Etude qualitative des solutions d'une équadiff.

Gabriel de Tarragon
Gabriel de Tarragon
dans Concours et Examens
Bonjour à tous

En ce moment je prépare un plan sur la leçon 220 d'agrégation intitulée. "Equations différentielles X'=f(t;X). Exemples d'études qualitatives des solutions."
A priori j'ai pas mal d'idées de choses à dire concernant les équations différentielles X'=f(t;X), mais par contre je ne suis pas sûr d'interpréter comme il se doit le mot "qualitatives".
A votre avis, comment doit-on comprendre ce mot ?
Merci d'avance.

Réponses

  • Guego
    Guego
    C'est-à-dire étudier/décrire les propriétés des solutions (monotonie, convergence, périodicité, etc.) mais sans chercher à résoudre l'équation différentielle, ou à calculer diverses valeurs.
    En gros, avec le moins de calculs possibles, qu'est-ce qu'on peut dire d'intéressant sur les solutions ?
  • Gabriel de Tarragon
    Gabriel de Tarragon
    Ok je comprends, par "qualitatives", il faut comprendre "qualités" et en maths les qualités ce sont les propriétés remarquables... Merci pour l'explication.
    Au passage, qu'entendez-vous par convergence ?
  • pollux
    pollux
    Par étude qualitative il faut comprendre que l'on ne s'intéresse pas une solution particulière mais plutôt à l'ensemble des solutions, le point de vue système dynamique.

    Je pense qu'il faut parler de portraits de phase (être capable de traiter des exemples classiques), stabilité par rapport aux conditions initiales ou par rapport à un paramètre, intégrales premières, linéarisation autour de l'équilibre etc.

    Il me faut moi aussi préparer cette leçon et il faut que je le fasse sérieusement vu que j'ai choisi l'option calcul scientifique et qu'il y a souvent des textes avec des études qualitatives d'EDO.
  • Gabriel de Tarragon
    Gabriel de Tarragon
    Pour ma part, ce n'est pas du tout ma tasse de thé, mais il faut bien préparer toutes les leçons...
  • Guego
    Guego
    "qu'entendez-vous par convergence ? "

    Est-ce que la fonction a une limite lorsque $x$ tend vers $+\infty$, par exemple. Au passage, tant que j'y pense : il faut bien entendu parler d'intervalle de définition, aussi. Les solutions sont-elles définies sur $\R$ tout entier ou pas ?
  • Gabriel de Tarragon
    Gabriel de Tarragon
    A ca c'est bien, les solutions maximales ca me parle... Il y a du travail mais au moins, je vois dans quelle direction aller. Merci beaucoup.
  • Said Fubini
    Said Fubini
    Bonsoir

    n'oublie pas la technique qualitative de Gronwall et quelques applications ...
  • remarque
    remarque
    Pour ajouter à la liste de pollux, qui est déjà bien, l'étude des points d'équilibre et leur nature, la stabilité asymptotique etc., etc. On peut aller assez loin à condition d'assurer derrière : fonctions de Lyapunov, attracteurs. Un dernier conseil : bien connaître Cauchy-Lipschitz et être capable de l'appliquer sur un exemple (il semble qu'il s'agisse souvent de deux capacités distinctes au sens où la première n'implique pas la seconde...).
  • Gabriel de Tarragon
    Gabriel de Tarragon
    Merci pour tous vos conseils, je vais vraiment travailler Gronwall et Cauchy-Lipschitz.
    En quoi Gronwall est un théorème qualitatif ?
  • Le barbu rasé
    Le barbu rasé
    Pour une étude qualitative des solutions des équations de Lotka-Volterra (mais pas seulement) pour l'agrégation, il y a un poly de Grégory Vial très agréable à lire.
  • Gabriel de Tarragon
    Gabriel de Tarragon
    Salut mon cher barbu ! Voilà de quoi remplir mon plan 220 ;-) Merci ! Ce sujet a eu du succès et les réponses m'ont été précieuses : merci à tous.
  • Said Fubini
    Said Fubini
    Bonjour,

    Voilà un exemple :

    Toute solution de $y''+qy=0$ est bornée où $q$ est $C^1$ , $q>0$ et $q'>0$ pour$ x $ assez grand.
  • Gabriel de Tarragon
    Gabriel de Tarragon
    Ok merci, je vais pouvoir mettre cet exemple pour illustrer le lemme de Gronwall.
  • rombaldi2
    rombaldi2
    Sur le problème suivant : http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~rombaldi/AgregInterne/PbEquDiff.pdf il y a quelques résultats classiques de nature qualitative.

    Bon travail
  • chris.fabiani
    chris.fabiani
    cf l'excellent livre de Demailly sur les équas diffs, qui parle entre autres des entonnoirs et anti-entonnoirs
    Bon courage
    chris
  • Le barbu rasé
    Le barbu rasé
    De mémoire, l'exemple de Said Fubini est détaillé dans le Chambert-Loir pour l'agrégation (j'espère ne pas confondre), je crois que tu as ce livre (et le Demailly aussi, non), Gabriel ?
  • Gabriel de Tarragon
    Gabriel de Tarragon
    Merci à tous pour ces nombreuses références et idées... Il faut maintenant que je mette le turbo pour que mon travail suive le rythme de vos suggestions.
    J'ai en effet les Chambert-Loir et le Demailly précieusement rangés dans ma bibliothèque... (Euh en fait le tome 3 de C-L et le Demailly sont sur mon bureau...)
  • jean-éric
    jean-éric
    Bonjour,

    Voici un plan dans mes archives pour la leçon : Solutions des équations différentielles $y'=f(t, y)$. Solution maximale.

    I. Introduction : le problème de Cauchy.
    II Existence de solutions maximales pour le problème de Cauchy.
    Crouzeix Mignot.
    III. Théorèmes d'existences et d'unicité.
    Cartan page 111 à 123
    IV. Exemples et contre-exemples.
    $ \frac{\text{d} y}{\text{d} x}=y^2$ $y(0)=0$ existence locale mais non globale.
    Equation de Van der Pol $x'(t)=y(t)-x^3(t)+x(t)$ et $y'(t)=-x(t)$.

    Contre-exemple : $y'(x)=\sqrt{\|y(x)\|}$ et $y(0)=0$.

    Ensuite on peut rajouter les équations différentielles linéaires dont l'équation de Bessel $x^2y''+xy'+(x^2-\theta^2)y=0$. LFA. Tome 4 page 53.

    Jean-éric.
  • Gabriel de Tarragon
    Gabriel de Tarragon
    Merci, voilà encore quelques idées et références...;-)
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