sujets bac anciens

Un sujet pas bien relu à mon avis...

\begin{center}
BORDEAUX
\end{center}
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Source \textit{Annales du Baccalauréat Mathématiques Séries C \& E Fascicule 2 Année 1975. ISBN 2-7117-0741-5 Librairie Vuibert.}\\

\textbf{II.}-
Dans le plan affine euclidien orienté rapporté au repère orthonormé direct $(O,\vec\imath,\vec\jmath)$, on considère la similitude $S$ de centre $O$, d'angle $\theta$, ($\theta\neq 2k\pi$) de rapport $r$, et la rotation $R$ de centre $A$ ( de coordonnées $(1,\sqrt3)$) et d'angle $\varphi$ ($\varphi\neq 2k\pi$).





\begin{enumerate}
\item Montrer que les transformations d'une même figure $(F)$ par le produit $R\circ S$ et par le produit $S \circ R $ se déduisent l'une de l'autre par une translation.
\item On donne $\theta -\dfrac\pi6,\,\varphi = \dfrac{2\pi}{3}$.\\
Déterminer $r$ de façon que le vecteur définissant la translation du 1. soit orthogonal à $\overrightarrow{AB}$.

(Toute forme de solution est acceptée~: géométrique, par les complexes\ldots)\\
\end{enumerate}

\textbf{III.}-
\begin{itemize}
\item [A) ] On appelle $\mathscr E$ l'ensemble des suites numériques (applications de $\mathbb N$ dans $\mathbb R$ notées $(u_n)_{n\in\mathbb N}$.\\
Si l'on considère sur $\mathscr E$ les lois suivantes \\
$\begin{array}{ll}
\forall (u_n)_{n\in\mathbb N}\in \mathscr E, \forall (v_n)_{n\in\mathbb N}\in \mathscr E, & (u_n)_{n\in\mathbb N}+(v_n)_{n\in\mathbb N} = (u_n+v_n)_{n\in\mathbb N}\\
\forall (u_n)_{n\in\mathbb N}\in \mathscr E, \forall \alpha\in\mathbb R, & \alpha.(u_n)_{n\in\mathbb N} = (\alpha u_n)_{n\in\mathbb N},
\end{array}$\\
$(\mathscr E,+,.)$ est un espace vectoriel sur $\mathbb R$. On note $\vec0$ l'élément neutre.\\
Dans la suite, $\mathscr F$ désigne l'ensemble des suites $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ vérifiant
\[\forall n\in\mathbb N,\quad 2u_{n+2} - 3u_{n+1} - 2u_n = 0.\]
\item [\primo] Vérifier que $\mathscr F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathscr E$.\\
Montrer que l'application $\varphi$ de $\mathscr F$ vers $\mathbb R^2$ qui à la suite $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ associe le couple $(u_0,v_0)$ est une application linéaire bijective. En déduire la dimension de $\mathscr F$.

\item [\secundo] Soit $\vec u = (u_n)_{n\in\mathbb N}$ et $\vec v = (v_n)_{n\in\mathbb N}$ deux éléments de $\mathscr F$. Montrer que $\lambda\vec u + \mu\vec v = \vec0$ dans $\mathscr F$ équivaut à
\[\lambda u_0 + \mu v_0 = 0,\qquad \lambda u_1 + \mu v_1 = 0.\]
En déduire que $\left( \vec u,\vec v \right) $ est une partie libre de $\mathscr F$ si, et seulement si $u_0v_1 - u_1v_0 \neq0$.

\item [\tertio a)] Soit $r$ un réel non nul. Montrer que la suite $(r^n)_{n\in\mathbb N}$ appartient à $\mathscr F$ si, et seulement si $2r^2 - 3r - 2 =0$.

