Comparaison série intégrale, application

Ton idée de développement m'a l'air franchement trop simple.
La démonstration fait à peine 5 lignes et prend tout au plus 3 minutes.

Comme application, tu peux en revanche donner l'exercice suivant :Soit $f$ une fonction continue, croissante et positive sur $\left]0,1\right]$.
Montrer que les séries $\displaystyle \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n}f(\frac{1}{n})$ et $\displaystyle \sum_{n\geq 0} f(e^{-n})$ sont de même nature.

Je trouve curieux le titre de ta leçon car il y aurait matière à étudier trois aspects, aucun n'étant négligeable :
1. Le classique (et facile) : fonction réelle monotone et comparaison de la série $\displaystyle\sum f(n)$ et de l'intégrale $\displaystyle\int_p^{+\infty}f$.
L'application immédiate étant l'examen des séries de Riemann et de Bertrand.
Aussi : parler de la recherche d'une valeur approchée de la somme de la série.

2. Pour une fonction $f$ à valeurs banachiques et réglée (ou continue par morceaux pour simplifier) et une suite strictement croissante $\varphi$ de limite infinie, comparer la convergence de $\displaystyle\int_{\varphi(0)}^{+\infty}f$ et celle de la série $\displaystyle\sum\int_{\varphi(n)}^{\varphi(n+1}f$.
Il y a là un joli travail, avec des contre-exemples.

3. Pour une fonction banachique dont la dérivée est continue et intégrable (convergence absolue si on reste avec les intégrales de Riemann) comparer la convergence de l'intégrale $\displaystyle\int_a^{+\infty}f$ et celle de la série $\displaystyle\sum f(n)$.
(on peut même généraliser par récurrence lorsque $f$ est de classe $C^p$ et $f^{(p)}$ intégrable : la continuité de la dernière dérivée permet d'utiliser la formule de Taylor, reste intégral, ce qui simplifie les choses).
Application à la convergence de $\displaystyle\sum\dfrac{\cos(\sqrt n)}{\sqrt n}$ et $\displaystyle\sum\dfrac{\cos(\sqrt n)}{n}$

Un truc qui est pas mal est de faire le lien entre série de Bertrand et intégrales de Bertrand.