Centrale maths1 2021, loi du demi-cercle
Bonjour,
C'est moi ou le sujet de Centrale est bien plus costaud que le sujet de X ENS maths B ?
Centrale maths 1
C'est moi ou le sujet de Centrale est bien plus costaud que le sujet de X ENS maths B ?
Centrale maths 1
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Réponses
Il y clairement trop de probas.
Avant il y avait des équations différentielles, des séries de Fourier etc...
Je suis resté bloqué sur deux questions (je ne parle pas du temps que j'ai mis à faire marcher l'IPP dans la question 19...) :
Qu°36. Il s'agit de montrer que si $X$ est discrète d'espérance finie, alors $$\lim\limits_{C\to +\infty} \mathbb{E}\left(X\mathbb{1}_{|X|\leq C}\right)=\mathbb{E}(X).$$
Je sais le faire si $X$ a un moment d'ordre 2 (Cauchy-Schwarz), ou si j'ai droit au théorème de convergence dominée. Mais avec le programme de MP (variables discrètes, espérance et théorème de transfert, séries, familles sommables), je suis bien à la peine...
Qu°43. Il faudrait prouver que pour toute fonction continue bornée $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},$ pour tout $\epsilon>0,$ il existe $f_{\epsilon}$ K-lipschitzienne (K à choisir) bornée telle que $\left\|f-f_{\epsilon}\right\|\leq \epsilon.$
Si quelqu'un a des méthodes accessibles à un élève de MP, ça m'intéresse.
Concernant le théorème de convergence dominée, il n'est effectivement valable que pour la mesure de Lebesgue.
La Q36 en est un bon exemple.
Un autre bon exemple, canonisé celui-là, c'est la preuve du lien entre intégrabilité et fonction de queue pour une variable entière positive, qui est complètement naturelle dans un cadre de théorie de la mesure, mais plus sioux sans ça (il faut à la fois la bonne inégalité et le théorème de transfert au bon moment).
Et donc $|E(X)-E(X1_{|X|\le C})|\le E |X1_{|X|>C}|=\sum_{|k|>C} |k| P(X=k)$ et c'est le reste d'une série convergente.
(J'ai fait comme si c'était à valeurs dans $Z$, sinon il faut indexer).
Tu dis il existe $D'\subset D$ fini avec $\sum_{k\in D\backslash D'} |k| P(X=k)\le \epsilon$,
et après pour $C$ assez grand $\sum_{k\in D'} |k| P(X=k)1_{|k|>C}=0$.
en constatant que les professionnels de la profession ne trouvent pas le bon chemin d'un claquement de doigt, les étudiants de vingt ans vont retrouver le sourire.;-)
Cordialement.
Mais sans cela, en utilisant le programme de cpge, on peut procéder ainsi pour la question $43$ :
-Il suffit de se ramener à un compact. La question $42$ appliquée à l'indicatrice (avec un raccord affine) du complémentaire d'un ensemble du type $]-A,A[$ où $A>2$ montre que les valeurs propres vivent en moyenne dans $[-A,A].$
-Ensuite, en exploitant l'uniforme continuité sur $[-A,A]$ d'une fonction $f$ continue bornée, on peut produire une fonction lipschitzienne qui approche $f$ en norme infinie sur $[-A,A]$ à $\varepsilon$ près (il suffit de prendre une bonne fonction en escalier que l'on rabote en faisant des raccords affines).
-On combine ces deux faits pour conclure (en s'appuyant sur le résultat obtenu à la question précédente pour les fonctions lipschitizennes bornées) : l'idée de la preuve est esquissée dans la partie précédente de ce sujet (lorsque l'on traite le cas des VA bornées).
Je n'arrive pas à l'interpréter comme une convergence en loi d'une suite de variables aléatoires.
page 1, on évoque un théorème de convergence presque sûre d'une suite aléatoire de lois, mais on n'en montrera qu'une version intégrée.
Je n'arrive pas à faire le lien avec le résultat du préambule.
Je suis censé me servir de cette épreuve comme texte de modélisation dans ma prépa agrég, et je vais l'exposer devant la classe. J'aimerais bien acquérir un peu de recul par rapport à l'épreuve, et pouvoir dire ce que représente concrètement le résultat recherché.
Je n'ai pas réussi la question $Q10$, $Q11$.
Pour la question $9$ :
Si $n=1$, on a le mot $()$.
Si $n=2$, on a les mots $(())$ et $()()$.
Si $n=3$, on a les mots $((()))$, $()()()$, $(())()$ et $()(())$ donc $C_3 =4$ ? Il doit me manquer un mot mais je ne le trouve pas.
La questions $10$ je ne vois pas comment montrer que $C_n \leq 2^{2n}$ :-S
Pour la question $11$ je ne comprends pas l'indication. Pourquoi un mot serait forcément de la forme $m(m')$ ? Le mot $(())$ n'est pas de la forme $m(m')$ non ?