\item [b)] En déduire l'existence dans $\mathscr F$ de deux suites du type précédent qu'on notera $\vec e_1$ et $\vec e_2$. Montrer que $\left( \vec e_1,\vec e_2 \right) $ est une base de $\mathscr F$.
\item [c)] En déduire la forme générale des éléments de $\mathscr F$. Déterminer ces éléments $\vec u$ en fonction de $u_0$ et de $u_1$.\\


\item [B)] Pour toute application $f$ de $\mathbb R$ vers $\mathbb R$, on note $f^{(n)}$ la dérivée d'ordre $n$ de $f$ quand elle existe.\\
On appelle $\mathscr S$ l'ensemble des applications de $\mathbb R$ vers $\mathbb R$ vérifiant
\[2f^{(2)}-3f^{(1)}-2f = \theta\]
(où $\theta$ désigne l'application nulle).
\item [\primo] Démontrer que $\mathscr S$ est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des applications de $\mathbb R$ vers $\mathbb R$.\\
{\'E}tablir que les applications $\varphi$ et $\psi$ telles que

\[\varphi(x) = e^{2x}\qquad \textrm{ et } \psi(x) = e^{-\frac12x}\quad \textrm{ pour } x \textrm{ dans } \mathbb R\]
sont des éléments linéairement indépendants de $\mathscr S$.\\
Remarque~: Il y avait déjà une application $\varphi$ au A\primo...
\item [2$^\circ$] Soit $f$ appartenant à $\mathscr S$. Montrer que $f$ est indéfiniment dérivable sur $\mathbb R$ et que $f^{(n)}$ appartient à $\mathscr S$ pour tout entier $n$.\\
En déduire que $f$ appartient à $\mathscr S$ si, et seulement si $f$ possède des dérivées de tous ordres et si pour tout réel $x$ la suite de terme général $f^{(n)}(x)$ appartient à $\mathscr F$.

\item [\tertio] On veut montrer que $\mathscr S$ est engendré par $\varphi$ et par $\psi$. Soit $f$ un élément de $\mathscr S$. Montrer que pour
\[(\alpha,\beta,\gamma)\in\mathbb R^3,\quad \alpha f + \beta\varphi + \gamma\psi = \theta\]
implique
\[\forall x\in\mathbb R,\quad
\forall n\in\mathbb N,\quad \alpha f^{(n)} + \beta\varphi^{(n)} + \gamma\psi^{(n)} = 0.\]
Quel (sic) est la forme générale des éléments de $\mathscr S$~?
\end{itemize}

\begin{center}
NICE 1980
\end{center}
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Source \textit{Sujets 85 pour bac 86. ISBN 2-7124-1102-1 cedic nathan.}\\

On désigne par $F$ la fonction polynôme définie par
\[\forall x\in\mathbb R,\; F(x) = x^2-3x+2.\]
On se propose de montrer que pour tout entier naturel $n$, il existe des réels $a_n$ et $b_n$ et une fonction polynôme $g_n$ à coefficients réels, tels que l'on ait
\[\forall x\in\mathbb R,\; x^n = g_n(x).F(x) + a_nx + b_n.\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer $g_0,a_0,b_0,g_1,a_1,b_1$ et $g_2,a_2,b_2$.
\item Démontrer par récurrence l'existence de $g_n,a_n,b_n$ pour tout $n$. On établira notamment les égalités~:
\[\forall n\in\mathbb N,\;\begin{array}{rcl}
a_{n+1} &=& 3a_n + b_n\\ b_{n+1} &=& -2a_n
\end{array}\]
\item Montrer que~:
\[\forall n\in\mathbb N,\; a_n+b_n = 1.\]
\item Montrer que la suite de terme général $u_n = a_n+1$ est une suite géométrique. En déduire les expressions de $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}

e.v.

J'ai ce sujet de Nantes 80. Il diffère de tes deux exercices. Peut-être est-ce une session de remplacement~?

\begin{center}
NANTES 1980
\end{center}
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Source {\it Sujets 85 pour bac 86. ISBN 2-7124-1102-1 cedic nathan.}\\

On associe à tout nombre complexe son image dans un plan affine euclidien $P$ rapporté à un repère orthonormé.

\begin{enumerate}
\item Déterminer les nombres complexes $z$ tels que $z^2,z^3,z^4$ aient des images deux à deux distinctes.
\item Démontrer que si $z,z^2,z^3,z^4$ ont des images distinctes situées sur un cercle $\mathscr C$, $z^2,z^3,z^4,z^5$ ont des images situées sur un cercle $\mathscr C^\prime$. Comparer les rayons de ces cercles.
\item En déduire l'ensemble des nombres complexes $z$ tels que $z,z^2,z^3,z^4$ aient des images situées sur un cercle.
\end{enumerate}

e.v.