Un théorème de point fixe (agreg interne)

analytix
analytix
dans Concours et Examens
Bonjour à tous,
Je tente l'agrégation interne depuis la session 2019 (admissible en 2019 et en 2020, hélas à 12 points de la barre d'admission en 2020) et je continue de travailler en profondeur l'ensemble du programme.
Nouveau sur ce forum (que je consulte régulièrement), j'aurais une petite question à vous poser concernant la leçon 208 "Théorèmes de points fixes".

Outre les théorèmes classiques (dans un espace métrique complet, dans un espace métrique compact, méthode de Newton, etc) j'ai récemment déniché (dans le livre de J-E Rombaldi "Mathématiques pour l'agrégation, algèbre et géométrie", théorème 5.28 page 155 pour ceux qui ont l'ouvrage) un théorème alors que je travaillais sur GL(E) :

Soient :
  • $\left(V,\langle\cdot\vert\cdot\rangle\right)$ un espace euclidien (de dimension finie) ;
  • $H$ un sous-groupe compact de $GL(V)$ ;
  • $K$ un sous-ensemble non vide de $V$ qui est compact, convexe et stable par tous les éléments de $H$.
Il existe un unique $a\in K$ qui est point fixe de tous les éléments de $H$.

Je demande si ce théorème a sa place dans cette leçon (bon, jusque là j'imagine que oui) mais surtout j'aimerais savoir si vous connaîtriez des applications de ce théorème et si vous pensez qu'il est pertinent en développement ?

Merci d'avance pour vos éclairages !

Réponses

  • Id Est
    Id Est
    Bonsoir analytix,

    Je suggère plutôt le théorème du point fixe sur un compact :
    Soit $(X,d)$ un espace métrique compact non vide, et $f : X \rightarrow X$ une application telle que l'on ait:
    $d(f(x),f(y))<d(x,y)$ pour tous $x,y \in X$ tels que $x \neq y$.
    1) Montrer que $f$ admet un unique point fixe $u$
    2) Soit $K$ une partie fermée non vide de $X$ telle que $f(K) \subset K$. Montrer que $u \in K$.
    3) Montrer que, $\forall x \in X$, la suite $n \rightarrow f^{n}(x)$ converge vers $u$.

    En plus c'est un développement agréable, a un réel intérêt et donc toute sa place dans la leçon.
    On peut même proposer, si on a le temps, une application rigolote : soit $u_{0}>0$ et $u_{n+1}=\sin(u_{n})$.
    Nature de la série $\sum u_{n}$

    Il faut également mentionner le théorème du point fixe à paramètres.

    Dans les applications, il me paraît notamment indispensable de parler du théorème de Cauchy-Lipschitz.

    Cordialement
  • Dom
    Dom
    C’est l’interne et je ne sais pas si parler de « sous-groupe compact » est au programme.
    Cela dit dès qu’on maîtrise une notion, ce n’est pas non plus défendu de l’utiliser avec les risques que cela comporte.
  • Id Est
    Id Est
    La convexité mentionnée dans l'énoncé proposé me fait penser à une variante du théorème du point fixe de Kakutani.
    Il y en a un exemple dans Francinou-Gianella (Oraux X-ENS). Honnêtement, ce n'est pas central dans cette leçon, à mon avis.
    Il y a déjà fort à faire.

    Cordialement.
  • analytix
    analytix
    Bonjour à vous tous,

    Désolé pour le temps de réponse ("un peu" débordé ces derniers temps par le travail au lycée et mes entraînements agreg).

    Merci merci pour ces pistes de réflexion. Effectivement, j'ai un peu plus parcouru le sujet et je suis tombé sur le théorème de point fixe de Kakutani.

