Résolution capes maths 1 2020 partie F
Bonjour,
Étant bloqué sur la partie précédente j'ai essayé celle-ci.
Mais j'ai un souci sur la question XX.1.
Ce que j'ai fait est juste ?
Sinon je ne vois pas comment tracer la courbe quand on a placé les points de contrôle.
Étant bloqué sur la partie précédente j'ai essayé celle-ci.
Mais j'ai un souci sur la question XX.1.
Ce que j'ai fait est juste ?
Sinon je ne vois pas comment tracer la courbe quand on a placé les points de contrôle.
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Réponses
La relation XI n'est pas celle que tu cites et tu oses écrire que la pente d'une tangente est égale à un vecteur.
Complètement délirant !
Par contre vous allez vraiment vite, c'est impossible à comprendre pour quelqu'un qui n'a pas compris le sujet. C'est juste une vérification.
La question où je bloque dans la partie E vous n'expliquez pas.
J'ai mis $n$ comme coefficient au lieu de $m$ pour le vecteur $\vec{Q_0 Q_1}$.
Rakam vous êtes dur, j'avais quand même l'idée du raisonnement, j'ai fait juste une petite erreur d'étourderie.
Au lieu de dire que j'ai tout faux, vous auriez pu me dire de corriger la petite erreur à la question 1.
Pareil $m=2$ et non $m=3$.
L'indice commence à $P_0$ ...
Les coordonnées de votre point $E$ sont fausses.
Voici ce que je trouve.
Je pense avoir terminé cette partie dites moi si vous trouvez des erreurs. Merci.
Combien un correcteur aurait mis à ta question ?
Pour la courbe, un minimum aurait été d'écrire un paramétrage :
$$M(t)=(1-t)^2\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+2t(1-t)\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}+t^2\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}$$
et de situer le point à tangente parallèle à l'axe des ordonnées et de préciser la concavité !
$\overrightarrow{P_{n-1}P_n}$ colinéaire à $\overrightarrow{P_nQ_1}$
Et
$\overrightarrow{nP_{n-1}P_n}$ colinéaire à $\overrightarrow{mP_nQ_1}$
:-S :-S :-S
Rakam ok merci.
On obtient $x(t)=-4t^2+6t+1$ et $y(t)=-t^2+1$
Et le paramétrage de l'énoncé donne pour tout $t \in ]\dfrac{1}{2},1]$ : (on remplace $t$ par $2t-1$)
$\begin{cases}
x(t)=-16t^2+28t-9 \\ y(t)=-4t^2+4t \end{cases}$
La tangente parallèle à l'axe des ordonnées se situe au point $A(\dfrac{13}{4},\dfrac{7}{16})$
Par contre la concavité je ne vois pas trop. J'ai essayé de lire des cours sur les points d'inflexion mais c'est trop mal expliqué je ne comprends pas le principe.
Quand (!) on a compris le processus (chercher les points où les dérivées premières et secondes sont colinéaires) cela devient assez simple.
Surtout quand on connait l'astuce consistant à étudier les variations de coefficient directeur de la tangente, à valeurs dans $\bar \R$, $\mu(t)=\dfrac{y'(t)}{x'(t)}$ : on peut démontrer que
. en un point stationnaire, si le coefficient directeur se prolonge, on a trouvé la tangente
. la concavité est vers les "$y$ positifs" si $\mu$ est croissante...
...............................
Tu as un peu perdu du temps en changeant de paramètres pour te mettre sur $[1/2,1]$ (ou alors il fallait faire l'étude complète)...
Il suffisait ici de tracer l'arc $\Gamma(C,F,E)$ en gardant la définition sur $[0,1]$.
Ta notation "point $A$" ne convient pas pour cet énoncé.
Je trouve $\mu(t)=\dfrac{-2t+1}{-8t+7}$ et pour tout $1/2 <t \leq 1$ $\mu$ est décroissante.
On a donc une concavité vers les $y$ négatifs.
Quand le coefficient directeur va croissant que dirais-tu de la concavité ? (sans oublier qu'il s'agit d'une notion locale)
Idem quand le coefficient directeur est décroissant ?
Quand le coefficient directeur est croissant, la courbe est concave.
Quand le coefficient directeur est décroissant, elle est convexe.
Elle est donc concave jusqu'à la tangente verticale au point que j'ai déterminé de coordonnées $(13/4,7/16)$ , puis convexe jusqu'au point $F$.
Tu dis que tu sais rien en algo mais le programme au lycée de l'algo est vraiment pas négligeable. Y'a des trucs que j'ai découvert en prépa qui se font au lycée maintenant (récursivité, tri d'un tableau, arbres et graphes...). Là, tu navigues dans un sujet sans avoir lu de cours sur les courbes donc tu sais rien faire de complet qui dépasse des études de fonctions.
Il y a des fonctions convexes et des fonctions concaves mais ici, pour les arcs paramétrés la notion qu'il faut connaître est celle de "concavité".
Pour un point bi-régulier, la dérivée seconde $\dfrac{\rm d^2M}{\rm dt^2}$ est un vecteur qui indique toujours le sens de la concavité (et IMPORTANT, ce sens ne change pas lorsque fait un changement de paramétres admissible).
Pour se repérer plus simplement :
pour les arcs paramétrés on compare le sens de ce vecteur avec celui de l'axe des ordonnées d'où les raccourcis "concavité vers les $y>0$, concavité vers les $y<0$ "
En coordonnées polaires on préfère comparer les sens des vecteurs $\dfrac{\rm d^2M}{\rm dt^2}$ et $\overrightarrow{MO}$ et on parle alors de "concavité vers $O$".
Bref tu as intérêt à voir un cours complet avant de discuter sans comprendre.
Mais j'aimerais étudier les courbes paramétrées mais je n'ai pas encore trouvé de livre qui me plait.
J'ai trouvé un cours sur le net où j'ai réussi à comprendre un petit passage.
$M(7/8)$ est un point birégulier et j'ai calculé le déterminant il vaut $-12<0$ donc la courbe tourne à droite en $M(7/8)$.
$x'(7/8)=13/4$ et $x''(7/8)=-32$
$y'(7/8)=7/16$ et $y''(7/8)=-8$
Et $\begin{vmatrix}
13/4 & -32 \\
7/16 & -8
\end{vmatrix}=-12 <0$
C'est bien ça ?
Après je ne vois pas comment on peut retenir par cœur des résultats comme ça.
Mais comme tu restes le nez dans le guidon tu n'es pas rendu compte que le déterminant cité par ton document est exactement (au signe près) le numérateur de la dérivée de $\mu : t\mapsto\dfrac{y'(t)}{x'(t)}$ de sorte que le signe de ce déterminant donne précisément les variations de $\mu$.
Et en prenant le temps de faire le dessin indiqué tu vois que l'interprétation de ces variations est mécaniquement celle de traîner une tangente le long de la courbe et çà, c'est trop intuitif pour être "oublié".
Bon si on vous avez raison je vais étudier un cours sur les courbes paramétrées.
Maintenant c'est vu en spé c'est pour ça que ce chapitre n'était pas dans mon bouquin de MPSI.