Formule d'inversion de Pascal

Vraiment besoin d'un livre ? On écrit dans la base canonique de $\R_n[X]$ les matrices des applications.
$P\mapsto P(X+1)$ et $P\mapsto P(X-1)$. Les deux matrices sont inverses l'une de l'autre et c'est fini.

La base canonique évoquée est :$\mathbb 1$, $X$, $X^2$, $X^3$, etc.

Plus généralement, soit $K$ un corps commutatif. Pour $\alpha \in K$, on peut définir l'endomorphisme $T_{\alpha}$ du $K$-espace vectoriel $K[X]$ (ou $K_n[X]$) par : $T_{\alpha}P(X)=P(X+\alpha)$. Il est clair que $T_{\alpha} \circ T_{\beta}=T_{\alpha+\beta}$.
On traduit ensuite matriciellement cette égalité, dans la base canonique de $K[X]$ (ou de $K_n[X]$) sous forme de produit matriciel, avec la formule du binôme, comme dit Aléa.
Bonne journée.
Fr. Ch.

Zhu Shijie doit être jugé pour plagiat par anticipation !

C'est vrai que c'est plus simple de n'accepter de règle de priorité en maths que de français (ou d'européens, à la limite). Et effectivement, Zhu Shijie n'a jamais parlé de "triangle arithmétique", vu qu'il parlait chinois.
Voilà comment l'idéologie rend nul en histoire ... et fait réagir absurdement. Elle rend idiot des gens qui par ailleurs semblent très intelligents.

Cordialement.

@ Gerard0

Je ne suis pas nul en histoire, je suis nul en chinois, et en arabe je connais juste l'alphabet et une vingtaine de mots. Les propagandistes de cette mode actuelle de promotion des préhistoires mathématiques exotiques sont généralement aussi nuls que moi, et parlent par ouï-dire, et disent ce que l'air du temps « progressiste » les conduit à dire. Ce sont eux les idéologues adeptes de « Big Other ». Même s'il se confirmait que tel ou tel personnage ancien, chinois, indien, ou autre, ait évoqué telle ou telle question, nous ne sommes pas certains que ses écrits représentaient vraiment un discours mathématique déductif tel que nous l'entendons depuis les Grecs et pouvant donc prétendre au statut de précurseur des mathématiques authentiques.

Concernant le triangle que nous dirons de Pascal, pour toujours j'espère, il y a un concurrent pour ce Zhu Shijie que brandit Math Coss. C'est un Indien de je ne sais plus quel siècle, mais un amateur d'exotisme nous le dira peut-être. J'étais tombé sur un texte (que malheureusement j'ai égaré) d'un Indien d'aujourd'hui qui proposait de débaptiser le triangle de Pascal - rien de moins ! - pour lui attribuer le nom de cet autre prétendu précurseur. Qu'on le fasse en Inde, je n'y vois aucun inconvénient. C'est le droit de chaque pays d'honorer ses gloires passées, même si les mérites dans le cas présent se bornaient à nous léguer un triangle numérique décoratif. Ce n'est pas de l'idéologie, c'est du bon sens.

Chaurien,

tu nies les études d'historiens, pour la seule prétention d'attribuer une priorité à un français. Et tu sembles resté, en histoire, au "roman national français", qui nie les capacités des peuples colonisés (la Chine et l'Inde ont bel et bien été colonisés). Tant pis pour toi, mais tu ne peux pas exciper de ta méconnaissance pour reprocher à d'autres de rectifier tes erreurs.
Et je maintiens, c'est pour des raisons idéologiques que tu as cette attitude négationniste.

Et il est assez amusant de lire dans mon édition de 1966 des œuvres complètes de Pascal cette remarque ""La disposition numérique du triangle n'était pas nouvelle, puisque Michel Stifel (1543) et Nicolas Tartaglia (1556) en avaient donné une figure à peu près identique". Donc un siècle avant !! Les italiens disent-ils triangle de Tartaglia ? Eh bien oui ! Et les allemands "triangle de Stifel ?

Cordialement.

Attention gérard0, tu nies (et pas Tunisie comme le corrige mon ordinateur, encore un coup d'un exotique) Chauchau va te sauter à la gorge.

Michel Guillemont, dans cet article de l'APMEP, retrace les mentions du triangle de Pascal à travers les âges.
voir ici
D'après lui, la dénomination "triangle de Pascal" est pleinement justifiée.

stephane_idf a écrit:

Quelqu'un peut-il m'indiquer quel bouquin traite cet exercice pour le recaser utilement.

C'est traité dans pas mal de bouquins. En voici trois :
* Algèbre de Xavier Gourdon (exercice 2 page 123 de la 2e édition). C'est traité comme indiqué par aléa.
* 175 exercices corrigés d’algèbre et de géométrie de Jean-Philippe Cortier (CRDP Champagne-Ardennes). C'est l'exercice 5 page 20.
* Mathématiques pour l’agrégation, algèbre et géométrie de Jean-Étienne Rombaldi (éditions De Boeck). Dans l'édition que j'avais empruntée, c'était pages 53 à 55. Je me demande s'il n'y avait pas aussi une application aux probabilités avec ça.

gerard0 et Chaurien : C’est sans espoir messieurs :-D