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distance euclidienne

Envoyé par yoyo 
distance euclidienne
il y a six années
bonjour!
question qui va paraitre stupide mais comment on montre que la distance euclidienne par exemple dans le plan est une distance ?
Je bloque évidemment que l'inégalité triangulaire !!!
remarque
Re: distance euclidienne
il y a six années
Elève l'inégalité au carré et pense à Cauchy-Schwartz.
Re: distance euclidienne
il y a six années
On est obligé d'utiliser les gros moyens ?
Imaginons que l'on fait un cours sur les espace métriques, on parle de distance puis on donne la distance euclidienne comme exemple, on ne connait pas encore Cauchy Schwartz ! Alors comment faire ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par AD.
Re: distance euclidienne
il y a six années
personne veut répondre ou bien il est trop tard pour ce genre de question débile ???
Re: distance euclidienne
il y a six années
avatar
ben tu démontres Cauchy-Schwarz (sans "t", n'est-ce pas messieurs ;)) avant la preuve du fait que c'est une distance... (perso je connaissais Cauchy-Schwarz [ouais genre on prend souvent l'apéro ensemble, ce Cauchy quel blagueur :D ] avant de voir la définition d'une distance, tout ça en suivant un cursus normal et en bossant uniquement les cours des profs...)
Re: distance euclidienne
il y a six années
Utiliser Cauchy Schwartz insinue qu'au muni l'espace d'un proquit scalaire alors moi je veux juste me placer dans un espace métrique, et je voudrai juste montrer avec des outils simple que la distance euclidienne dans le plan est une distance . J'éspère que quelqu'un va me répondre , c'est quand même une question bête,et je suis la preùière à dire que je suis bête!

Puis une deuxième interrogation :
En géométrie, c'est à dire on se place dans un espace affine de dimension deux par exemple, on parle de distance de deux points A et B, mais comment est elle définie cette distance ? c'est la distance euclienne je pense mais bon comment on peut le savoir, c'est un a priori ?? ou bien cela vient de postulat ou d'axiome ou ......
Voici deux questions , deux combats !!
Re: distance euclidienne
il y a six années
avatar
Bonjour Yoyo.

Une distance euclidienne définit un produit scalaire, donc inutile de l'insinuer.

Précisément, il existe une base de ton espace telle que la distance euclidienne soit définie par :$$\big(d(\vec u,\vec v)\big)^2 = \sum_{i=1}^n(u_i - v_i)^2$$ et la forme polaire de cette forme quadratique (définie positive) est un produit scalaire et vérifie nécessairement Cauchy-Schwarz.

Pour ta seconde question, on ne parle pas de la distance de deux points d'un espace affine car il y a des distances pour chaque direction de droite compatibles avec la structure affine mais le problème c'est l'harmonisation entre les distances sur deux droites.

Bruno
Re: distance euclidienne
il y a six années
Alors si je fais un cours sur les espaces métriques ( je ne connais pas le produit scalaire !), j'introduis la définition de la distace de x et y , et ensuite je parle de la distance euclidienne , et pour montrer qu'elle est bien une distance , je démontre Cauchy - schartz pour montrer l'inégalité triangulaire. On ne peut pas par un calcul et une astuce contourné tout ça ?

Ensuite pour la distance en géomértrie, lorsqu'on parle d'un triangle ABC et qu'parle de longeur AB , c'est quoi la longeur d'un segment [AB]?
remarque
Re: distance euclidienne
il y a six années
Citation
yoyo
Alors si je fais un cours sur les espaces métriques ( je ne connais pas le produit scalaire !), j'introduis la définition de la distace de x et y , et ensuite je parle de la distance euclidienne , et pour montrer qu'elle est bien une distance , je démontre Cauchy - schartz pour montrer l'inégalité triangulaire. On ne peut pas par un calcul et une astuce contourné tout ça ?

Et ouais, c'est la vie. Pour ma part, je trouve Cauchy-Schwarz (sans t en effet, Gaston_L) suprêmement astucieux. A toi de voir. Tu peux toujours tout recalculer en coordonnées, élever au carré et refaire Cauchy-Schwarz à l'insu de ton plein gré.
ev
Re: distance euclidienne
il y a six années
avatar
Bonjour yoyo,

Sans prétendre répondre à ta question, je te réponds par une autre question:

Exercice: Déterminer les minimums de $f$ définie sur $\mathbb R^2$ par $f(x,y) = \sqrt{(1-x)^2+y^2}+ \sqrt{x^2+(1-y)^2}$.

amicalement,

e.v.
Re: distance euclidienne
il y a six années
avatar
Il me semble que tu n'as pas bien lu ce que j'ai écrit.

