OIM 2020

PierreB
PierreB
dans Concours et Examens
Les Olympiades Internationales de Mathématiques se sont déroulées lundi et mardi derniers.
Prévues en juillet à Saint-Petersbourg, elles ont été remplacées par des épreuves à distance, pour des raisons sanitaires évidentes.

Voici les énoncés des deux jours (version française).
Les résultats ne sont pas encore disponibles.

Pierre.

Réponses

  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Que signifie cette notation ?

    Cordialement,

    Rescassol109858
  • JLT
    JLT
    a:b:c = d:e:f si les triplets (a,b,c) et (d,e,f) sont proportionnels.
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonsoir,

    Merci, JLT.

    Donc, on a $\widehat{PBA}=2\widehat{PAD}$, $\widehat{DPA}=3\widehat{PAD}$ ...

    Cordialement,

    Rescassol
  • JLT
    JLT
    Pour l'anecdote, le problème 6 a été inspiré de la distanciation sociale : il existe $c>0$ tel que si $n$ personnes sont deux à deux distantes d'au moins 1 mètre, alors on peut construire un mur qui sépare les personnes en deux groupes, de sorte que chaque personne soit à distance d'au moins $cn^{-1/3}$ du mur.
  • JLT
    JLT
    Une preuve en images pour l'exercice 1.109962
  • SchumiSutil
    SchumiSutil
    Est-ce que quelqu'un a une solution à l'inégalité du problème 2 ?
  • JLT
    JLT
    Voici une idée. Notons $A$ l'ensemble des $(a,b,c,d)$ tels que $a+b+c+d=1$ et $a\geqslant b\geqslant c\geqslant d\geqslant 0$. On vérifie que l'inégalité stricte est vraie pour $a=b=c=d=1/4$. De plus, d'après l'IAG, $a^ab^bc^cd^d\leqslant a^2+b^2+c^2+d^2$ avec égalité uniquement lorsque $a=b=c=d=1/4$. Donc on se ramène à montrer que pour tout $(a,b,c,d)\in A$ on a $f(a,b,c,d)\leqslant 1$, où $f(a,b,c,d)=(a+2b+3c+4d)(a^2+b^2+c^2+d^2)$.

    Soit $(a_0,b_0,c_0,d_0)$ un quadruplet sur lequel $f$ atteint son maximum. Soit $k=a_0+2b_0+3c_0+4d_0$.

    Soit $A_k$ l'ensemble des $(a,b,c,d)\in A$ tels que $a+2b+3c+4d=k$. Alors $A_k$ est convexe compact et la restriction de $f$ à $A_k$ est une fonction convexe, donc $f$ atteint son maximum en un point extrémal de $A_k$.

    Les conditions $a+b+c+d=1$ et $a+2b+3c+4d=k$ déterminent un plan affine. Chaque inégalité $a\geqslant b\geqslant c\geqslant d\geqslant 0$ détermine un demi-plan. Géométriquement, $A_k$ est l'intérieur d'un polygone convexe. Ses points extrémaux sont les sommets, c'est-à-dire les intersections de deux côtés. On en déduit qu'au moins deux des inégalités $a\geqslant b\geqslant c\geqslant d\geqslant 0$ sont vraies. Il n'y a donc que 6 cas à considérer.

    Si $a=b=c$ alors $f(a,b,c,d)-1=-3(2a-1)^2(6a-1)\leqslant 0$ pour tout $a\in [1/4,1/3]$.

    Si $a=b$ et $c=d$ alors $f(a,b,c,d)-1=-\frac{1}{4}+(a-1/2)(-16a^2+14a-2)$ qui est négatif pour $1/4\leqslant a\leqslant 1/2$.

    Si $a=b$ et $d=0$ alors $f(a,b,c,d)-1=(3a-2)(-6a^2+6a-1)$ qui est négatif pour $1/3\leqslant a\leqslant 1/2$.

    Si $b=c=d$ alors $f(a,b,c,d)-1=-8a(a-1)^2/3$ qui est négatif pour $1/4\leqslant a\leqslant 1$.

    Si $b=c$ et $d=0$ alors $f(a,b,c,d)-1=(a-1)(-9a^2+12a-1)/4$ qui est négatif pour $1/3\leqslant a\leqslant 1$.

