Centrale maths1 2021, loi du demi-cercle
Bonjour,
C'est moi ou le sujet de Centrale est bien plus costaud que le sujet de X ENS maths B ?
Centrale maths 1
C'est moi ou le sujet de Centrale est bien plus costaud que le sujet de X ENS maths B ?
Centrale maths 1
Réponses
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C'est toi.
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D'accord je suis vite impressionné par les notations :-X
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Oui je me disais bien, le sujet B de l'X (il n'intervient pas dans l'ENS) est bien moins guidé, les questions demandent de l'initiative et de l'aisance technique.
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J'ai quand même depuis quelques années le sentiment qu'il y a une certaine surenchère sur les sujets de probas. On va vite (si ce n'est pas déjà fait) se retrouver avec un programme officieux.
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Bonsoir,
Il y clairement trop de probas. -
Oui Centrale c'est devenu abusé, trop de sujet 100% proba. Même en PC ils ont eu une partie sur les marches aléatoires.
Avant il y avait des équations différentielles, des séries de Fourier etc... -
@OShine : En réalité, les probabilités n’arrivent que à la partie III.B dans le sujet donné ci-dessus. De plus, comme très souvent dans les problèmes de cpge, dans la plupart des questions les probabilités ne servent que d’enrobage : elles se ramènent directement à de l’algèbre linéaire ou à de l’analyse.
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J'ai fait le sujet hier soir (sans rédiger). Effectivement, il n'y a pas de probabilités avant la partie III.B ; et les "vraies" idées probabilistes n'apparaissent que dans la partie IV.
Je suis resté bloqué sur deux questions (je ne parle pas du temps que j'ai mis à faire marcher l'IPP dans la question 19...) :
Qu°36. Il s'agit de montrer que si $X$ est discrète d'espérance finie, alors $$\lim\limits_{C\to +\infty} \mathbb{E}\left(X\mathbb{1}_{|X|\leq C}\right)=\mathbb{E}(X).$$
Je sais le faire si $X$ a un moment d'ordre 2 (Cauchy-Schwarz), ou si j'ai droit au théorème de convergence dominée. Mais avec le programme de MP (variables discrètes, espérance et théorème de transfert, séries, familles sommables), je suis bien à la peine...
Qu°43. Il faudrait prouver que pour toute fonction continue bornée $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},$ pour tout $\epsilon>0,$ il existe $f_{\epsilon}$ K-lipschitzienne (K à choisir) bornée telle que $\left\|f-f_{\epsilon}\right\|\leq \epsilon.$
Si quelqu'un a des méthodes accessibles à un élève de MP, ça m'intéresse. -
Q36: reste d'une série convergente.
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Le théorème de convergence dominée, admis, est au programme de MP.
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@MrJ: il y a deux aspects; à la fois des problématiques avancées (marches aléatoires, inégalité de Hoffding (parfois dans des cas particuliers), exponentielles), et des astuces ad-hoc, pas spécialement naturelles mais qui deviennent canoniques, et qui sont dues au fait qu'on a une main attachée dans le dos.
La Q36 en est un bon exemple.
Un autre bon exemple, canonisé celui-là, c'est la preuve du lien entre intégrabilité et fonction de queue pour une variable entière positive, qui est complètement naturelle dans un cadre de théorie de la mesure, mais plus sioux sans ça (il faut à la fois la bonne inégalité et le théorème de transfert au bon moment). -
$E(X)-E(X1_{|X|\le C})=E(X1_{|X|>C})$.
Et donc $|E(X)-E(X1_{|X|\le C})|\le E |X1_{|X|>C}|=\sum_{|k|>C} |k| P(X=k)$ et c'est le reste d'une série convergente.
(J'ai fait comme si c'était à valeurs dans $Z$, sinon il faut indexer). -
Justement, en indexant, je ne vois plus la série...
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Tu as raison, je pense que si le support de la loi n'est pas localement fini, ça va être plus compliqué...
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Peut-être en regardant du côté des familles sommables ? Je crois qu'il y a des trucs admis au programme.
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Ah, ça y est, j'ai trouvé, il suffit de faire comme de la convergence dominée pour les familles sommables.
Tu dis il existe $D'\subset D$ fini avec $\sum_{k\in D\backslash D'} |k| P(X=k)\le \epsilon$,
et après pour $C$ assez grand $\sum_{k\in D'} |k| P(X=k)1_{|k|>C}=0$. -
Ok, merci. Je cherchais aussi du côté des familles sommables, mais je n'étais pas parvenu à formaliser le raisonnement.
