Je l'ai passé ce matin aussi...
Bilan : la moitié du sujet faite, 22 questions non faites (sur 46)... je me suis amusée à compter.
Bref, je ne suis pas du tout rassurée... !
C'est quoi cette idée de changer les définitions classiques ?
Le rappel, laissez-moi rire !
De plus je persiste à penser que la "définition" de l'énoncé est loin d'être limpide.
Je passe sur le théorème qu'il fallait démontrer au C 2.2. du problème 2 pour pouvoir l'utiliser au B 1.4. du problème 1.
Au fait, c'est nouveau que nos inspecteurs n'arrivent plus à pondre un seul problème de 5 heures ?
Juste histoire de martyriser des lépidoptères : problème 1 Partie A question 4
por n entier naturel on pose :
$$ v_n = u_n + \frac{1}{n.n!}$$
Zéro n'est-il pas un entier naturel ? Ou la division par zéro est-elle devenue loisible dans $\mathbb{N}$ ?
Au 4.2 j'ai bien trouvé une contradiction. N'ayant pas le sens de l'humour, je suis allé jusqu'à en déduire l'irrationnnalité de $e$ mais ce n'était pas demandé explicitement. Un simple "conclure" aurait été bienvenu dans l'énoncé.
Enfin, je me souviens avec nostalgie du temps où lorsqu'on nous faisait tracer des courbes, on nous donnait du papier millimétré.
Je ne sais plus si c'est Boris Vian, Jean-Henri Fabre, JLT ou moi qui disait :
Il y a deux façons d'enculer les mouches : avec ou sans leur consentement.
Qu'est ce qui te pose problème ev ? Il n'est pas écrit "une densité est une fonction continue telle que...". Ce qui est écrit, c'est qu'on suppose que $f$ est continue. Et, dans ce cas, il s'agit d'une densité lorsque (bla bla)...
Non ?
à ev : depuis la session 2011, ce sont plusieurs petits problèmes au lieu d'un seul qui sont pondus au capes. D'ailleurs, pompe-t-il un peu sur l'agreg 2003 sujet 2 pour les questions d'entropie ?
à lulusalacia : tu fais 10 questions tout au plus, bien écrite, et cela te suffit pour être largement admissible au capes avec un ptit c .
La partie B du problème 1 correspond au § 1.3 du Duverney, et la partie C du problème 1 se retrouve au § 2.2 de ce même Duverney sur la Théorie des nombres.
Oui haha mais j'angoisse car j'ai l"impression de n'avoir rien fait, finalement...
Pourtant je n'ai pas chômé ; je me suis efforcée de bien rédiger et ça m'a quand même pris 22 pages...
Plus sérieusement c'est tout simplement la moyenne statistique (ou arithmétique) $$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i $$ et les valeurs médianes c'est à dire la ou les deux valeurs ayant autant de points derrières elles que devant elles.
Toujours pour martyriser les coléoptères (ya pas de raisons qu'ils y échappent)
$$[x_{[\frac{n}{2}]};x_{[\frac{n+1}{2}]}]$$
était l'intervalle sur lequel L(x) était minimal, indépendamment de la parité de n (mais si n est impair, l'intervalle est réduit à un point)
En les divisant par n et en prenant les valeurs minimales on obtient les classiques variance ($\frac 1 n G(x)$ pour x égal à la moyenne arithmétique) et écart absolu à la médiane ($\frac 1 n L(x)$ pour x égal à la médiane). Pour x égal à la moyenne, $\frac 1 n L(x)$ est l'écart absolu moyen, souvent appelé "écart moyen".
Mais j'ai seulement utilisé mes souvenirs d'enseignement des stats descriptives plus les normes afnor de Statistique. Et j'ai donné les noms demandés par Ev (les indicateurs).
mais je reconnais volontiers que pour n pair, la médiane est mal définie (ce qui ne change rien aux normes Afnor - je ne les ai plus, je ne sais pas ce qu'ils proposent pour le calcul de la médiane dans ce cas).
La moyenne et la médiane sont des indicateurs de position, la variance et l'écart moyen des indicateurs de dispersion. Ce sont bien des dispersions qu'on étudie, ainsi que les valeurs de x qui les rendent minimaux. Si on "étale" la série, on augmente les valeurs de G et L (*).
Cordialement.
(*) Il me semble. Si on ne change pas la moyenne, c'est sûr pour la variance (formule de Huygens). Je serais moins affirmatif pour l'écart moyen.
