AgregMG 2020 exercice 2 question 4
dans Concours et Examens
Bonjour,
tout est dans le titre. J'ai essayé de résoudre cette question, mais sans succès.
Merci.
tout est dans le titre. J'ai essayé de résoudre cette question, mais sans succès.
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Réponses
Peut-être auras-tu davantage de réponses si tu déposes un lien ou mieux, si tu déposes le cliché de la question avec le contexte s’il y en a besoin.
Cordialement
Dom
voici le lien vers le sujet .
De mémoire j’avais utilisé les fonctions symétriques des racines de $g$.
$$
\forall j\in\{0,\dots,k-1\},\quad g_j = \frac1{2\pi} \int_0^{2\pi} g(e^{i\theta}) e^{-ij\theta}\,d\theta,
$$
puis majorer avec l'inégalité triangulaire sachant que les racines de $g$ sont dans le disque de rayon $1 + \|f\|_\infty$.
avec la deuxième méthode j'ai obtenu :
$\forall j\in\{0,\ldots,k-1\},\ |g_{j}|\leq 1+k||f||_{\infty}$. J'en déduis la majoration souhaitée.
en prenant le module de $g_{j}$.
$|g_{j}|\leq \cfrac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{|g(e^{i\theta})|d\theta}$. Ensuite $g(e^{i\theta})=e^{ik\theta}+\sum\limits_{l=0}^{k-1}{g_{l}e^{il\theta}}$ et j'intègre. Puis j'applique l'inégalité triangulaire. Mais j'ai peut-être fait une connerie.
Quant à la 3ème, il paraît évident à la lecture (même si je ne l'ai pas rédigée) qu'il s'agit d'une application de la 1ère question.
Il reste la première qui est tellement classique qu'elle doit figurer dans les feuilles d'exercices de la quasi-totalité des classes prépas... mais si on ne l'a jamais rencontrée, on peut démontrer le résultat en seulement quelques lignes (encore faut-il trouver la bonne idée de départ).
Ok merci.
La question 2 est évidente en effet.
On a $f(\lambda)=0=\det(A_f- \lambda I_d)=0$
Le déterminant étant nul, $A_f-\lambda I_d$ n'est pas inversible.
Je chercherai la 3 quand j'aurai du temps.