    Si $c=d=0$ alors $f(a,b,c,d)-1=(a-1)(-2a^2+4a-1)$ qui est négatif pour $1/2\leqslant a\leqslant 1$.

    J'imagine qu'il y a une solution plus élégante.
  • gai requin
    gai requin
    @JLT : Un petit coup de multiplicateur Lagrange montre que $a^2+b^2+c^2+d^2$ atteint son maximum sur $A$ quand $a=b=c=d=\dfrac 1 4$.
    De plus, pour tout $(a,b,c,d)\in A$,$$\begin{eqnarray}a+2b+3c+4d&=&3(a+b+c+d)-2a-b+d\\&\leq& 3-2a.\end{eqnarray}$$Or, $a\geq\dfrac 1 4$ donc $a+2b+3c+4d\leq\dfrac 5 2$.
    D'où $(a+2b+3c+4d)a^ab^bc^cd^d\leq f(a,b,c,d)\leq\dfrac 5 8$, ce qui est optimal.
  • JLT
    JLT
    @gai requin : on a $f(1,0,0,0)=1$.
  • gai requin
    gai requin
    L'énoncé suppose $a,b,c,d$ non nuls.
  • JLT
    JLT
    Bon d'accord mais $f(1-3\epsilon,\epsilon,\epsilon,\epsilon)$ est très proche de $1$ quand $\epsilon$ est petit donc ta dernière inégalité est fausse.
  • Chaurien
    Chaurien
    Comme d’habitude il y a des choses intéressantes ici :
    https://artofproblemsolving.com/community/c3222
  • gai requin
    gai requin
    @JLT : J'ai confondu min et max. :-D

    D'après Cauchy-Schwarz, $(a+b+c+d)^2\leq 4(a^2+b^2+c^2+d^2)$ pour tous réels $a,b,c,d$ (avec égalité ssi $a=b=c=d$).
    Donc, si $a+b+c+d=1$, on a $a^2+b^2+c^2+d^2\geq\dfrac 1 4$ (avec égalité ssi $a=b=c=d=1/4$).
    De plus, sur ton ensemble $A$, le max est forcément atteint sur l'hypercube-unité donc en $(1,0,0,0)$ et $a^2+b^2+c^2+d^2\leq 1$.
    N'hésite pas à me corriger ;-)
  • JLT
    JLT
    Le fait que $a^2+b^2+c^2+d^2\leqslant 1$ c'est une évidence puisque $a^2+b^2+c^2+d^2\leqslant a+b+c+d$ mais je ne vois pas en quoi ça aide à résoudre le problème, et notamment à traiter le terme $(a+2b+3c+4d)$.
  • gai requin
    gai requin
    Oui, mais j'ai en plus donné l'unique localisation du max.
    En particulier, si $a<1$, $a^2+b^2+c^2+d^2<1$, ce qui effectivement n'aide en rien à résoudre le problème. :-D
  • V@J
    V@J
    J'ai procédé comme suit pendant l'épreuve :
    - l'inégalité arithmético-géométrique, pondérée avec les poids $a$, $b$, $c$ et $d$, indique que $a^a b^b c^c d^d \leqslant a^2+b^2+c^2+d^2$, avec égalité si et seulement si $a = b = c = d = 1/4$ ;
    - si $a = b = c = d = 1/4$, alors $(a+2b+3c+4d) a^a b^b c^c d^d = 10/16 < 1$ ;
    - si $0 \leqslant a \leqslant 1/2$, alors $(a+2b+3c+4d)(a^2+b^2+c^2+d^2) \leqslant (a+3b+3c+3d)(a^2+ab+ac+ad) = (3-2a)a = 1 - (a-1)(2a-1) \leqslant 1$ ;
    - si $1/2 \leqslant a \leqslant 1$, alors $$\begin{align*}(a+2b+3c+4d)(a^2+b^2+c^2+d^2) & \leqslant (a+3b+3c+3d)(a^2+(b+c+d)^2) = (3-2a)(a^2+(1-a)^2) = 1 - (a-1)^2(2a-1) \\ & \leqslant 1.\end{align*}$$