Si l'on se donne deux points distincts O et I, il existe une unique application affine f de la droite (OI) dans R qui prend la valeur 0 en O et 1 en I. Tu peux alors poser d(M,N) = |f(M) - f(N)| et tu as une distance sur la droite (OI) et sur toute droite parallèle à (OI).

Mais on définit ainsi une distance sur chaque direction de droite et pour le triangle ABC... On n'a rien de concret.

Bruno
Re: distance euclidienne
il y a six années
donc Cauchy Schwarz est donc presque incontournalbe si on veut eviter trop de calcul embetant , dac !

Puis pour la distance en géométrie alors on a une distance sur chaque direction de droite mais on ne peut pas dire que d(A,B)= Norme(vecteur AB) ?car dans un espace affine E, on lui associe un espace vectoriel E' muni d'une de la norme euclidienne.
Re: distance euclidienne
il y a six années
avatar
Tu vas trop vite yoyo.

Si l'on se donne un espace affine réel on peut définir sur chaque direction de droite une distance ce qui revient à définir sur chaque droite vectorielle une norme.

Le problème avais-je noté c'est que, pour donner à l'espace affine tout entier une structure d'espace métrique, il faut imposer des conditions à toutes ces distances afin d'obtenir l'inégalité triangulaire quand trois points ne sont pas alignés.

Par exemple, si tu veux avoir une distance qui permette d'établir le théorème de Pythagore, il est clair que la norme associée doit être définie par une forme quadratique définie et positive.

Le "miracle", c'est que cette condition est suffisante si tu te donnes une forme quadratique définie positive sur l'espace vectoriel, tu obtiens :
1°) une distance sur l'espace affine ;
2°) la forme polaire de la forme quadratique est un produit scalaire sur l'espace vectoriel qui est euclidien ;
3°) le théorème de Pythagore est vrai pour cet espace.

Bruno
ev
Re: distance euclidienne
il y a six années
avatar
Quelque chose comme ça ?

[attachment 9442 miracle.gif]


amicalement,

e.v.

[Pour éviter de devoir télécharger l'image et pour l'alléger. Bruno]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par Bruno.


Re: distance euclidienne
il y a six années
avatar
Absolument...

D'habitude je ne comprends pas l'anglais, alors l'humour anglais... smiling bouncing smiley

Bruno
6po
Re: distance euclidienne
il y a six années
Bruno Écrivait:
-------------------------------------------------------
> il est clair que la norme associée doit être définie
> par une forme quadratique définie et positive.
>
> Le "miracle", c'est que cette condition est
> suffisante si tu te donnes une forme quadratique
> définie positive sur l'espace vectoriel

Bonjour Bruno,

la condition est-elle nécessaire ?

Merci par avance
Re: distance euclidienne
il y a six années
avatar
En géométrie élémentaire classique, on montre niveau secondaire qu'étant donné un triangle $ABC$, on a $AC\leq AB+BC$. On a donc bien une distance sur le plan.
On n'est pas obligé de faire un cours très axiomatisé pour convaincre les étudiants !...
Re: distance euclidienne
il y a six années
avatar
6po, joker pour le moment... sad smiley

Bruno
Re: distance euclidienne
il y a six années
avatar
Pour 6po.

Précisons le problème : on se donne un espace affine muni d'une distance telle que la topologie associée à cette distance soit la topologie canonique de l'espace ; autrement dit toute boule contient un polytope et réciproquement. On a alors une notion de projection orthogonale, donc d'orthogonalité et là, sauf erreur de ma part, si le théorème de Pythagore est vrai, la distance est définie par une forme quadratique.

Bruno


Ceci est faux. Voir la suite de la discussion.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par Bruno.
remarque
Re: distance euclidienne
il y a six années
Ben, moi qui croyait que toutes les normes étaient équivalentes en dimension finie... On m'aurait menti ???
Re: distance euclidienne
il y a six années
avatar
Bonjour remarque.

Tu es sûr que toute distance sur un espace affine dérive d'une norme ? On a l'axiome de séparation, l'inégalité triangulaire, mais pour la quasi homogénéité ?? Si c'est le cas, évidemment ma restriction n'a pas lieu d'être.

Bruno
Re: distance euclidienne
il y a six années
avatar
Je ne suis pas sûr que c'est ta question, Bruno, mais un espace métrique peut toujours être vu comme une partie d'un espace normé.
(identifier $x$ à la fonction $y\mapsto d(x,y)$)
remarque
Re: distance euclidienne
il y a six années
Bruno : ma remarque est que dès qu'on fixe une origine, on peut prendre n'importe quelle norme non euclidienne et fabriquer avec une distance invariante par translation sur l'espace affine qui définit la topologie usuelle (ce qui était la seule condition que tu mettais dans ton post, si je l'ai bien compris). Il n'y a pas de notion d'orthogonalit dans ce cas.
Re: distance euclidienne
il y a six années
avatar
Bon, je dis peut-être bien une (des) bêtise(s) et il faut tirer cela au clair.