J'ai juste lu en diagonale l'énoncé de l’épreuve mais il me semblait que si les erreurs suivent une loi normale, donc symétrique, la moyenne et la variance étaient identiques.
Je trouve ça pas mal de voir des probas/stats dans ce concours. Je trouvais ça plutôt rare.
Je suis plutôt probabiliste, mais je ne connais pas bien cette notion d'entropie de Shannon, et ça me fait penser un peu à l'information de Fisher (bon vaguement, mais quand même). Je voulais savoir si simplement quelqu'un pouvait expliquer simplement à quoi ça correspond, comment la comprendre ?
Surtout que ce n'est pas l'interprétation informatique ou électronique (dont je suis un peu allergique d'ailleurs) qui m'intéresse, mais vraiment comprendre intuitivement à quoi ça correspond, à quoi ça sert, etc , au sens probabiliste
Si une distribution théorique suit une loi de Gauss, sa médiane et sa moyenne sont égales. Plus généralement, c'est le cas pour une distribution symétrique (par exemple loi uniforme sur un intervalle). Mais :
* Ce n'est pas le cas pour la plupart des distributions probabilistes
* Les distributions statistiques ne sont pas des distributions probabilistes théoriques, mais des ensembles de valeurs finis. Donc il n'y a aucune raison de penser que la médiane et la moyenne soient égales à priori. Même si c'est approximativement vrai dans nombre de situations.
Le préambule des exercices t'a amené à cette idée, mais au départ, on traite d'une série de valeurs, donc pas d'une série d'erreurs qui peuvent être considérées comme des réalisations d'une variable aléatoire gaussienne.
Enfin la compréhension mathématique de la "loi des erreurs" a été un thème de recherche important pendant tout le dix-neuvième siècle et le vingtième, et s'appuie sur des théorèmes genre "théorème limite central". Même si on ne peut jamais "prouver" qu'un théorème mathématique s'applique à la réalité. D'ailleurs on connaît des situations dans lesquelles elle ne s'applique pas.
Les questions les plus difficiles seront je pense les mieux notées... donc on peut avoir fait moins que la moitié mais si c'est les questions les + importantes que l'on a traîtées avoir plus que la moyenne.
Sinon avez-vous entendu parler des oraux avancés ???
Il n'y a pas qu'un énoncé qui fasse la difficulté d'un concours, mais aussi les candidats qui le passent... et pour rassurer ceux qui se demandent s'ils sont "dans la moyenne", je rajouterais (en plus de l'argument précédent) que les absents étaient nombreux dans pas mal de centres. Maintenant, c'est l'occasion de se reposer pour ceux qui en ont le temps...
Au fait, le deuxième sujet de ce matin vous intéresse ?
Je ne sais pas si c'est ici que je peux demander une aide sur une question des sujets d'hier et aujourd'hui mais bon je le fais ...
Il y a plein de questions que je n'ai pas traitées (surtout hier) mais alors 2 en particulier :
Hier la toute première question ... irrationnalité de $\sqrt{n}$
j'ai pensé que c'était comme pour le classique $\sqrt{2}$ mais en fait je ne crois pas, la démo classique ne marche que pour un nombre premier, du coup il doit falloir ajouter un truc mais je n'ai pas trouvé ...
(j'y ai passé trop de temps ... c'est toujours énervant de coincer sur la première question d'un sujet).
Aujourd'hui la question 2 de la partie C du problème 1 :
Montrer que $Ker(u-Id)\cap Im(u-Id) = \{0\}$
puis question 5 de la partie D :
Montrer que $Ker(u-Id)$ et $Im(u-Id)$ sont supplémentaires.
C'est plus précisémment de montrer que $Ker(u-Id)+Im(u-Id)=\mathbb{C}^p$ que j'ai coincé.
J'ai commencé en prenant un $x\in\mathbb{C}$ quelconque et à l'écrire $x=v_1+x-v_1$ avec $v_1$ vecteur propre associé à la valeur propre $\lambda_1 = 1$ donc $v_1\in Ker(u-Id)$ mais pas moyen de montrer que $x-v_1$ est dans $Im(u-Id)$ ...
Pour hier, tu écris froidement $\sqrt{n}=\frac{p}{q}$ puis $\frac{p^2}{q^2}=n$
Ensuite tu vérifies que si $p$ et $q$ sont premiers entre eux alors $p^2$ et $q^2$ le sont aussi.
