Oral capes/cafep - définitions "bouclantes"

Bonjour tout le monde,
Je suis nouveau sur le forum et suis actuellement en train de préparer l'oral du CAFEP.

Je suis en difficulté concernant les leçons de géométrie, notamment "droite et plan de l'espace" et "produit scalaire dans le plan".

Par exemple pour définir une droite passant par un point $A$ et portée par un vecteur $\vec{u}$, on peut dire qu'il s'agit de l'ensemble des points $M$ tels que $\vec{AM} = k\vec{u}$ avec $k$ un réel.
Or si l'on définit un vecteur par sa norme, DIRECTION, et sens cela fait intervenir la notion de droite...

De même on peut définir dans un repère orthonormé le produit scalaire $\vec{u}.\vec{v} = xx' + yy'$ (avec $(x,y)$ les coordonnées de $\vec{u}$ et $(x',y')$ les coordonnées de $\vec{v}$).
Mais comment définir un repère orthonormé autrement qu'un couple $\vec{i}$, $\vec{j}$ qui vérifie $\vec{i}.\vec{i} = 1$ ; $\vec{j}.\vec{j} = 1$ et $\vec{i}.\vec{j} = 0$ ? Ce qui fait donc intervenir la notion de produit scalaire...

Avez-vous des idées sur comment définir les notions sans "boucler"?
En vous remerciant d'avance.
PS : Navré si mon message est illisible, je ne suis pas certain de savoir écrire des mathématiques numériquement...

[En $\LaTeX$, ce sont les expressions mathématiques au complet que l'on encadre par des $\$$, pas seulement quelques termes. ;-) AD]