1°) Nous avons donc une distance sur, disons un plan affine réel pour simplifier, qui est continue pour la topologie de ce plan.

2°) Toute droite (D) est un convexe, si A n'est pas un point de la droite (D), il existe un unique point H(A) tel que d(A,H(A)) soit le minimum des distances d(A,M) quand M parcourt la droite (D).

3°) La droite (A,H(A)) est appelée droite perpendiculaire à (D) passant par A.

Ça ne marche pas ?

Bruno
remarque
Re: distance euclidienne
il y a six années
Ben non, il n'y a pas unicité a priori : prends une norme dont la boule n'est pas strictement convexe comme la norme infini ou la norme un (je ne parle même pas de distances plus générales). Quand la boule est strictement convexe, ta construction fonctionne, mais ne peut pas construire une droite orthogonale avec laquelle on finit par aboutir à Pythagore, puisque ce ne sont pas des normes euclidiennes.
Re: distance euclidienne
il y a six années
avatar
En effet, je comprends mon erreur.

Donc je vais ré-éditer mes messages ... Si je ne m'abuse, c'est celui de 19:10 d'hier qui est faux, et c'est bien de ma faute, celui de 14:53 étant jeste mais du genre truisme (toute distance vérifiant Pythagore découle d'une norme euclidienne).

Bruno
S4IL VOUS PLAIS AIDE MOI .JE VEUX LE CODE DE LA FONCTION DE DISTANCE EUCLIGIENNE EN C++
MERCI D4AVAVCE
bibiFoc
Re: distance euclidienne en c++
il y a cinq années
sqrt(pow(x1-x2,2)+pow(y1-y2,2)) ?
Re: distance euclidienne
l’an passé
Je dois également montrer l'ineg triangulaire, du coup en mettant au carré comme suggéré j' aboutit à
$d(x,z)^2=<x-z>$ et$(d(x,y)+d(y,z))^2=<x-y>+<y-z>+2||x-y||.||y-z||$. En utilisant la linéarité du produit scalaire, j'obient que le membre de droite vaut $<x-z>+2||x-y||.||y-z||$ et puisque $2||x-y||.||y-z||$ est positif j' ai bien l' inégalité oulue, le problème c'est que je n' ai pas utilisé Cauchy Schwarz donc ca doit être faux, where is the problem ??
Re: distance euclidienne
l’an passé
avatar
C'est quoi $\langle x-z\rangle$ ?
Re: distance euclidienne
l’an passé
$<x-z,x-z>$ ou $||x-z||^2$

Sinon si qqun a la démo je suis preneur
Re: distance euclidienne
l’an passé
avatar
Donc c'est un abus d'écriture (une notation qui n'est pas définie et qui prête à confusion), qui te fait affirmer ensuite que $\langle x-y,x-y\rangle + \langle y-z,y-z\rangle$ est égal à $\langle x-z,x-z\rangle$.

Tu vois mieux le souci maintenant ?
Re: distance euclidienne
l’an passé
Non , je me mélange les pinceaux en utilisant la bilinéarité ??
Re: distance euclidienne
l’an passé
Tu dois être capable de le dire ! Est-ce que $b(x,x)+b(y,y)=b(x+y,x+y)$ est vrai lorsque $b$ est bilinéaire ?
Re: distance euclidienne
l’an passé
Ah non le crétin...
Re: distance euclidienne
l’an passé
N'exagérons rien :) ça arrive.
Re: distance euclidienne
l’an passé
$d(x,z)^2=<x-z>$ et$(d(x,y)+d(y,z))^2=<x-y>+<y-z>+2||x-y||.||y-z||$. En utilisant la linéarité du produit scalaire, j'obients que le membre de gauche vaut :$<x-y>+<y-z>+2<x-y,y-z>$:
Donc $\not{<x-y>}+\not{<y-z>}+2<x-y,y-z> \leq \not{<x-y>}+\not{<y-z>}+2||x-y||.||y-z||$ par l'ineg. de Cauchy Schwarz
D'ou
Re: distance euclidienne
l’an passé
Bonsoir,
Pour la condition nécessaire citée un peu plus haut, un espace vectoriel réel normé vérifiant l'identité du parallélogramme est préhilbertien réel (la norme est issue d'un produit scalaire.)
(J'espère ne pas répondre à côté de la question.)
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