La conclusion vient de ce que la fraction irréductible qui représente un entier doit avoir un numérateur dénominateur égal à un. (merci Felix).
Si tu as choisi la convention usuelle $\frac{p}{q}$ avec $(p,q) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}^*$ alors il vient $q=1$ et si $\sqrt{n}$ est rationnel, il est entier.
Bah de ne pas faire ou d'écrire un truc complètement faux (de recopier naïvement la démo de $\sqrt{2}$ ...) pour la toute première question j'imagine que ça peut faire partir en ruade le correcteur le plus zen ...
Enlever des points peut être pas mais partir avec un très mauvais à priori sur le candidat c'est possible ...
Quelques mots sur l'épreuve 1, problème 1.
Pas bouleversifiant d'originalité, mais sympa.
Partie B : cette démonstration de l'irrationalité de $\pi $ est très connue, elle est due au mathématicien Etats-Unien Ivan Niven (1915-1999), elle est proposée en exercice dans maint ouvrage. L'auteur du problème ne sait peut-être pas qu'en fait cette démonstration donne l'irrationalité de $\pi ^{2}$. Je l'ai posée je ne sais combien de fois dans ma carrière, dans plusieurs sortes de classes. La première fois, c'était en prépa-HEC en 1983 (comme le temps passe) et j'en avais profité pour mettre sous les yeux de mes élèves l'article original d'Ivan Niven, Bulletin AMS, 1947, p. 509. On n'a pas toujours l'occasion de faire ça. "L'occasion, il faut la saisir", comme dit la chanson.
Cette démonstration figure dans un grand nombre d'ouvrages, et notamment dans : Ivan Niven, Irrational numbers, The Carus Math. Monographs, Nr 11, MAA, 1967, où l'auteur donne quelques démonstrations d'irrationalité et un bref historique avec références.
Je l'ai rencontrée pour la première fois dans une revue qui existait jadis chez Vuibert, analogue à la RMS, mais à l'usage des élèves de Terminale, c'était "Le Journal de Mathématiques élémentaires", en 1961. Même conception que la RMS : énoncés et solutions de problèmes de bac, et aussi de Concours général (très utile donc pour ceux qui voudraient faire l'histoire de ce vénérable concours), précédés d'articles sur divers sujets mathématiques. Je vous communique cet article. Dommage que ce collègue G. Blanchard n'ait pas cité ses sources, enfin il aura eu le mérite de faire connaître cette belle démonstration à nos lycéens (dont j'étais à l'époque).
J'ajoute qu'il existait aussi chez Vuibert une autre revue, pour les élèves de Troisième, c'était "L'Education mathématique", de même conception.
Bonne soirée.
RC
Depuis deux ans j'ai l'impression que quelqu'un qui suivrait tous les fils des maths.net pendant un an ou deux aurait une grosse chance d'avoir déjà fait une bonne partie du sujet du capes.
Réponses
Rien de très original, mais plutôt sympathique comme sujet.
Bilan : la moitié du sujet faite, 22 questions non faites (sur 46)... je me suis amusée à compter.
Bref, je ne suis pas du tout rassurée... !
amicalement,
e.v.
Le rappel, laissez-moi rire !
De plus je persiste à penser que la "définition" de l'énoncé est loin d'être limpide.
Je passe sur le théorème qu'il fallait démontrer au C 2.2. du problème 2 pour pouvoir l'utiliser au B 1.4. du problème 1.
Au fait, c'est nouveau que nos inspecteurs n'arrivent plus à pondre un seul problème de 5 heures ?
e.v.
por n entier naturel on pose :
$$ v_n = u_n + \frac{1}{n.n!}$$
Zéro n'est-il pas un entier naturel ? Ou la division par zéro est-elle devenue loisible dans $\mathbb{N}$ ?
Au 4.2 j'ai bien trouvé une contradiction. N'ayant pas le sens de l'humour, je suis allé jusqu'à en déduire l'irrationnnalité de $e$ mais ce n'était pas demandé explicitement. Un simple "conclure" aurait été bienvenu dans l'énoncé.
Enfin, je me souviens avec nostalgie du temps où lorsqu'on nous faisait tracer des courbes, on nous donnait du papier millimétré.
Je dois être trop vieux pour ces c...eries
Amicalement
Volny
Il y a deux façons d'enculer les mouches : avec ou sans leur consentement.
amicalement,
e.v.
Non ?
Oui, tu as raison. J'ai lu de traviole. Je vais aller prendre mes gouttes.
amicalement,
e.v.
