leçons sur les suites récurrentes
Bonsoir
Il me parait impensable d'envisager cette leçon à un niveau terminale.
Pensez-vous par contre qu'il soit indispensable pour cette leçon de parler des suites récurrentes d'ordre 2 (et de ne traiter que les suites du type u(n+1) = f(u(n)) ?
Merci
Il me parait impensable d'envisager cette leçon à un niveau terminale.
Pensez-vous par contre qu'il soit indispensable pour cette leçon de parler des suites récurrentes d'ordre 2 (et de ne traiter que les suites du type u(n+1) = f(u(n)) ?
Merci
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Réponses
Pourquoi est-ce impossible de traiter cette leçon avec un niveau terminale ? Après tout, ce que touche au suite mis à part la notion de point fixe qui n'est pas encore abordé et qui peut donc être admis au cas où, un terminale est capable de traiter des suites récurrentes sans aucun problème.
Après ne se limiter que à cela serait suicidaire en effet mais après tout tu peux construire ta leçon avec dans l'idée d'une L1 en partant d'un niveau terminale et donc prendre par la main le jury/élève pour l'emmener plus loin.
Enfin là, je t'avoue que je réfléchie avec un optique Capes et non un optique agreg mais vu ta remarque sur le "niveau terminale", je ne pense pas qu'il s'agit de la leçon d'agreg sur les suites numériques.
Tu peux parler de point fixe attractif et répulsif, tu peux aussi parler de programmation si tu aimes un peut le calcul scientifique car dès qu'on parle de convergence d'une méthode la notion de suite est sous entendu très rapidement (méthode d'Euler pour faire simple).
Bon courage!
Commence par proposer une liste de suites classiques, ensuite élève un peu le niveau. J’ai présenté cette leçon à l’agrégation interne.
-- Schnoebelen, Philippe
on est preneur de ta leçon type présentée à l'agreg interne... Tchuss
Merci
C est niveau capes
Est on obligé de parler des suites recurrentes d ordre 2?
je dirai que oui : la suite de Fibonacci est introduite en 1ère S comme exemple d'une suite définie par récurrence.
Je vois les choses ainsi :
Au niveau Capes, on se place au départ en 1ère S : définition (récurrence d'ordre 1 et 2), exemples importants : arithmétiques et géométriques, construction des termes avec un graphique.
Au niveau term S : les limites qui sont accessibles, car on a alors la notion de continuité, les variations avec la composée de fonctions monotones (non exigible au niveau lycée, mais il faut en parler), peut être parler des suites arithmético-géométrique (un exemple).
Après est-il bien nécessaire de parler de théorème de points fixes au Capes ? (avec les raffinements : points fixes attractifs ou répulsifs) comme toujours, tout dépend de l'aisance que tu as de ces notions.
le livre de Balanguer sur les leçons d'analyse au Capes est assez étoffé sur ces questions.
I Généralités
Définition
Liste de quelques suites classiques (arithmétique, géométrique, arithmético-géométrique, d’ordre n (en développement), homographique, l’autre arithmético-géométrique)
II Deux théorèmes
Monotonie
Point fixe
III Applications
Radioactivité, intérêts simples ou composés
Le flocon de von Koch
Méthode de Newton
Nombres de Catalan (développement possible)
-- Schnoebelen, Philippe
-- Schnoebelen, Philippe
-- Schnoebelen, Philippe
Beaucoup de suites s'inscrivent dans la notion suites récurrentes qui par définition (1ère S) est une suite dont on a un premier terme (U0 ou U1) et qui est définie par une relation de récurrence et dans les ouvrages de lycée : c'est du type Un+1=f(Un) or dans des bouquins du supérieur et de prépa, il y a dans cette rubrique ou chapitre:
"
1/ Suites récurrentes affines du premier ordre à coefficients constants: Un+1=a*Un+b
avec en cas particulier :
*) si a=1, la suite arithmétique(chose non mentionnée au lycée car on peut dire aussi qu'une suite arithmétique est du type Un+1=f(Un) avec f:x->x+r(r raison ))
**)>Pour a=/=1, la suite géométrique(chose non mentionnée (à ma connaissance) dans des ouvrages du lycée or on a bien Un+1=f(Un) avec f:x->q*x( q raison)
2/ suites récurrentes linéaires du second ordre à coefficients constants :
On appelle suites récurrentes linéaires du second ordre à coefficients constantes les suites de la forme:
Un+1=a*U_n+1+b*U_n
puis 3/ Suites récurrentes du type Un+1=f(Un)"
Voilà je pense que le 3/ au lycée englobe bien les suites arithmético-géométriques , arithmétiques et géométriques et récurrentes d'ordre 1 en guidant les élèves merci de vos conseils
ps willou; l'as tu en pdf, stp?
