n})=0$
Donc $P$ est un polynôme qui possède $n+1$ racines alors qu'il est de degré au plus $n$, il est donc nul.
On est en dimension finie et $Ker (\psi_n)= \{0\}$ ainsi $\psi_n$ est un endomorphisme bijectif.

Pour montrer que $\phi_n$ n'est pas bijectif je bloque un peu.

Une bêtise comme j'en dit souvent. Mais je préfère utiliser la méthode suggérée par l'énoncé.

Noobey si on suppose par l'absurde qu'aucun des $a_i$ n'est nul alors en évaluant en $0$ on trouve que $A_0=0$ ce qui est absurde.

Non "il existe un $a_i$ nul".
Je ne sais pas comment faire d'une autre manière sans dériver.

J'ai une question de rédaction. Quand on calcule le noyau de l'endomorphisme $\phi_n$, on écrit $Ker(\phi_n)$ ou $Ker(\phi_n(P))$ ?

On écrit $\deg(\phi_n)$ ou $\deg(\phi_n(P))$ ?

Ah d'accord donc je suppose que c'est $\deg(\phi_n)$ et $Ker(\phi_n)$.

L'algèbre linéaire n'est pas encore très clair pour moi.

Ah non $\deg \phi_n$ ne veut rien dire on parle d'une degré d'un polynôme donc c'est $\deg \phi_n(P)$

Ok merci.
On a le droit de diviser par $X^p$ car $a_p \ne 0$ et les autres $X^k$ on un degré strictement supérieur à $p$ donc $X^{k-p}$ est bien défini.