leçons sur les suites récurrentes

C’est pour l’agrégation interne ou un CAPES ?
Commence par proposer une liste de suites classiques, ensuite élève un peu le niveau. J’ai présenté cette leçon à l’agrégation interne.

Pour la grègue :

I Généralités
Définition
Liste de quelques suites classiques (arithmétique, géométrique, arithmético-géométrique, d’ordre n (en développement), homographique, l’autre arithmético-géométrique)

II Deux théorèmes
Monotonie
Point fixe

III Applications
Radioactivité, intérêts simples ou composés
Le flocon de von Koch
Méthode de Newton
Nombres de Catalan (développement possible)

Celle de la limite ou tu prends les deux moyennes.

La version complète en livre est parue ?

J'aurais une petite question dans cette même rubrique car en regardant certains ouvrages MPSI:

Beaucoup de suites s'inscrivent dans la notion suites récurrentes qui par définition (1ère S) est une suite dont on a un premier terme (U0 ou U1) et qui est définie par une relation de récurrence et dans les ouvrages de lycée : c'est du type Un+1=f(Un) or dans des bouquins du supérieur et de prépa, il y a dans cette rubrique ou chapitre:
"
1/ Suites récurrentes affines du premier ordre à coefficients constants: Un+1=a*Un+b
avec en cas particulier :
*) si a=1, la suite arithmétique(chose non mentionnée au lycée car on peut dire aussi qu'une suite arithmétique est du type Un+1=f(Un) avec f:x->x+r(r raison ))
**)>Pour a=/=1, la suite géométrique(chose non mentionnée (à ma connaissance) dans des ouvrages du lycée or on a bien Un+1=f(Un) avec f:x->q*x( q raison)

2/ suites récurrentes linéaires du second ordre à coefficients constants :
On appelle suites récurrentes linéaires du second ordre à coefficients constantes les suites de la forme:
Un+1=a*U_n+1+b*U_n

puis 3/ Suites récurrentes du type Un+1=f(Un)"
Voilà je pense que le 3/ au lycée englobe bien les suites arithmético-géométriques , arithmétiques et géométriques et récurrentes d'ordre 1 en guidant les élèves merci de vos conseils

ps willou; l'as tu en pdf, stp?

en résumé quelle est la définition d'une suite récurrente "officielle" et de là, on saurait quoi mettre, en l'occurrence, dans la leçon car sinon on a l'embarras du choix et on peut mettre toutes les suites citées dans mon post précédent, merci

merci, le mot officielle n'était pas le plus pertinent; disons officieuse ou représentative; je veux juste un éclairage et non pas une leçon type car pleins de choses dans ce thème prêtent à confusion ou du moins me troublent

Bonjour,

Peut-être peux-tu revenir sur le "principe" de récurrence pour justifier l'existence de la suite (question que le jury pourrait poser) ?
Récurrence simple, d'ordre 2, etc.

Cordialement

Justement, damo.

Question n°1 : qu'est-ce qu'une suite ?

Question n°2 : ayant posé u_n+1 = f(u_n), a-t-on une suite et pourquoi ?

Question subsidiaire : pour les suites récurrentes d'ordre supérieur, comme la suite de Fibonacci par exemple ?

Bruno

damo a écrit:

une suite récurrente au lycée c'est de type Un+1=f(Un)

Ou plutôt: une suite du type $u_{n+1}=f(u_n)$ est appelée récurrente au lycée. Cela ne veut pas dire qu'elles ont l'exclusivité.

Cordialement

je suis tout à fait d'accord avec vous; cela dit le problème subsiste pour Un+2, je vais me pencher sur ce qu'a dit rémi

je n'ai pas compris,

Bruno merci, j'ai vu un exo en Term où via des questions guidées on exprime la suite de fibonnacci, initialement défini dans l'exercice comme suite récurrente d'ordre 2 puis on l'exprime en fonction de n (i.e F_n=f(n))

merci pour tes conseils, que me conseillez tu donc: aborder les récurrentes d'ordre 1 et 2?
La justification, qu'entends tu par çà? pour l'ordre 2, je sais que ça vient du fait que l'espace des solutions est un e.v de dimension 2 de base.... et pour les récurrentes d'ordre 1, je n'ai pas trop d'idée


merci

Bonsoir.

L'existence de quoi ?

Au passage : "pour l'ordre 2, je sais que ça vient du fait que l'espace des solutions est un e.v de dimension 2 de base." ?? De quoi parles-tu ?
L'ordre d'une récurrence est le nombre de termes précédents qu'il faut pour définir un nouveau terme. Les suites géométriques sont définies par une récurrence d'ordre 1, celles de Fibonacci et Lucas par une récurrence d'ordre 2.

