Leçon 110 agreg interne

Bonsoir,
mon plan simplifié sur cette leçon, en essayant de ne pas le centrer sur une application où une autre était:
1) algèbre $\Bbb{K}[{u}]$.
2) polynôme annulateur
3) Théorème de Cayley-Hamilton
4) Théorème de décomposition des noyaux.
j'évoquais aussi la décomposition de Dunford

J'avais trouvé un exercice intéressant comme développement dans le "Pulkowski Montagnon" (31 p 144):
"Montrer qu'un endomorphisme de rang r possède un polynôme annulateur de degré n+1".

Je ne prétends pas que mon choix était idéal.
En tapant l110 sur le moteur de recherche, tu trouveras une discussion sur les développements.

oui, c'est bien ça.

Bonjour Matrixx
Je me souviens d'avoir présenté cette leçon lors de ma préparation à l'université il y a 3-4 ans...
J'ai été interrogé par un membre du jury de l'agrégation interne (il n'était pas jury cette année là mais il l'avait été et il l'est encore !)
Je te relate mes vagues souvenirs :

- bien introduire la notion de polynôme minimal comme le noyau d'une application :
c'est fait ici : http://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=mathspe/cours/polynomeendomorphisme.html
(je ne l'avais pas fait comme cela et il m'a allumé! c'était central pour lui !)

- incontournable : lemme des noyaux ; polynômes annulateurs...
J'avais choisi de développer le théorème qui dans la décomposition d'un espace E en somme direct de sous-espace caractéristique Ei d'un endomorphisme u; la projection sur Ei parallèlement à la somme directe des autres sous-espace est un projecteur qui est un polynôme en u...
C'est dans le Gourdon, tu trouveras facilement et il en découle la décomposition de Dunford (plus forte avec des polynômes...)

- C'était un bon choix de développement pour le préparateur (peu présenté à l'oral...)

Quant aux applications, il y en a une multitude !

-> J'aime beaucoup celle-ci (tu pourras la recaser dans d'autres leçons)
Toutes matrices symétriques positive admet une unique racine carrée :
Pour l'existence c'est assez facile...
Pour l'unicité, tu pourras faire intervenir des polynômes (interpolateur de Lagrange...)

Bonne préparation.

Haha, ev ;-)

Attention tout de même aussi : l’unicité est sous contrainte, car si R en est une, -R en est une aussi et bien d’autres d’ailleurs.

Le second critère de trigonalisation (il existe un polynôme annulateur scindé) est un bon exemple d'utilisation de polynômes d'endomorphismes qui ne repose pas entièrement sur le lemme des noyaux. C'est sans doute un peu court pour un développement, mais cela peut être couplé à la démonstration du second critère de diagonalisation (il existe un polynôme annulateur scindé à racines simples) qui, lui, repose entièrement sur lemme des noyaux.

J'aurais parlé du morphisme d'algèbres $\Phi_f:P\mapsto P(f)$ dans la définition au début. Cela permet d'introduire plus naturellement l'algèbre $\K[f]$, ainsi que l'idéal annulateur, égal à $\ker(\Phi_f)$.
Cela permet également d'évoquer plus simplement le sous-espace vectoriel $\K[f](x)$ comme étant le plus petit sous-espace vectoriel contenant $x$ et stable par $f$, qui est utile dans la démo de Cayley-Hamilton (enfin, celle qui est intéressante dans cette leçon).

Je ne crois pas qu'il soit utile de parler de l'équivalent en termes de matrices, à moins que tu t'en serves dans l'une de tes démos.

Par ailleurs, je pense que Dunford arrive un peu comme un cheveu sur la soupe, à la fin.
J'aurais plutôt parlé de trigonalisation...

Attention, il y a une coquille dans ton plan pour le calcul de $f^{-1}$.

Bonjour,
je n'ai clairement pas le recul suffisant pour juger du bien fondé de ton plan.
Si je suis là, c'est que ce questionnement m'intéresse...

L'existence du morphisme d'algèbre commutatif $\Phi_f$ légitime ensuite pas mal de choses, tout particulièrement le $(PQ)(f)=P(f)\circ Q(f)=Q(f)\circ P(f)$, d'où la nécessité de l'écrire plutôt que de l'évoquer à l'oral, c'est bien ça ?

Autre question, au sujet de la proposition 6 : le polynôme $P$ est, dans ce cas, le polynôme minimal non ?... Ne pourrait-on simplement énoncer: "un endomorphisme est diagonalisable si son polynôme minimal est scindé à racines simples" ou même, pour gagner un peu de temps en écriture : "$f$ est diagonalisable si $\pi_f$ est scindé à racines simples"

Enfin, dans l'énoncé de Dunford, puisque $n$ et $d$ sont des polynômes en $f$, ils commutent nécessairement ... donc pour iii) ne pourrait-on simplement écrire: $d \in \K[f]$ et $n \in \K[f]$ ?