Enfin, on peut toujours écrire un mot bien parenthésé $M$ sous la forme : $M=m(m')$ quitte à prendre le mot $m$ vide.
Pour la question $10,$ tu peux voir que l'ensemble des mots bien parenthésés, de longueur $2n$ s'injecte dans l'ensemble des applications de $\{1,\ldots,2n\}$ à valeurs dans $\{0,1\}$ (avec la codification suivante, $0$ : on ouvre une parenthèse à gauche et $1$ : on ouvre une parenthèse à droite).
Ensuite on utilise que le cardinal des applications de $\{1,2,...,n\}$ dans $\{0,1\}$ est $2^{2n}$ car $card( \{0,1 \}=2$ et $card(\{1,2,...,n\})=2n$
Je vais essayer de trouver la question 11. A mon avis, il y a une histoire de partition.
D'après l'indication de l'énoncé, un mot bien parenthésé est de la forme $(m)m'$
On cherche $C_k$ le nombre de mots bien parenthésés de longueur $2k$.
On a une partition suivant le nombre de parenthèses de $m'$. Si $m'$ est constitué de $2$ parenthèse alors $(m)$ est constitué de $2k-2=2(k-1)$ parenthèses. Il y a $C_{k-1}$ mots bien parenthésés de longueur $2(k-1)$.
Si $m'$ est constitué de $4$ parenthèses alors $(m)$ est constitué de $2k-4=2(k-4)$ parenthèses. Il y a $C_{k-2}$ mots bien parenthésés de longueur $2k-4$.
Etc... Si $m'$ est constitué de $2k-2$ parenthèses alors $(m)$ est constitué de $2$ parenthèses.
Donc on a $\boxed{\forall k \geq 1 \ C_k = \displaystyle\sum_{i=0}^{k-1} C_i C_{k-i-1}}$
Je ne sais pas si cette rédaction est assez rigoureuse...
Chaque sommet est associé à un élément de $[|1,n|]$. Il y a $n^l$ applications de $[|1,l|]$ dans $[|1,n|]$.
Chaque élément de la liste parmi les $k$ éléments est associé à un sommet parmi les $l$ sommets distincts. Soit $\{1,2, \cdots, l\}$ l'ensemble des $l$ sommets distincts.
Il y a $l^k$ applications de $[|1,k|]$ dans $[|1,l|]$.
Donc le nombre de cycles de longueur $k$ dans $[|1,n|]$ passant par $l$ sommets distincts est inférieur à $l^k \times n^l$
Soit $\{x_n,n\in\N\}$ une énumération des valeurs prises par $X$ et $g$ la fonction qui à $c\in\R^+$ associe $\mathbb{E}(|X|\mathbb{1}_{|X|>c})$.
Alors pour tout $c\in\R^+$, par théorème de transfert, \[g(c)=\sum_{n=0}^{+\infty}|x_n|\mathbb{P}(X=x_n)\mathbb{1}_{]c,+\infty[}(|x_n|).
\] On pose alors $u_n:c\mapsto |x_n|\mathbb{P}(X=x_n)\mathbb{1}_{]c,+\infty[}(|x_n|)$ pour tout $n\in\N$.
La série de fonctions $\sum_{n\geq 0} u_n$ converge normalement sur $\R^+$ donc uniformément, car $X$ est d'espérance finie, donc on peut appliquer le théorème d'interversion somme-limite.
Or pour tout $n\in\N$, $u_n(c)\rightarrow 0$ lorsque $c\rightarrow +\infty$ donc $g(c)\rightarrow 0$ également et par conséquent, puisque $|\mathbb{E}(X)-\mathbb{E}(X\mathbb{1}_{|X|>c})|\leq g(c)$, on conclut que $\mathbb{E}(X\mathbb{1}_{|X|>c})\rightarrow \mathbb{E}(X)$.
C'est à mon avis plus proche de ce qui est attendu d'un élève de MP.
On retrouve d'ailleurs le même genre de choses à la question 5 du sujet X math B 2021.
Je suppose que non, quelle est la marche à suivre ?
Et sinon pour la question 4, quelle est la marche à suivre pour montrer que $f$ (qui est une forme linéaire) possède un minimum sur $B_n(\R)$ (qui n'est pas un sous-ev) ?
Merci .
Je vais dire une bêtise mais comment est-on sûr qu' elle n'est pas constante et possède bien un ou des extrema ?
En fait je connaissais la version math sup : "fonction réelle continue sur un segment , bornée et atteint ses bornes" mais pas la version généralisée "forme linéaire sur un compact " .
Une forme linéaire peut ne pas être bornée sur un compact en dimension infinie !
Cela vient du fait que l'image d'un compact par une fonction continue est un compact (essaie de le prouver à titre d'exercice, en utilisant la caractérisation de Bolzano-Weierstrass), et qu'un compact de $\R$ admet un min et un max.
Je te laisse voir pourquoi chacune de ces trois parties est fermée.