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Bonjour à tous,
en constatant que les professionnels de la profession ne trouvent pas le bon chemin d'un claquement de doigt, les étudiants de vingt ans vont retrouver le sourire.;-)
Cordialement. -
La question $43$ est directe si on connaît les différentes caractérisations de la convergence en loi (qui s'appuient en filigrane sur la notion de tension)...
Mais sans cela, en utilisant le programme de cpge, on peut procéder ainsi pour la question $43$ :
-Il suffit de se ramener à un compact. La question $42$ appliquée à l'indicatrice (avec un raccord affine) du complémentaire d'un ensemble du type $]-A,A[$ où $A>2$ montre que les valeurs propres vivent en moyenne dans $[-A,A].$
-Ensuite, en exploitant l'uniforme continuité sur $[-A,A]$ d'une fonction $f$ continue bornée, on peut produire une fonction lipschitzienne qui approche $f$ en norme infinie sur $[-A,A]$ à $\varepsilon$ près (il suffit de prendre une bonne fonction en escalier que l'on rabote en faisant des raccords affines).
-On combine ces deux faits pour conclure (en s'appuyant sur le résultat obtenu à la question précédente pour les fonctions lipschitizennes bornées) : l'idée de la preuve est esquissée dans la partie précédente de ce sujet (lorsque l'on traite le cas des VA bornées). -
Quels renseignements donnent la convergence qu'on établit à la fin du problème sur la "loi asymptotique" des valeurs propres ?
Je n'arrive pas à l'interpréter comme une convergence en loi d'une suite de variables aléatoires. -
En fait le résultat démontré est plus faible que le résultat sous-entendu page 1:
page 1, on évoque un théorème de convergence presque sûre d'une suite aléatoire de lois, mais on n'en montrera qu'une version intégrée. -
@aléa: Je ne suis pas très à l'aise en probas, je sais que la convergence en loi d'une suite de variables aléatoires réelles $(X_n)$ vers une variable aléatoire $X$ équivaut à: pour toute fonction de la variable réelle, bornée $f$ on $E(f(X_n)) \rightarrow E(f(X))$
Je n'arrive pas à faire le lien avec le résultat du préambule.
Je suis censé me servir de cette épreuve comme texte de modélisation dans ma prépa agrég, et je vais l'exposer devant la classe. J'aimerais bien acquérir un peu de recul par rapport à l'épreuve, et pouvoir dire ce que représente concrètement le résultat recherché. -
Le sujet montre la convergence faible de la mesure empirique du spectre d'une certaine matrice (aléatoire et normalisée) vers une loi limite appellée loi du semi-cercle (ou du demi-cercle ou loi de Wigner).
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La question $36$ semble difficile. Toutes les questions calculatoires d'intégrales je sais faire (par exemple Q17 à Q20 ça me semble facile), de séries entières aussi, mais ma lacune principale reste le dénombrement.
Je n'ai pas réussi la question $Q10$, $Q11$.
Pour la question $9$ :
Si $n=1$, on a le mot $()$.
Si $n=2$, on a les mots $(())$ et $()()$.
Si $n=3$, on a les mots $((()))$, $()()()$, $(())()$ et $()(())$ donc $C_3 =4$ ? Il doit me manquer un mot mais je ne le trouve pas.
La questions $10$ je ne vois pas comment montrer que $C_n \leq 2^{2n}$ :-S
Pour la question $11$ je ne comprends pas l'indication. Pourquoi un mot serait forcément de la forme $m(m')$ ? Le mot $(())$ n'est pas de la forme $m(m')$ non ? -
@Oshine, tu as oublié pour le cas $n=3$ : $\left( \left(\right) \left( \right) \right).$
Enfin, on peut toujours écrire un mot bien parenthésé $M$ sous la forme : $M=m(m')$ quitte à prendre le mot $m$ vide.
Pour la question $10,$ tu peux voir que l'ensemble des mots bien parenthésés, de longueur $2n$ s'injecte dans l'ensemble des applications de $\{1,\ldots,2n\}$ à valeurs dans $\{0,1\}$ (avec la codification suivante, $0$ : on ouvre une parenthèse à gauche et $1$ : on ouvre une parenthèse à droite). -
Bobby Joe joli argument, merci beaucoup.
Ensuite on utilise que le cardinal des applications de $\{1,2,...,n\}$ dans $\{0,1\}$ est $2^{2n}$ car $card( \{0,1 \}=2$ et $card(\{1,2,...,n\})=2n$
Je vais essayer de trouver la question 11. A mon avis, il y a une histoire de partition. -
Pour la question $11$. Sans l'indication de l'énoncé, ça aurait été super dur ::o
D'après l'indication de l'énoncé, un mot bien parenthésé est de la forme $(m)m'$
On cherche $C_k$ le nombre de mots bien parenthésés de longueur $2k$.