Cordialement.

désolé, Damo,

mais je ne comprends vraiment pas l'intérêt de ce que tu écris :
"Si Un est définie sur l'intervalle I" ?? une suite est définie par sa définition. Que vient faire l'intervalle I dans l'affaire ?
Ne mélangerais-tu pas avec autre chose ? La suite me le laisse penser. Mais ne te permets pas ce genre de mélange au Capes, ce serait rédhibitoire.

Donc pour l'existence, la question est "$f(u_n)$ a-t-il un sens pour tout n. Le raisonnement est alors immédiat.

Et il se généralise immédiatement à des suites d'ordre supérieur.

Cordialement.

NB : Si je suis à côté de tes questions, c'est que tu ne les explicites pas correctement. pour l'instant, tout le monde en écrit plus que toi, alors que c'est toi qui as à faire...

Ok.

C'est une condition suffisante, mais pas nécessaire. La condition nécessaire est que pour tout n, $u_n$ soit dans le domaine de définition de f.
Considère par exemple la fonction périodique, de période 1, définie sur $[0;\frac 1 2]$, mais pas définie sur $]\frac 1 2;1[$ et vérifiant $f(x)=x+1$. Si $u_0=0,2$, alors la suite récurrente définie par $u_{n+1}=f(u_n)$ est bien définie, alors qu'aucun intervalle I n'est stable par $f$.

Cordialement.

Même chose !

A toi d'adapter suivant la présentation que tu fais.

Cordialement.

NB : "Merci, j'ai appris une chose". Moi aussi, et tu aurais pu faire comme moi : Chercher à quelle condition une suite récurrente simple existe (il suffit de l'écrire), puis chercher un contre exemple à ta condition.

C’est faisable avec des matrices et un peu de réduction, c’est fait dans Les maths pour l’agreg page 193.

Alors évite donc d’en parler.

Bonjour à tous, je viens de prendre du recul et finalement on peut dire que selon la nature de f , on peut discuter de la suite donc je peux dire:

1/Cas où la suite f est monotone:

(on traitera du cas où Un est croissante et convergente si elle est majorée et de même pour sa décroissance.)

2/ la suite f est contractante:
La suite Un convergera vers le point fixe de f


qu'en pensez vous?

Merci

Damo, la fonction $f$ définie sur$]0,1[$ par $f(t)=\frac{t}{2}$ n'a pas de point fixe.

Il faut vous préparer à répondre à des questions du genre :

-Comment définissez-vous une contraction ?

-Comment démontrer avec des outils de Terminale qu'une fonction continue d'un intervalle fermé borné vers lui-même possède forcément un point fixe ?

Alors, attention à plusieurs choses :

-Ne travaillez qu'avec des fonctions définies sur des intervalles fermés bornés, des demi-droites fermées, ou $\mathbb{R}$ tout entier, de façon à ne pas pouvoir sortir de l'intervalle de définition par passage à la limite. C'est le sens de l'exemple de mon message précédent.

-L'inégalité des accroissements finis n'est pas au programme de Terminale, donc les élèves n'ont aucun moyen naturel de prouver qu'une fonction est lipschitzienne.

-La situation d'une fonction de récurrence décroissante est compliquée : il vous faut étudier séparément les sous-suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$, et avoir un moyen d'en déduire la convergence ou non de la suite.

-Démontrer qu'une fonction continue de $[a,b]$ dans lui-même possède un point fixe, ça c'est possible : on regarde les signes en $a$ et $b$ de la fonction ${x}\mapsto{f(x)-x}$ et on utilise le théorème des valeurs intermédiaires.

En conclusion, c'est une leçon très "casse-gueule", car il est facile de dire de grosses bêtises : limitez son étendue à des domaines où vous êtes sur de ce que vous allez dire.

Merci beaucoup, mais en bouquinant, j'ai vu écrit en Term S: "il y a deux allures classiques: Escalier quand $f$ est croissante et spirale quand $f$ est décroissante" donc implicitement ceci

"-La situation d'une fonction de récurrence décroissante est compliquée : il vous faut étudier séparément les sous-suites $ (u_{2n})$ et $ (u_{2n+1})$, et avoir un moyen d'en déduire la convergence ou non de la suite." sera traité en les guidant.

Ou bien on se contentera de choisir une fonction $f$ décroissante sur le "bon" intervalle et faire remarquer que l'allure de la courbe est.....

En effet, elle n'est pas évidente. donc c'est mieux de ne pas parler de $f$ contractante et de le garder" en réserve", cela dit on a un cas où la fonction tend vers le point fixe, c'est quand elle est définie d'un compact de $\R$ vers lui même .

[La case LaTeX. AD]