Concours général 2010

Rémi.0
Rémi.0
dans Concours et Examens
Bonsoir,

A la demande de bs, j'ouvre donc un sujet sur le concours générale 2010 de mathématiques bien sûr (quoique certains préfèreraient sans doute la philosophie qui sait ;)).

Le sujet ne contenait "que" trois exercices (en fait 2 exercices et un problème). On constate d'ailleurs dans ce sujet une logique par rapport aux changements du programme de troisième et du programme de seconde pour cette nouvelle année (la part de probabilité des deux programme ayant bien grossi voir même créé d'ailleurs) ainsi que pour quelques changements au sein des concours de l'éducation. En effet, deux exercices de géométrie quasi pure (bon on pouvait se ramener à de l'analytique pour le premier d'après ce que j'ai pu constater, je n'ai pas étudié les autres pour l'instant d'ailleurs). Et surtout, un gros problème de statistique avec un peu de suite mais vraiment léger sur les suite car si la partie probabilité n'était pas acquise les suites n'avaient pas l'air très abordables du coup (c'est tout de même le CG faut pas déconner, si c'était simple ça se saurait :)). Voici donc les sujets que j'ai trouvé sur le net:

ici sur le forum.

Bon amusement comme ils disent :).15113
15114

Réponses

  • bs
    bs
    Bonjour,

    Merci Rémi.

    Amicalement.
  • J2L2
    J2L2
    Amusons nous comme dit Rémi. Pour ce qui est des probabilités, on peut poser a=a'/n (n étant le nombre total de cellules, nécessairement fini) et le nombre de possibilités d'avoir des cellules A, B et C est le produit a'b'c' qui vaut abcn^3.

    Par ailleurs, les possibilités de prendre 3 cellules sont au nombre de 3 parmi n, soit n(n-1)(n-2)/6

    Donc la probabilité d'avoir au moins 2 cellules différentes est de 1-6abcn^3/n(n-1)(n-2) que l'on peut approximer par
    1-6abc si n est suffisamment grand

    Pour démontrer l'inégalité de la question suivante, on peut écrire abc=P(1-S) en posant P=ab et S=a+b
    Par ailleurs, a et b étant solution de l'équation X^2-SX+P=0, on a S^2-4P>=0, donc 4abc<= S^2(1-S). On obtient l'inégalité recherchée en mettant en évidence le maximum de la fonction S-->S^2(1-S)

    Ce qui m'étonne quand même, c'est cette approximation faite sur n(n-1)(n-2) ??? Qu'en pensez-vous ?
  • Sylvain
    Sylvain
    Ce n'est pas plutôt la probabilité d'avoir au moins deux cellules de la même espèce ?
  • J2L2
    J2L2
    Oui, bien sûr, Sylvain : il faut remplacer dans mon msg précédent "au moins 2 cellules différentes" par "au moins 2 cellules de la même espèce"
  • Sylvain
    Sylvain
    Pas besoin d'approximation ici. A somme donnée, le produit de k nombres est maximal lorsque ces k nombres sont égaux. Donc abc<=(1/3)³, soit p=1-6abc/((n-1)(n-2))>=1-6(1/3)³/((n-1)(n-2))=1-(2/9)/((n-1)(n-2))>1-2/9=7/9, CQFD.
  • J2L2
    J2L2
    Sylvain, tu as oublié un n^2, je pense, dans 1-6abcn^2/(n-1)(n-2)

    Mais, peu importe car voici ce que je voulais dire : l'énoncé ne parle pas de n et il semble en regardant la suite de l'énoncé qu'il faille trouver que p=1-6abc et je le trouve, mais en approximant 1-6abcn^2/(n-1)(n-2) lorsque n est grand. Et je me pose la question de savoir si c'est bien ça qu'on attend d'un élève de terminale ?
  • gb
    gb
    Personnellement, j'interprète l'énoncé comme la donnée d'une variable aléatoire discrète \(X\), « espèce de la cellule », dont la loi de probabilité est
    \[P(X=A)=a \qquad;\qquad P(X=B)=b \qquad;\qquad P(X=C)=c.\]
    Mais je ne sais pas si c'est compatible avec les connaissances actuelles des élèves.
  • Sylvain
    Sylvain
    En effet, c'est curieux.
  • Sylvain
    Sylvain
    Il y a 6 possibilités correspondant à trois cellules K1, K2 et K3 différentes :