S'il s'agit de réciter une "leçon officielle", plus besoin de concours, ni d'ailleurs de prof. A toi d'être suffisamment intelligent pour construire une leçon "à toi" dont tu pourras défendre devant un jury les tenants et aboutissants, justement parce que c'est la tienne. Sinon, tu sera dans le "maris" des candidats médiocres, que le jury place un peu en dessous de la barre d'admission...
Bonne réflexion !
tu sais ce qu'est une suite récurrente. Comme je ne suis pas dans le coup pour les concours (je n'en passe plus), je ne peux pas te conseiller, mais en tout cas, ne confonds pas le cas général ("une suite est dite récurrente si elle est définie ...") et le cas particulier ("définition récurrente d'une suite arithmétique"). le reste dépend des conditions du concours que tu dois connaître mieux que moi (je te le souhaite !).
Cordialement.
Peut-être peux-tu revenir sur le "principe" de récurrence pour justifier l'existence de la suite (question que le jury pourrait poser) ?
Récurrence simple, d'ordre 2, etc.
Cordialement
merci
Question n°1 : qu'est-ce qu'une suite ?
Question n°2 : ayant posé un+1 = f(un), a-t-on une suite et pourquoi ?
Question subsidiaire : pour les suites récurrentes d'ordre supérieur, comme la suite de Fibonacci par exemple ?
Bruno
Une suite est récurrente lorsque chaque terme se calcule en fonction des précédents. Par exemple $u_0=1$ et pour $n>0$, $u_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1}u_k$.
Ensuite, suivant les niveaux, on n'étudiera bien sûr que certains types.
A moins que tu ne connaisses pas cette définition, pourtant classique.
Cordialement.
Cordialement
Bruno merci, j'ai vu un exo en Term où via des questions guidées on exprime la suite de fibonnacci, initialement défini dans l'exercice comme suite récurrente d'ordre 2 puis on l'exprime en fonction de n (i.e F_n=f(n))
Je pense que tu peux aller un peu plus loin sans trop de risque, notamment avec en dépassant le concept de la suite de la forme Un+1=f(Un). Mais je pense également qu'il vaut mieux être au taquet sur la récurrence et sur la justification de l'existence de telles suites.
La justification, qu'entends tu par çà? pour l'ordre 2, je sais que ça vient du fait que l'espace des solutions est un e.v de dimension 2 de base.... et pour les récurrentes d'ordre 1, je n'ai pas trop d'idée
merci
L'existence de quoi ?
Au passage : "pour l'ordre 2, je sais que ça vient du fait que l'espace des solutions est un e.v de dimension 2 de base." ?? De quoi parles-tu ?
L'ordre d'une récurrence est le nombre de termes précédents qu'il faut pour définir un nouveau terme. Les suites géométriques sont définies par une récurrence d'ordre 1, celles de Fibonacci et Lucas par une récurrence d'ordre 2.
Cordialement.
Question subsidiaire : pour les suites récurrentes d'ordre supérieur, comme la suite de Fibonacci par exemple ?
je parlais des questions de Bruno :
*) Si Un est définie sur l'intervalle I et I est stable par f, alors la suite est bien définie. ?
**) pour Fibo, j'y réfléchis
mais je ne comprends vraiment pas l'intérêt de ce que tu écris :
"Si Un est définie sur l'intervalle I" ?? une suite est définie par sa définition. Que vient faire l'intervalle I dans l'affaire ?
Ne mélangerais-tu pas avec autre chose ? La suite me le laisse penser. Mais ne te permets pas ce genre de mélange au Capes, ce serait rédhibitoire.
Donc pour l'existence, la question est "$f(u_n)$ a-t-il un sens pour tout n. Le raisonnement est alors immédiat.
Et il se généralise immédiatement à des suites d'ordre supérieur.
Cordialement.
NB : Si je suis à côté de tes questions, c'est que tu ne les explicites pas correctement. pour l'instant, tout le monde en écrit plus que toi, alors que c'est toi qui as à faire...
