Représentation des groupes finis
Bonsoir,
j'ai suivi l'année passée un cours sur les représentations de groupes finis (niveau M1), et en préparant cette année les leçons sur les groupes pour l'agrégation, je me suis demandé : à quoi diable cela peut-il servir, tout du moins, de quelle manière concrète lorsque l'on pratique les mathématiques au niveau de l'agrégation ?
J'imagine bien sûr qu'à un niveau supérieur, il doit y avoir de nombreuses applications concrètes à la théorie des représentations des groupes finis, mais pour ce qui me concerne, hormis le théorème de Burnside, je n'en ai rencontrée aucune, et comme de plus la table des caractères d'un groupe ne permet pas de le caractériser complètement, je me demande ce que je pourrais répondre à un jury qui me demandera quelle est l'intérêt de la construire pour un groupe comme S4, quelle information sur la nature du groupe on peut en tirer (je pourrais bien sûr dire qu'il en va avant tout de "l'honneur de l'esprit humain!", mais j'aimerais bien avoir aussi un argument un peu plus terre-à-terre et consensuel).
En espérant que l'un des intervenants puisse m'aider...
j'ai suivi l'année passée un cours sur les représentations de groupes finis (niveau M1), et en préparant cette année les leçons sur les groupes pour l'agrégation, je me suis demandé : à quoi diable cela peut-il servir, tout du moins, de quelle manière concrète lorsque l'on pratique les mathématiques au niveau de l'agrégation ?
J'imagine bien sûr qu'à un niveau supérieur, il doit y avoir de nombreuses applications concrètes à la théorie des représentations des groupes finis, mais pour ce qui me concerne, hormis le théorème de Burnside, je n'en ai rencontrée aucune, et comme de plus la table des caractères d'un groupe ne permet pas de le caractériser complètement, je me demande ce que je pourrais répondre à un jury qui me demandera quelle est l'intérêt de la construire pour un groupe comme S4, quelle information sur la nature du groupe on peut en tirer (je pourrais bien sûr dire qu'il en va avant tout de "l'honneur de l'esprit humain!", mais j'aimerais bien avoir aussi un argument un peu plus terre-à-terre et consensuel).
En espérant que l'un des intervenants puisse m'aider...
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Réponses
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Pour apporter un élément de réponse, il me semble qu'à la simple lecture d'une table de caractère (S4 par ex), il est possible de déterminer les sous groupes distingués du groupe (et donc par exemple dire s'il est simple ou non).
Si quelqu'un a d'autres infos de ce types ... !
Te faire une liste des applications de la théorie des représentations prendrait un certain temps Pour exagérer un brin, on ne "voit" de toute façon les groupes qu'à travers leur représentations (au sens large, pas seulement linéaire).
Bref, pour parler plus specifiquement des représentations linéaires, tu as en gros deux situations possibles:
- un problème fait apparaitre naturellement une représentation d'un groupe "bien connu". Dans ce cas les propriétés du groupe, et le fait d'avoir classifié au prealable ses représentations t'aide à résoudre le probleme. Exemples typiques: physique des particules, chimie moléculaire, calculs de valeurs propres d'une facon générale, etc...
- tu cherches à étudier un groupe. Dans ce cas ses représentations te donnent pas mal d'infos, et surtout te donne accès à la machinerie de l'algèbre linéaire. Quand on parle de groupe fini ca n'est pas forcement parlant (encore que, il arrive qu'on ai besoin d'etudier des groupes de cardinal enorme), mais pour les groupes discrets infinis, l'existence d'une representation fidèle de dimension finie implique une tonne de propriétés très fortes.
Apres il y a des exemples plus spécifiques, comme l'étude des polynomes symétriques qui repose enormement sur la combinatoire des caracteres de $S_n$, donc de ses représentations.
Soit $G$ un groupe fini. $(V,\rho)$ une représentation linéaire de $G$.
On note $\rho_1, \dots \rho_h$ ses représentations irréductibles, et $\chi_1, \dots, \chi_h$ les caractères irréductibles associés.
Par convention, $\chi_1$ désigne le caractère irréductible trivial.
Théorème.
$G$ est simple $~\Longleftrightarrow ~\forall i \neq 1, ~\forall g \in G \setminus \{e\}, ~\chi_i(g) \neq \chi_i(e)$
La preuve est détaillée dans le livre de Peyré "L'algèbre discrète de la transformée de Fourier".
Si je ne m'abuse, on peut donc lire immédiatement la simplicité d'un groupe via sa table des caractères.
On a même un résultat plus précis concernant les sous-groupes distingués de $G$ (toujours dans Peyré) :
Théorème.
Les sous-groupes distingués de $G$ sont exactement les $\displaystyle\bigcap_{i \in I} \ker \rho_i$, $~I \subset \{1, \dots, h\}$.
Si quelqu'un peut confirmer mes propos, je ne voudrais pas raconter de bêtises
Je me demande aussi...est-ce qu'il arrive qu'on dispose de la table de représentation d'un groupe, sans connaître tout de ce groupe (ses classes de conjugaison, sa simplicité...). Si oui, dans quel genre de contexte?
Parce que construire la table des caractères d'un groupe suppose de savoir un paquet de choses sur ce groupe non?