Résolution Capes maths1 2020 partie E

Pour avoir le compte des rotations il suffit de chercher l'image d'un sommet !

Si tu ne sais plus composer une rotation et une réflexion ou décomposer une rotation en produit de réflexion tu peux :
. savoir que la composée d'une rotation $r$ et d'une réflexion $s$ est une ? (rotation, réflexion) et l'identifier en suivant l'image d'un sommet (de tous les sommets si tu as des doutes)
. utiliser la méthode des applications de $\C$ dans lui-même :
la rotation d'angle $\dfrac{\pi}2$ est associée à $z\mapsto \rm{i}z$ et la symétrie $s_\Delta$ associée à $z\mapsto\bar z$

Le groupe que tu cherches détermine un groupe de permutations des sommets. L'ordre est donc diviseur de $4!$.

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au lieu de donner des notations compliquées (je parle de l'écriture ) pour tes isométries je te conseille d'utiliser $r,r^2,r^3$ et, en tenant compte de la suggestion de l'énoncé $s_\Delta\circ r^k$

Ta démonstration de la surjectivité de $F$ est nulle. Pourquoi ?

Et tu dois être le seul à pouvoir comprendre ce que veut dire : réflexion d'axe le milieu de $[AB]$.

$s_{\Delta}(r)$, ça veut rien dire...en tout cas $s_{\Delta}$ ne prend pas comme arguments des rotations.

Détail ? As-tu regardé la définition de $F$ ?

Ta remarque sur les translations est sans intérêt puisque (déjà dit) le isométries cherchées doivent avoir un point fixe.

De plus, dire qu'il n'y a pas de translation conservant le carré est faux : l'identité est une translation.

Je ne vois pas plus comment t'aider vu qu'on dirait que tu ne lis pas ce que je mets.
Dès le départ, tu dis "$F(f)=h$" alors que le but est de se donner $h$ et de montrer qu'il existe $f$ tel que $F(f)=h$. Si tu dis dès le départ $F(f)=h$, ben tu as déjà terminé ta démonstration de surjection mais tu n'as rien montré du tout quoi.

Et comme tu le dis, tout élément de l'ensemble d'arrivé doit avoir un antécédent. Donc "$f$ définie sur $A$" n'est pas suffisant comme hypothèse pour définir la notion de surjection. Il faut un ensemble d'arrivée ! Visiblement, ça ne t'a pas choqué dans la phrase mathématique que j'ai mis.

Soit $f$ une application définie sur un ensemble $A$. On dit que $f$ est INJECTIVE SUR A si $\forall a,b \in A,\ f(a)=f(b) \implies a=b$.
Tu remarqueras qu'on se fout royalement de l'ensemble d'arrivée de $f$, seul l'ensemble de départ importe. S'il est trop grand, il y a un risque que l'application ne soit pas injective. En revanche, sur une partie bien choisie de $A$, $f$ peut devenir injective.

Soit $f : A \rightarrow B$. On dit que $f$ est surjective de $A$ DANS $B$ !!!!! si $\forall y \in B,\ \exists x\in A,\ f(x)=y$ ce qui est équivalent à $B \subset \text{Im}(f)$. Si tu ne précises pas $B$ l'ensemble d'arrivée, c'est que tu n'as rien compris à la surjectivité. Donc, le seul ensemble de départ ne suffit pas contrairement à l'injectivité.
A noter que si $B$ est trop grand, $f$ n'est pas forcément surjective, auquel cas on dit que l'on corestreint $f$ à son image pour la rendre surjective.

Ainsi, que dire des phrases "la fonction carrée est surjective sur $\mathbb{R}$" et "la fonction carrée est injective" ?

Bref, quand on lit ta démo de surjectivité, on se dit que tu n'as jamais vu cette définition de ta vie ou que tu ne l'as jamais comprise, ou que tu n'as jamais réussi correctement une démo de surjectivité.

ha oui, le "fameux" livre... Soit $f: E \rightarrow F$. Tu prends $y \in F$. Si tu dis "soit $x \in E$ tel que $f(x)=y$, tu supposes qu'il existe un $x$ qui vérifie ça, or on ne le sait pas encore. C'est donc un raisonnement par analyse synthèse si je comprends bien. Une fois que tu as "x=formule en fonction de y", tu peux dire j'ai trouvé $x$ donc il existe. Mais alors au moins précise "cherchons $f$ tel que $F(f)=h$, parce que là, on dirait que te le donnes parce qu'il existe. C'est juste calamiteux comme rédaction.

Exemple :
$f(x)=x^2+1$ de $\mathbb{R}$ sur $[1,+\infty[$ est surjective. En effet, soit $y \geq 1.$ Au brouillon je résous, $x^2+1=y$ et trouve $x= \sqrt{y-1}$ comme solution possible. Mais je dis directement : "le nombre $\sqrt{y-1}$ est bien défini et $f(\sqrt{y-1})=\sqrt{y-1}^2+1=y-1+1=y$. Ce qui m'évite de résoudre une équation qui n'a éventuellement pas de solution ou d'écrire une égalité fausse.