Soit f une fonction définie et continue sur I de R telle que pour tout x dans I, f(x) appartient à I et (Un) la suite définie par : Uo appartient à I et pour tout n dans N, Un+1=f(Un): là la suite est bien définie
reste maintenant, la question subsidiaire..
C'est une condition suffisante, mais pas nécessaire. La condition nécessaire est que pour tout n, $u_n$ soit dans le domaine de définition de f.
Considère par exemple la fonction périodique, de période 1, définie sur $[0;\frac 1 2]$, mais pas définie sur $]\frac 1 2;1[$ et vérifiant $f(x)=x+1$. Si $u_0=0,2$, alors la suite récurrente définie par $u_{n+1}=f(u_n)$ est bien définie, alors qu'aucun intervalle I n'est stable par $f$.
Cordialement.
A toi d'adapter suivant la présentation que tu fais.
Cordialement.
NB : "Merci, j'ai appris une chose". Moi aussi, et tu aurais pu faire comme moi : Chercher à quelle condition une suite récurrente simple existe (il suffit de l'écrire), puis chercher un contre exemple à ta condition.
-- Schnoebelen, Philippe
[Leonardo Fibonacci (1170-1250) mérite certainement sa majuscule. AD]
-- Schnoebelen, Philippe
1/Cas où la suite f est monotone:
(on traitera du cas où Un est croissante et convergente si elle est majorée et de même pour sa décroissance.)
2/ la suite f est contractante:
La suite Un convergera vers le point fixe de f
qu'en pensez vous?
Merci
Bruno
Un+1= f (Un)
merci
je maintiens ce plan en sachant qu'il n'est pas au programme mais il y est implicitement, car si f n'est pas monotone et si Un converge , c'est forcément vers le point fixe de f; c'est vu à partir de la Terminale en disant que l'intervalle est stable par f etc
Il faut vous préparer à répondre à des questions du genre :
-Comment définissez-vous une contraction ?
-Comment démontrer avec des outils de Terminale qu'une fonction continue d'un intervalle fermé borné vers lui-même possède forcément un point fixe ?
Là ds votre exemple, elle m'a l'air monotone
F est contractante si elle est k-lipshitzienne avec k dans [0,1[
je n'ai pas de réponse pour la dernière question
Bonne nuit
-Ne travaillez qu'avec des fonctions définies sur des intervalles fermés bornés, des demi-droites fermées, ou $\mathbb{R}$ tout entier, de façon à ne pas pouvoir sortir de l'intervalle de définition par passage à la limite. C'est le sens de l'exemple de mon message précédent.
-L'inégalité des accroissements finis n'est pas au programme de Terminale, donc les élèves n'ont aucun moyen naturel de prouver qu'une fonction est lipschitzienne.
-La situation d'une fonction de récurrence décroissante est compliquée : il vous faut étudier séparément les sous-suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$, et avoir un moyen d'en déduire la convergence ou non de la suite.
-Démontrer qu'une fonction continue de $[a,b]$ dans lui-même possède un point fixe, ça c'est possible : on regarde les signes en $a$ et $b$ de la fonction ${x}\mapsto{f(x)-x}$ et on utilise le théorème des valeurs intermédiaires.
En conclusion, c'est une leçon très "casse-gueule", car il est facile de dire de grosses bêtises : limitez son étendue à des domaines où vous êtes sur de ce que vous allez dire.
Il parait que la justification de l'existence de telles, en partant juste d'une fonction f , d'un terme initial et d'un intervalle est plus compliquée.
J'ai cru comprendre qu'on se servait de l'axiome de récurrence ensembliste....et puis je n'ai pas compris.
"-La situation d'une fonction de récurrence décroissante est compliquée : il vous faut étudier séparément les sous-suites $ (u_{2n})$ et $ (u_{2n+1})$, et avoir un moyen d'en déduire la convergence ou non de la suite." sera traité en les guidant.
Ou bien on se contentera de choisir une fonction $f$ décroissante sur le "bon" intervalle et faire remarquer que l'allure de la courbe est.....
En effet, elle n'est pas évidente. donc c'est mieux de ne pas parler de $f$ contractante et de le garder" en réserve", cela dit on a un cas où la fonction tend vers le point fixe, c'est quand elle est définie d'un compact de $\R$ vers lui même .
[La case LaTeX. AD]