    Pour l'instant, j'ai laissé cette leçon au stade suivant :
    I. Théorème du point fixe dans un espace métrique complet
    Le théorème, quelques contre-exemples qui mettent bien en évidence chaque hypothèse du théorème, le fait que remplacer l'hypothèse de contraction de $f$ par "$\forall (x,y)\in E^2$, $x\neq y$, $d\left(f(x),f(y)\right)<d(x,y)$" est insuffisant pour conclure (un contre-exemple à l'appui) et la proposition suivante :
    Soient $(E,d)$ un espace métrique complet, $p\in\mathbb{N}^*$ et $f:E\longrightarrow E$ telle que $f^p$ soit contractante.
    $f$ admet un unique point fixe et toute suite de la forme $\left\{
    \begin{array}{l}
    u_0\in E\\
    u_{n+1}=f(u_n)\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}
    \end{array}
    \right.$ converge vers ce point fixe.

    II. Théorème du point fixe dans un espace métrique compact
    Le théorème :
    Soit $(E,d)$ un espace métrique compact et soit $f:E\longrightarrow E$ telle que $\forall (x,y)\in E^2$, $x\neq y$, $d\left(f(x),f(y)\right)<d(x,y)$.
    $f$ admet un unique point fixe et toute suite définie de la même façon que précédemment converge vers ce point fixe
    Mais il est vrai que la solution proposée par Id Est me semble beaucoup plus pertinente et effectivement l'application rigolote d'Id Est est à intégrer.

    III. Méthode de Newton
    IV. Application : théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire

    Je vais creuser la piste d'Id Est concernant le théorème du point fixe à paramètres. Je pensais aussi parler d'inversion locale mais j'ai peur que cela fasse peut-être un peu trop. A voir.

    En tout cas, merci beaucoup pour vos pistes de réflexion !
  • Wronskien
    Wronskien
    Bonjour,


    Tes 3 parties sont des classiques, personnellement je mettrais des applications simple du point fixe...
    Je ne me souviens plus de l'exercice (je vais essayer de le retrouver) mais j'avais trouvé une belle petite application à la géométrie.


    Amicalement,
  • Amathoué
    Amathoué
    Le théorème que tu cites dans ton premier message à l’interne ? Hmm... je suis d’accord avec Dom, c’est sacrément risqué.
    Par exemple, une question qui te serait quasi-immédiatement posée puisque tu te places dans un espace euclidien : ton sous-groupe est « compact » au sens de quelle topologie ? Ensuite, puisque tu t’aventures là-dedans, le cadre euclidien (en particulier la dimension finie) est-il une nécessité ?
  • analytix
    analytix
    Effectivement.... très risqué ce "petit" théorème.
    Je vais me pencher sur les questions que vous soulevez.
    Et c'est noté concernant les applications des théorèmes de points fixes.
    Merci bien
  • Id Est
    Id Est
    @Wronskien

    Une application "géométrique" est peut-être l'histoire de la suite polygonale des milieux d'un polygone (convexe?) dans un espace euclidien?
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Parmi les curiosités du point fixe, on a les SFI (systèmes de fonctions itérées) dont le point fixe est bien souvent une jolie fractale (comme une fougère). J’étais tombé dessus à l’épreuve de modélisation.
    Sinon, on peut trouver des phrases auto-référentes en répétant le remplacement du nombre écrit en lettres jusqu’à trouver une solution (ou non).
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Eric
    Eric
    Dans ton plan, tu mets I) Théorème ..., II) Théorème ... Cela signifie-t-il "Le théorème" ou "Un théorème" ?

    Pour un aperçu d'un autre point de vue sur les théorèmes de point fixe, tu peux taper "Kannan fixed point theorem" dans un moteur de recherche ... On peut même extraire de tout cela de quoi en faire une entrée de plus dans ton plan ... si on trouve un livre traitant le sujet (et non pas des dizaines d'articles).
  • Wronskien
    Wronskien
    Bonjour à tous,



    Voilà l'exercice que j'évoquais plus haut :

    Soit ABC un triangle non aplati.
    Montrer qu'il existe un triplet unique (M, N, P) de points du plan tel que :

    M appartient à (BC)
    N appartient à (CA)
    P appartient à (AB)

    (MN) perpendiculaire à (CA)
    (NP) perpendiculaire à (AB)
    (PM) perpendiculaire à (BC)

    (Référence : JM Monier, tome 7 : géométrie)


    Une belle année 2021 à tous...
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