Dans ton cas, tu aurais pu écrire : "soit $h \in ...$. On a $F(s_{\Delta} \circ h) = calcul = .. = h$ donc $F$ est surjective de ... dans ....
Et tout est clair.

Mais tu peux me lire stp ? OMG
$e^x=y$, comment tu trouves $x$ ? ou $x^3+x=y$ ? (formules de Cardan ?) ou degré supérieur comme ça je suis sûr que tu es cuit !
On peut très bien ne pas savoir résoudre $f(x)=y$ et que $x$ existe !!!! C'est juste qu'on n'a pas de manière simple de l'isoler explictement algébriquement.
En fait, tu ne fais pas la différence entre "ne pas savoir résoudre une équation" et "savoir qu'une équation n'a pas de solution".
On sait résoudre $x^2+1=0$ dans $\mathbb{R}$ et il n'y a pas de solution et on sait le démontrer car $x^2 \geq 0$.
On ne sait pas résoudre $xe^x=1$ parce qu'on a pas de formule exacte $x=..$ mais on sait par étude de fonction qu'il y a une solution (unique). Et on ne triche pas avec des fonctions de Lambert, ou je sais pas quoi, on sait pas faire algébriquement, point barre. A la base, je te rappelle qu'on ne sait pas résoudre $x^2=2$. La définition de $\sqrt{2}$, c'est justement l'unique solution positive de cette équation donc on invente des notations pour des solutions d'équations qu'on ne sait pas résoudre, c'est du pur génie, n'est-il pas ?
Enfin, des fois, on ne sait rien du tout même si je n'ai pas d'exemple simple qui me vienne à l'esprit (fonction zeta de Riemann peut-être) si on peut m'aider...
Si je prends un polynôme de degré pair élevé, il va admettre un minimum au moins (car ses limites sont $+\infty$) mais il va être compliqué à calculer de manière exacte. Du coup, à priori, on ne saura pas si $f(x)=0$ a des solutions sauf si on trouve par chance une valeur de $f$ plus petite que $0$ mais donc à part évaluer la fonction en plein de points possibles, ce qui est infaisable pour une infinité de valeurs, on ne sait pas faire. Et donc il se peut très bien qu'il y ait un $x$ tel que $f(x)=0$ mais dur à prouver.

Pas vérifié les calculs de la courbe. Les courbes paramétrées, c'est un très large chapitre aussi (cartésiennes, polaires, tangentes, point de rebroussements, symétrie, étude des variations, asymptotes...). Je te conseille aussi de lire un cours complet dessus puisque c'est au programme du CAPES. Le but, c'est d'arriver à ta courbe le jour j sans calculatrice. Normalement, tu dois pouvoir démontrer que $x$ et $y$ sont croissantes, trouver et tracer les tangentes horizontales et verticales. En plaçant, les points critiques de paramètres $t=0$, $t=\frac12$ et $t=1$, cette courbe doit apparaître. Parce que sinon, je sens bien une plainte du genre "infaisable de tracer une courbe paramétrée le jour J dans le temps imparti blabla" alors que celle-ci en particulier est très simple sans calculatrice. Si elle est autorisée, ne t'en prive pas.

Ta démonstration de la surjectivité sera notée 0 puisque tu ne prouves pas que l'antécédent trouvé est dans l'ensemble de départ de $F$.

Quant à dire qu'il n'y a aucune différence entre $s(r)$ et $s\circ r$ tu devrais un peu réfléchir.

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Par ailleurs, étudier un arc paramétré consiste AUSSI à préciser la concavité.
En plus il y a une symétrie signalée par l'énoncé que tu passes sous silence.

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Il n'y a pratiquement aucun besoin de connaissances sur les isométries pour faire XVIII.4
Il suffit de savoir utiliser les résultats des questions précédentes.
Seul reproche qu'on peut faire à l'énoncé c'est que les idées doivent partir de dessins. Mais c'est à toi, après avoir visualisé, d'apporter les preuves.

ça veut dire quoi une réflexion d'axe le milieu d'un segment ???? Tu comprends ce que tu écris ?

Et la symétrie centrale de centre $O$ apparait deux fois dans ta liste si tu réfléchis un peu...

EDIT : grillé :-D

Dans le carré ABCD, quelle isométrie transforme OAB en OBC? En OCB?

A ton avis, comment passer du point $B$ au point $C$, et du $A$ à $B$ ?
Bravo pour ta démarche, tu fais des progrès chaque jour ! Je vais relire ta correction pour faire des progrès aussi.

Soit $f\in\mathcal I^{+} (Q)$.
1) Montrer que $f$ admet un point fixe $O$ puis que $f$ est entièrement déterminée par l'image de $A$.
2) En déduire que $\mathcal I^{+} (Q)$ est un groupe cyclique d'ordre $4$.

@rakam : ok, je voulais juste avec mon dessin qu'il comprenne qu'il avait zappé les diagonales à force de pas faire de dessins.

$O=\frac{A+B+C+D}{4}$ donc $f(O)=...$

@Oshine
$f$ est une isométrie qui envoie le carré sur lui-même donc son centre (point équidistant de sommets) sur le centre (point équidistant des sommets) : déjà dit mais est-ce que tu lis ?.