distance euclidienne
bonjour!
question qui va paraitre stupide mais comment on montre que la distance euclidienne par exemple dans le plan est une distance ?
Je bloque évidemment que l'inégalité triangulaire !!!
question qui va paraitre stupide mais comment on montre que la distance euclidienne par exemple dans le plan est une distance ?
Je bloque évidemment que l'inégalité triangulaire !!!
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Réponses
Imaginons que l'on fait un cours sur les espace métriques, on parle de distance puis on donne la distance euclidienne comme exemple, on ne connait pas encore Cauchy Schwartz ! Alors comment faire ?
Puis une deuxième interrogation :
En géométrie, c'est à dire on se place dans un espace affine de dimension deux par exemple, on parle de distance de deux points A et B, mais comment est elle définie cette distance ? c'est la distance euclienne je pense mais bon comment on peut le savoir, c'est un a priori ?? ou bien cela vient de postulat ou d'axiome ou ......
Voici deux questions , deux combats !!
Une distance euclidienne définit un produit scalaire, donc inutile de l'insinuer.
Précisément, il existe une base de ton espace telle que la distance euclidienne soit définie par :$$\big(d(\vec u,\vec v)\big)^2 = \sum_{i=1}^n(u_i - v_i)^2$$ et la forme polaire de cette forme quadratique (définie positive) est un produit scalaire et vérifie nécessairement Cauchy-Schwarz.
Pour ta seconde question, on ne parle pas de la distance de deux points d'un espace affine car il y a des distances pour chaque direction de droite compatibles avec la structure affine mais le problème c'est l'harmonisation entre les distances sur deux droites.
Bruno
Ensuite pour la distance en géomértrie, lorsqu'on parle d'un triangle ABC et qu'parle de longeur AB , c'est quoi la longeur d'un segment [AB]?
Et ouais, c'est la vie. Pour ma part, je trouve Cauchy-Schwarz (sans t en effet, Gaston_L) suprêmement astucieux. A toi de voir. Tu peux toujours tout recalculer en coordonnées, élever au carré et refaire Cauchy-Schwarz à l'insu de ton plein gré.
Sans prétendre répondre à ta question, je te réponds par une autre question:
Exercice: Déterminer les minimums de $f$ définie sur $\mathbb R^2$ par $f(x,y) = \sqrt{(1-x)^2+y^2}+ \sqrt{x^2+(1-y)^2}$.
amicalement,
e.v.
Si l'on se donne deux points distincts O et I, il existe une unique application affine f de la droite (OI) dans R qui prend la valeur 0 en O et 1 en I. Tu peux alors poser d(M,N) = |f(M) - f(N)| et tu as une distance sur la droite (OI) et sur toute droite parallèle à (OI).
Mais on définit ainsi une distance sur chaque direction de droite et pour le triangle ABC... On n'a rien de concret.
Bruno
Puis pour la distance en géométrie alors on a une distance sur chaque direction de droite mais on ne peut pas dire que d(A,B)= Norme(vecteur AB) ?car dans un espace affine E, on lui associe un espace vectoriel E' muni d'une de la norme euclidienne.
Si l'on se donne un espace affine réel on peut définir sur chaque direction de droite une distance ce qui revient à définir sur chaque droite vectorielle une norme.
Le problème avais-je noté c'est que, pour donner à l'espace affine tout entier une structure d'espace métrique, il faut imposer des conditions à toutes ces distances afin d'obtenir l'inégalité triangulaire quand trois points ne sont pas alignés.
Par exemple, si tu veux avoir une distance qui permette d'établir le théorème de Pythagore, il est clair que la norme associée doit être définie par une forme quadratique définie et positive.
Le "miracle", c'est que cette condition est suffisante si tu te donnes une forme quadratique définie positive sur l'espace vectoriel, tu obtiens :
1°) une distance sur l'espace affine ;
2°) la forme polaire de la forme quadratique est un produit scalaire sur l'espace vectoriel qui est euclidien ;
3°) le théorème de Pythagore est vrai pour cet espace.
Bruno
amicalement,
e.v.
[Pour éviter de devoir télécharger l'image et pour l'alléger. Bruno]
D'habitude je ne comprends pas l'anglais, alors l'humour anglais... (:D
Bruno
> il est clair que la norme associée doit être définie
> par une forme quadratique définie et positive.
>
> Le "miracle", c'est que cette condition est
> suffisante si tu te donnes une forme quadratique
> définie positive sur l'espace vectoriel
Bonjour Bruno,
la condition est-elle nécessaire ?
Merci par avance
On n'est pas obligé de faire un cours très axiomatisé pour convaincre les étudiants !...
Bruno
Précisons le problème : on se donne un espace affine muni d'une distance telle que la topologie associée à cette distance soit la topologie canonique de l'espace ; autrement dit toute boule contient un polytope et réciproquement. On a alors une notion de projection orthogonale, donc d'orthogonalité et là, sauf erreur de ma part, si le théorème de Pythagore est vrai, la distance est définie par une forme quadratique.
Bruno
[size=large]Ceci est faux. Voir la suite de la discussion.[/size]
Tu es sûr que toute distance sur un espace affine dérive d'une norme ? On a l'axiome de séparation, l'inégalité triangulaire, mais pour la quasi homogénéité ?? Si c'est le cas, évidemment ma restriction n'a pas lieu d'être.
Bruno
(identifier $x$ à la fonction $y\mapsto d(x,y)$)
1°) Nous avons donc une distance sur, disons un plan affine réel pour simplifier, qui est continue pour la topologie de ce plan.
2°) Toute droite (D) est un convexe, si A n'est pas un point de la droite (D), il existe un unique point H(A) tel que d(A,H(A)) soit le minimum des distances d(A,M) quand M parcourt la droite (D).
3°) La droite (A,H(A)) est appelée droite perpendiculaire à (D) passant par A.
Ça ne marche pas ?
Bruno
Donc je vais ré-éditer mes messages ... Si je ne m'abuse, c'est celui de 19:10 d'hier qui est faux, et c'est bien de ma faute, celui de 14:53 étant jeste mais du genre truisme (toute distance vérifiant Pythagore découle d'une norme euclidienne).
Bruno
MERCI D4AVAVCE
$d(x,z)^2=<x-z>$ et$(d(x,y)+d(y,z))^2=<x-y>+<y-z>+2||x-y||.||y-z||$. En utilisant la linéarité du produit scalaire, j'obient que le membre de droite vaut $<x-z>+2||x-y||.||y-z||$ et puisque $2||x-y||.||y-z||$ est positif j' ai bien l' inégalité oulue, le problème c'est que je n' ai pas utilisé Cauchy Schwarz donc ca doit être faux, where is the problem ??
Sinon si qqun a la démo je suis preneur
Tu vois mieux le souci maintenant ?
Donc $\not{<x-y>}+\not{<y-z>}+2<x-y,y-z> \leq \not{<x-y>}+\not{<y-z>}+2||x-y||.||y-z||$ par l'ineg. de Cauchy Schwarz
D'ou
Pour la condition nécessaire citée un peu plus haut, un espace vectoriel réel normé vérifiant l'identité du parallélogramme est préhilbertien réel (la norme est issue d'un produit scalaire.)
(J'espère ne pas répondre à côté de la question.)