On a une partition suivant le nombre de parenthèses de $m'$. Si $m'$ est constitué de $2$ parenthèse alors $(m)$ est constitué de $2k-2=2(k-1)$ parenthèses. Il y a $C_{k-1}$ mots bien parenthésés de longueur $2(k-1)$.
Si $m'$ est constitué de $4$ parenthèses alors $(m)$ est constitué de $2k-4=2(k-4)$ parenthèses. Il y a $C_{k-2}$ mots bien parenthésés de longueur $2k-4$.
Etc... Si $m'$ est constitué de $2k-2$ parenthèses alors $(m)$ est constitué de $2$ parenthèses.
Donc on a $\boxed{\forall k \geq 1 \ C_k = \displaystyle\sum_{i=0}^{k-1} C_i C_{k-i-1}}$
Je ne sais pas si cette rédaction est assez rigoureuse... -
Encore une question de dénombrement la Q23. Ma réponse est-elle correcte ?
Chaque sommet est associé à un élément de $[|1,n|]$. Il y a $n^l$ applications de $[|1,l|]$ dans $[|1,n|]$.
Chaque élément de la liste parmi les $k$ éléments est associé à un sommet parmi les $l$ sommets distincts. Soit $\{1,2, \cdots, l\}$ l'ensemble des $l$ sommets distincts.
Il y a $l^k$ applications de $[|1,k|]$ dans $[|1,l|]$.
Donc le nombre de cycles de longueur $k$ dans $[|1,n|]$ passant par $l$ sommets distincts est inférieur à $l^k \times n^l$ -
Pour la Q36, on peut faire aussi comme ça :
Soit $\{x_n,n\in\N\}$ une énumération des valeurs prises par $X$ et $g$ la fonction qui à $c\in\R^+$ associe $\mathbb{E}(|X|\mathbb{1}_{|X|>c})$.
Alors pour tout $c\in\R^+$, par théorème de transfert, \[g(c)=\sum_{n=0}^{+\infty}|x_n|\mathbb{P}(X=x_n)\mathbb{1}_{]c,+\infty[}(|x_n|).
\] On pose alors $u_n:c\mapsto |x_n|\mathbb{P}(X=x_n)\mathbb{1}_{]c,+\infty[}(|x_n|)$ pour tout $n\in\N$.
La série de fonctions $\sum_{n\geq 0} u_n$ converge normalement sur $\R^+$ donc uniformément, car $X$ est d'espérance finie, donc on peut appliquer le théorème d'interversion somme-limite.
Or pour tout $n\in\N$, $u_n(c)\rightarrow 0$ lorsque $c\rightarrow +\infty$ donc $g(c)\rightarrow 0$ également et par conséquent, puisque $|\mathbb{E}(X)-\mathbb{E}(X\mathbb{1}_{|X|>c})|\leq g(c)$, on conclut que $\mathbb{E}(X\mathbb{1}_{|X|>c})\rightarrow \mathbb{E}(X)$.
C'est à mon avis plus proche de ce qui est attendu d'un élève de MP.
On retrouve d'ailleurs le même genre de choses à la question 5 du sujet X math B 2021. -
Pour la $Q2$, est-ce qu'on peut trouver une matrice $P$ orthogonale qui diagonalise simultanément les 2 matrices symétriques $A$ et $B$ ?
Je suppose que non, quelle est la marche à suivre ? -
Oui c'est une bêtise. Si elle est constante elle a bien bien un minimum...
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C'est "fonction continue sur un compact" plus généralement.
Une forme linéaire peut ne pas être bornée sur un compact en dimension infinie !
Cela vient du fait que l'image d'un compact par une fonction continue est un compact (essaie de le prouver à titre d'exercice, en utilisant la caractérisation de Bolzano-Weierstrass), et qu'un compact de $\R$ admet un min et un max. -
@totem: Borné car les coefficients d'une matrice de $B_n(\R)$ sont entre 0 et 1. Fermé comme intersection de fermés: L'ensemble des matrices $M$ telles que $\sum m_{i,j} = 1$ pour tout i, l'ensemble des matrices $M$ telles que $\sum m_{j,i} = 1$ pour tout i, et l'ensemble des matrices dont tous les coefficients sont positifs ou nul.
Je te laisse voir pourquoi chacune de ces trois parties est fermée. -
Merci ! En fait cette question était pleine de raisonnements sous-jacents...
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