    La plupart des élèves de l'équipe ont procédé légèrement différemment :
    - ils sont tous commencé par introduire l'inégalité $a^a b^b c^c d^d \leqslant a^2+b^2+c^2+d^2$ ;
    - ils n'avaient alors plus qu'à démontrer que $(a+2b+3c+4d)(a^2+b^2+c^2+d^2) \leqslant (a+b+c+d)^3$ ;
    - ils ont tout développé de manière brutale, puis ont associé chaque monôme de gauche, de la forme $uvw$, à un monôme de droite, de la forme $u' v' w'$ avec $u \leqslant u'$, $v \leqslant v'$ et $w \leqslant w'$.
    (En pratique, ils ne l'ont pas écrit comme ça, et leur manière de procéder était plus élégante, mais le fond de la méthode est exactement le même).
  • V@J
    V@J
    Les incroyables résultats de l'équipe de France sont disponibles ici :
    https://www.imo-official.org/team_r.aspx?code=FRA&year=2020

    La France finit 14ème (meilleur résultat depuis les années 1990, soit avant la naissance de tous les élèves et du chef de délégation adjoint), et Aurélien Fourré obtient une médaille d'or et le quatrième meilleur résultat parmi les 616 participants.

    Le compte-rendu de l'Olympiade, rédigé par Martin Rakovsky, est disponible ici :

    https://maths-olympiques.fr/?p=5689
  • PierreB
    PierreB
    X:-(

    Pierre, génération d'encore avant.
  • etanche
    etanche
    Remontée spectaculaire de l’équipe de France aux OIM en 2020.
    PS: La France était classée trois fois 14 ème aux OIM en 2020 , 2015 et 1977 .

    https://www.imo-official.org/results.aspx
  • JLT
    JLT
    Bravo à l'équipe de France pour cette excellente performance !

    JLT, aussi d'une génération antédiluvienne.

    (Toutefois, il semble que la plupart des solutions de l'exercice sur l'inégalité étaient incomplètes.)
  • SchumiSutil
    SchumiSutil
    Bravo à tous. Il faut remonter au siècle précédent pour avoir un tel score individuel (36).
  • vorobichek
    vorobichek
    Bravo aux jeunes! C’est dommage qu’ils n’ont pas pu aller en Russie. Saint-Petersbourg est une très jolie ville.

    Et un petit coup de coeur à Anna et Vladimir. Je sais, je suis affreusement impartiale :-D
  • dSP
    dSP
    Bravo à tous. En particulier au médaillé d'or qui, si j'en crois les résultats d'Olympiades 2020 de l'académie de Versailles, rentre tout juste en Terminale !
  • V@J
    V@J
    En effet. Aurélien, Vladimir et Elias rentrent en terminale. Alec rentre en première. Seuls Yaël et Anna entament leurs études supérieures. Nous sommes donc confiants pour l'an prochain. :-)
  • OShine
    OShine
    C'est costaud le niveau des épreuves ::o
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    > C'est costaud le niveau des épreuves

    Ben, c'est niveau OIM.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Chamavo
    Chamavo
    Si on enlève les candidats d’origine asiatique des équipes américaine, canadienne, australienne et britannique, il ne reste plus grand monde...
  • vorobichek
    vorobichek
    @Chamavo, leur place sera prise par les élèves d'origine de l'Europe de l'Est :-D
  • Mickaël
    Mickaël
    C'est étonnant que le problème 6 n'ait été résolu par si peu de candidats. Le problème n'est pas simple, mais certaines solutions proposées sont vraiment très simples !
  • V@J
    V@J
    Si le problème n'est pas simple, il est au contraire peu étonnant que peu de candidats l'aient trouvé.
    Cela dit, je suis effectivement admiratif du fait qu'il existe un tel problème, si difficile mais avec une solution élémentaire qui tient en quinze lignes.
  • etanche
    etanche
    Une autre solution du 6 qui est intéressante (désolé c’est en anglais)

    https://how-did-i-get-here.com/20q6/

    Pour les autres problèmes https://how-did-i-get-here.com/262/
  • V@J
    V@J
    Bonjour,

    En l'occurrence, cette solution n'est autre qu'une variante légèrement différente des premières solutions déjà proposées sur le lien indiqué par Chaurien, qui coïncident déjà elles-mêmes avec la première solution qui nous était proposée dans le corrigé « officiel » remis aux chefs de délégation. Cela dit, comme toutes les autres variantes, elle est très élégante.
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