Leçon agreg interne. groupes et géométrie.

Bon voilà un peu de matériel puisque je comprends que tu sois dérouté par cette leçon :

Je rejoins Nicolas. Cette leçon existe à cause du programme d'Erlangen et le rapport Kahane sur la géomètrie qui dit en trés gros que faire de la géomètrie c'est étudier des invariants sous l'action d'un groupe de transformations, et propose donc cette vision des choses même si on la trouve théorique (et qui ne prend son sens réel qu'avec la géomètrie projective qui n'est pas au programme...). Je pense qu'on attend bien des candidats à l'interne cette vision théorique même approximative et avec beaucoup moins de technicité qu'à l'externe . En tout cas j'en ai parlé quand j'y suis passé et j'ai eu 15.


Il y a quatre utilisations des groupes en géomètrie (dixit formateurs de la prépa de grenoble ) : définition d'une notion géomètrique, étude d'un groupe de symétries, Utilisation d'une classification pour se ramener à un cas simple, et utilisation de la structure d'un groupe.

Pour les groupes de symétrie on est en plein dedans : par exemple les invariants d'un polygone ; l'objet ici est bien un problème de géomètrie : quelles sont les transformations affines qui conservent un polygone , qui fait intervenir des groupes concrètement . On a dans ce type d'exercice coincidence entre groupes et géomètrie. (groupe diédral, groupe des rotations du cube)

Ensuite ce qui illustre très bien cette leçon c'est que pour résoudre un problème géomètrique qui a l'air compliqué (le milieu des points d'une sécante à une hyperbole est aussi le milieu des points d'intersection de cette sécante avec les axes de cette hyperboles) on le résoud dans un cas particulier favorable (hyperbole équilatère) qui lui est géomètriquement équivalent, ceci grâce à la classification ici affine des coniques (équations réduites, changement de repère). Une autre fois ce sera la classification euclidienne qui servira pour démontrer une propriété "euclidienne" : les axes de symétrie d'une conique à centre sont orthogonaux.
On a plein d'autres classifications : triangles semblables, triangles homothétiques qui mène au th de Desargues, etc.


La démarche générale d'une classification sous un groupe de transformations me semble dans l'esprit du programme d'Erlangen et sa vision de la géomètrie à travers l'étude des invarants des actions de groupes qui est au coeur de la leçon .


Pour illustrer l'application des groupes à la définition d'une notion géomètrique et à l'algèbrisation de la géomètrie, il y a par exemple la définition des angles ! Algèbrisation nécessitant une théorie certe lourde mais ensuite quelle facilité pour résoudre les pb géomètriques : th de l'angle inscrit, Cercle de Clifford-Miquel (en couverture de la dernière édition d'Audin) etc

Enfin il y a l'utilisation de la structure de certains groupes géomètriques (compositions) pour résoudre des problèmes géomètriques : polygones dont les milieux des cotés sont donnés (gpe affine), suite de cercles tangents (gpe des homothéties transalations).

N'oublions pas en fin de compte que très souvent comme dans la classification il s'agit d'un habillage théorique de choses finalement pas si compliquées.

Si tu veux des références n'hésite pas.

A bientôt.

Bonjour,

je suis aussi en train de préparer cette leçon et j'aimerais bien avoir des références. Merci par avance pour vos réponses

Bibe.

Salut,

j'ai eu une bonne note à cette leçon la semaine dernière !
Je vais t'en faire profiter

Les bouquins : Mercier 2014, Rombaldi 2017, CalderoGermoni 13 ou le nouveau maintenant
Le L3-Algèbre Pierson, Audin 2006 TB aussi

Prérequis : isométries DONT la classification en dim 2 et 3, homothéties

I - Groupe affine

1) Def avec les actions de groupes

+ le morphisme de GL(A) -> GL(E)
bien connaître Ker et Im
pas ex Ker distingué dans GL(A), intérêt ?

Le principe de conjugaison (Aud 2006) à voir !

2) Groupe des homothéties translations

Application : Th de Menelaus

II - Groupe orthogonal
Expliquer qu'on a intérêt à travailler dans des repères orthogonaux ! le monde euclidien ...
Et ici c'est la partie vectorielle utilisée (par opposition à la partie I)

1) Zoologie du groupe

Définition matricielle
Les sous groupes de O(E)

Th importants à mon gout !
O(E) est engendré par les réflexions (au plus n)
SO(E) est engendré par les retournements (au plus n)

Autre th :
Les sous-gr finis de O2(R) sont Z/nZ et Dn (groupe diédral)
Les sous-gr finis de SO3(R) sont isomorphes à Z/nZ, Dn, A4,S4 ou A5 (dev XENS bien dur !)

2) Les isométries
Lien avec isométrie affine : l'isom lineaire est dans O(E)

Parler des angles en dim 2 avec les formes matricielles
c'est en lien avec la classif des isométries

III - Parties du plan ou de l'espace conservées par les isom

1) Dans le plan :
Triangle équilatéral
Carré
polygone régulier

+ donner tous les isomorphismes entre le groupe des isométries conservant l'objet et Z/nZ ou A3 ou autres groupes basiques
Ne pas aller dans la décomp semi directe (Dn par ex) je pense que c'est dangereux...

2) Dans l'espace
Cube
Tetraèdre

3) les pavages (non évoqué dans mon plan)
L'idée ici est la conservation de partie du plan infini contrairement aux objets finis mentionnés avant.

TB mais dur de trouver un bouquin qui en parle à part le Berger
Les groupes de pavages orientés conjugués à GLn(R) sont au nombre de 5 !

IV- Certains évoquent ici les homographies et leur groupes de projections PGL(E) et PSL(E)
mais il faut avoir le temps et moi je ne l'ai pas eu !

Ici c'est GL2(C) -> H (gr homographies) avec (a b c d) matrice associée à (az+b)/(cz+d)

+ Parler du birapport

Voilà j'ai développé :
générateurs de O(E) et Is(tétraèdre) isomorphe à S4 et cela c'est bien passé.
Avec les devs bien expliqués (pas comme moi !) tu as 16 sans pb.

A+

Le violoniste

Bonjour,
Merci Le Violoniste!
Nicolas.Patrois, merci mais c'est vrai qie le TAUVEL je le trouve un peu dur