    K1 K2 K3
    A B C
    A C B
    B A C
    B C A
    C A B
    C B A

    Si on suppose que les probabilités sont indépendantes et que chacune des trois cellules K1, K2, K3 suit la loi de gb, on a 1-p=6abc d'où p=1-6abc>=7/9.
  • J2L2
    J2L2
    Effectivement, ce raisonnement colle bien avec l'énoncé, alors que je raisonnais en prenant 3 cellules en même temps. En tout cas, merci à Sylvain et à gb
  • Guego
    Guego
    Toujours pour le problème. J'ai regardé le sujet vite fait. C'est normal que le 2.(b) et le 2.(d) ("montrer que...", "prouver que...") ne me pose aucun souci mais que le 2.(c) me résiste assez fortement (alors que ça n'est que "vérifier que...") ?
  • Guego
    Guego
    Je me permets de remonter ce fil. Personne n'a l'idée trivialisante pour le 2.(c) ?

    J'ai bien une solution, mais à grands renforts de disjonctions de cas, avec, à chaque fois, des études de fonctions, des accroissements finis, etc. Vu le niveau des autres questions, et l'intitulé de celle-là, j'imagine qu'il doit bien y avoir une astuce.
  • Utilisateur anonyme
    Utilisateur anonyme
    *
  • ???????0
    ???????0
    j'ai une question
    pour le probleme ^montrer que p=>7/9 que fallait il faire.
    j'ai demontré que p=1-6abc .Et ensuite j'ai dit (sans demontrer) que le produit abc est maximal lorsque a=b=c=1/3 donc abc admet pour valeur maximal 1/27.En conséquence -6abc admet pour minimum -6/27.Enfin 1-6abc admet pour minimum (27-6)/27=21/27=7/9
    d'ou p>=7/9.mais le probleme c'est que je n'ai pas demontrer pour le produit abc
    de plus je n'ai pas vraiment compris l'exercice 2.Donc je ne suis pas sur des resultats.Pouvez vous me dire ce que vous avez mit sil vous plait?
  • ???????0
    ???????0
    tout simplement il fallait dire que p=1-p(barre) ou p(barre) est l'événement les cellules ne sont pas compatibles.
    donc cela signifie qu'il n'y a pas deux fois la meme cellule.on abtine donc p(barre)=abc+acb+bac+bca+cab+cba=6abc
    on obtient donc p=1-6abc =)
  • Sylvain
    Sylvain
    Et les résultats seront disponibles quand ?
  • pacifor
    pacifor
    Bonjour
    Est ce qu'un forum a été ouvert pour l'exercice 2?
    A la question 2 quelqu'un pourrait il me confirmer
    t(n) = 4E[n/4] + E[4(n/4-E[n/4])/3] ?
    avec E[ n ] la partie entière de n
    Merci
  • nel21
    nel21
    Bonjour,
    j'ai une question concernant l'exercice 1. A la question 4, j'ai réussi à montrer que (ID) est perpendiculaire à (GD) mais je n'arrive pas à montrer que (AD) est perpendiculaire à (GD). Cela me semble évident mais je bloque. Est-ce que quelqu'un peut me dépanner ?
    Merci d'avance

    [L'exercice 1 est traité dans cette discussion séparée. AD]
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?6,586678
  • gp209
    gp209
    Un corrigé complet du concours général du 21 mars 2010 sur le lien suivant
    http://lyc89-larousse.ac-dijon.fr/spip.php?article1450
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 6

6 Invités