Ce sont plus des questions que des suggestions... et merci pour ce plan qui me semble tenir la route.

.... je suis bloqué là... si le polynôme est scindé, à racines simples et qu'il est annulateur de f...
je n'arrive pas à voir comment il pourrait différer du polynôme minimal (à un scalaire près) ...

P scindé, à racines simples, donc tous les $(X-\lambda_i)$ sont premiers entre eux... et $\pi_f$ divise P si il est annulateur de f... ??? Merci de m'éclairer, parce que là je sèche! Une subtilité m'a échappée...

Bonjour,

Une coquille s'est glissée dans la def.3 : "On le note $\chi_{f}\left( f \right)$" à remplacer par : "On le note $\chi_{f}$" .
Le plan est cohérent (peut-être écrire plutôt que $A^{-1}$ est un polynôme en $A$).
Une petite question amusante : Com(A) est-elle un polynôme en A?
Si vous développez "Dunford", il faut certainement s'attendre à le faire sur un exemple.

Bonne continuation!

Concernant la remarque sur le polynôme caractéristique,
j'avais en tête qu'on définissait le polynôme caractéristique d'une matrice, puis que l'on montre que c'est "invariant" par conjugaison et ensuite on définit le polynôme caractéristique d'un endomorphisme en choisissant une base quelconque (comme on est en dimension finie tout est possible). Je ne sais pas s'il faut tout expliquer dans cette leçon ou juste le mentionner à l'oral.
Qu'en pensez-vous ?

Entièrement d'accord, car je m'étais déjà fait cette réflexion en retournant à une question assez naïve (et très fausse surtout) qui consisterait à dire pour démontrer Calley Hamilton : on remplace X par A dans la formule du polynôme $\chi_A$, ce qui donne: $\chi_A(A)=\det(A-A)=\det(0)=0$

Cette difficulté est sans doute liée à ma mauvaise habitude de vouloir trop vite, trop souvent, identifier le polynôme avec sa fonction polynomiale associée...

J'ai depuis bien compris mon erreur, qui réside en fait dans l'ordre des étapes :
1. évaluation du déterminant dans $M_n(\K[X])$ avec toutes les bonnes questions à se poser sur ce qu'est alors un déterminant dans $M_n(\K[X])$
2. on obtient donc $\chi_A \in \K[X]$
3. substitution de $A$ à l'indéterminée $X$, on passe dans $M_n(\K)$

Donc si je dois l'écrire proprement, $\chi_A(A)=\det(A-XI_n)(A)$... mais même ainsi, on "masque" un peu les problèmes.

Donc Bisam lève cette problématique avec sa proposition! Et les questions embarrassantes disparaissent par la même occasion...

Regarder le commutant de l’application nulle ?

Matrixx écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?6,2180904,2180904#msg-2180904
[Inutile de recopier le message initial. Un lien suffit. AD]
Une bonne occasion de causer d'exponentielle d'endomorphisme / de matrice et de montrer que le développement en séries entières est fini. Dire quelque chose des endomorphismes nilpotents à cet égard.

Polynômes célèbres : $\mu$ (générateur d'un certain noyau) et $\chi$.
Structure d'algèbre de $K$.

Matrice compagnon ?
Bon je dis ça mais j’ai déjà oublié... c’est juste quelque chose de simple (peu stratosphérique) et assez habile.

Personnellement je trouve un peu dommage d'utiliser des concepts avancés comme les espaces vectoriels ou la densité pour prouver un résultat purement algébrique (au sens de l'addition et de la multiplication dans un anneau commutatif). Le déterminant étant défini avec les permutations, pour une matrice $A$ de dimension $n \times n$, pour un $n$ donné, de coefficients $(a_{i,j})$ indéterminés, l'évaluation en cette matrice $A$ de son polynôme caractéristique $\chi_A$ tombe toujours sur 0 par les simples règles des anneaux commutatifs appliquées aux $(a_{i,j})$. Par contre, comme le fait remarquer @TrackTrick, la démonstration associée basée sur $^{t\!} \mathrm{com}(M) M= \det(M) I$ est un peu "casse gueule" au niveau de la nature des objets manipulés. $M$ étant à coefficients dans un anneau de polynômes $K[X]$, on plonge cet anneau intègre dans son corps des fractions $K(X)$ pour justifier $^{t\!} \mathrm{com}(M) M= \det(M) I$ ou comme on lit dans https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Cayley-Hamilton#Une_démonstration_purement_algébrique Cette relation reste encore vraie si les coefficients de $S$ appartiennent à un anneau, puisqu'on n'a pas fait de division.