Loi de réciprocité quadratique

Les conseils de PB sont de bon sens.

Il existe une multitude de documents en ligne sur ce sujet, comme celui-ci :

http://math.arizona.edu/\~{}jschettler/QuadraticReciprocity.pdf

Comme toutes les leçons de mathématiques, ne pas oublier de :

(i) Bien connaître son sujet et savoir démontrer (d'autant qu'ici il y a pas mal de preuves possibles).

(ii) Fournir des applications, si possible variées.

(iii) Montrer un zeste de culture en évoquant des sujets annexes : le symbole de Legendre se généralise en un symbole de Jacobi--Kronecker (rappelons que l'on prolonge ce symbole à $\mathbb{Z}$ tout entier en posant $(n/p)=0$ si $p \mid n$), qui n'est ni plus ni moins que le caractère de Dirichlet associé au corps quadratique dont le discriminant est la valeur absolue du module du caractère. Ce caractère intervient dans la formule du nombre de classes de Dirichlet, qui elle-même sert à calculer le nombre de classes du corps.

Beaucoup de démonstrations modernes de la loi de réciprocité quadratique utilisent les sommes de Gauss, ce qui donne un bon prétexte pour parler de cet outil devenu aujourd'hui indispensable.

Sans entrer dans les détails, il peut être bon de savoir qu'il existe des réciprocités plus "élevées" : loi de réciprocité cubique, loi de réciprocité d'Eisenstein.

Il me paraît en revanche inutile d'évoquer la loi qui englobe tout ça : la loi de réciprocité d'Artin, qui prend sa source dans les entrailles de la théorie du corps de classes. Les pièges sont ici nombreux.

L'une des références sur ce sujet est le livre suivant :

http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/\~{}hb3/rec.html


Borde.

Bah, savoir si 3 est un carré modulo 7919, par exemple; c'est une application... c'est beau non ?

3 n'est PAS un carré modulo 7919

Pourtant $3023^2\equiv 3 \mod 7919$ :S

aucun de ces deux résultats n'est une application de la loi de réciprocité quaratique

Ce n'est pas la loi de réciprocité quadratique qui m'a donné cette racine carrée, mais c'est elle qui m'a dit qu'elle existait :S

Bonnes vacances alors

On écrit $b=p_1^{m_1}...p_r^{m_r}$. Alors $a$ est un carré modulo $b$ si et seulement si $a$ est un carré modulo $p_i^{m_i}$ pour tout $i$ (thm chinois).

Donc il suffit de savoir répondre à la question pour $b=p^m$.

Pour simplifier, je suppose que $a$ et $b$ sont premiers entre eux.

Si $p>2$ , alors $a$ est un carré modulo $p^m$ si et seulement si $a$ est un carré modulo $p$ (je sais justifier ça avec les $p$-adiques, mais il doit y avoir plus simple). Dans ce cas on utilise le symbole de Legendre, pas de problème .

Si $p=2$: si $m=1,2,3 $, on connait les carrés modulo $2^m$ (on calcule à la main). Maintenant si $m\geq 3$, il me semble que $a$ est un carré modulo $2^m$ si et seulement si $a$ est un carré modulo $8$...et les carrés modulo 8, on les connaît.

Et voilà, c'est plié!

Je donnerai une chose à savoir que je Jury te demandera surement:
Mais à quoi sert la loi de réciprocité quadratique?

Mise à part le calcul des symboles, il faudra trouver une application convaincante! Bien sur, savoir calculer des symboles est important!

Bonjour


Ca sert à beaucoup de choses, je ne suis pas spécialiste mais j'ai entendu dire que la loi de Réciprocité quadratique a donné naissance à la Théorie du corps de classe puis au programme de LANGLANDS ..



Merci

Bonjour

Je suis entrain de travailler la Réciprocité Quadratique , j"avoue que c'est difficile à assimiller :

_ Peut on travailler dans Z ?

_ En quoi le symbole de Lagrange généralise t-il celui de Legendre ? les théorèmes ne sont plus valables ,notament celui qui sert à déduire que x est un résidu qudratique .

Merci

Bonjour,

Pouvez vous m'en dire plus sur l'application :"signature de la multiplication par q modulo p" s'il vous plaît.

Bien à vous.

Ah c'est une preuve alternative ! D'accord.

Le lien ne marche pas pour moi.