à lulusalacia : tu fais 10 questions tout au plus, bien écrite, et cela te suffit pour être largement admissible au capes avec un ptit c .
La partie B du problème 1 correspond au § 1.3 du Duverney, et la partie C du problème 1 se retrouve au § 2.2 de ce même Duverney sur la Théorie des nombres.
Sinon, entre lépidoptère
Pourtant je n'ai pas chômé ; je me suis efforcée de bien rédiger et ça m'a quand même pris 22 pages...
Quelqu'un peut me dire qui sont ces deux indicateurs de dispersion ?
Je suis une nullité crasse en statistiques mais j'essaye de me soigner.
amicalement,
e.v.
C'est pour ça que je suis prof !
Plus sérieusement c'est tout simplement la moyenne statistique (ou arithmétique) $$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i $$ et les valeurs médianes c'est à dire la ou les deux valeurs ayant autant de points derrières elles que devant elles.
Toujours pour martyriser les coléoptères (ya pas de raisons qu'ils y échappent)
$$[x_{[\frac{n}{2}]};x_{[\frac{n+1}{2}]}]$$
était l'intervalle sur lequel L(x) était minimal, indépendamment de la parité de n (mais si n est impair, l'intervalle est réduit à un point)
Amicalement
Volny
En les divisant par n et en prenant les valeurs minimales on obtient les classiques variance ($\frac 1 n G(x)$ pour x égal à la moyenne arithmétique) et écart absolu à la médiane ($\frac 1 n L(x)$ pour x égal à la médiane). Pour x égal à la moyenne, $\frac 1 n L(x)$ est l'écart absolu moyen, souvent appelé "écart moyen".
Cordialement.
Je t'ai grillé...
Le sujet disait point de vue statistique, pas probabiliste. Même si ont fait toujours des cours de proba/stats, il y a une différence
Amicalement
Volny
Mais j'ai seulement utilisé mes souvenirs d'enseignement des stats descriptives plus les normes afnor de Statistique. Et j'ai donné les noms demandés par Ev (les indicateurs).
mais je reconnais volontiers que pour n pair, la médiane est mal définie (ce qui ne change rien aux normes Afnor - je ne les ai plus, je ne sais pas ce qu'ils proposent pour le calcul de la médiane dans ce cas).
Cordialement.
Amicalement
Volny
C'est corrigé, merci Sylvain
Pourquoi de dispersion et pas de position comme j'enseignais à mes élèves ?
amicalement,
e.v.
Cordialement.
(*) Il me semble. Si on ne change pas la moyenne, c'est sûr pour la variance (formule de Huygens). Je serais moins affirmatif pour l'écart moyen.
J'ai juste lu en diagonale l'énoncé de l’épreuve mais il me semblait que si les erreurs suivent une loi normale, donc symétrique, la moyenne et la variance étaient identiques.
Je suis plutôt probabiliste, mais je ne connais pas bien cette notion d'entropie de Shannon, et ça me fait penser un peu à l'information de Fisher (bon vaguement, mais quand même). Je voulais savoir si simplement quelqu'un pouvait expliquer simplement à quoi ça correspond, comment la comprendre ?
Si une distribution théorique suit une loi de Gauss, sa médiane et sa moyenne sont égales. Plus généralement, c'est le cas pour une distribution symétrique (par exemple loi uniforme sur un intervalle). Mais :
* Ce n'est pas le cas pour la plupart des distributions probabilistes
* Les distributions statistiques ne sont pas des distributions probabilistes théoriques, mais des ensembles de valeurs finis. Donc il n'y a aucune raison de penser que la médiane et la moyenne soient égales à priori. Même si c'est approximativement vrai dans nombre de situations.
Le préambule des exercices t'a amené à cette idée, mais au départ, on traite d'une série de valeurs, donc pas d'une série d'erreurs qui peuvent être considérées comme des réalisations d'une variable aléatoire gaussienne.
Enfin la compréhension mathématique de la "loi des erreurs" a été un thème de recherche important pendant tout le dix-neuvième siècle et le vingtième, et s'appuie sur des théorèmes genre "théorème limite central". Même si on ne peut jamais "prouver" qu'un théorème mathématique s'applique à la réalité. D'ailleurs on connaît des situations dans lesquelles elle ne s'applique pas.
Cordialement.
Les questions les plus difficiles seront je pense les mieux notées... donc on peut avoir fait moins que la moitié mais si c'est les questions les + importantes que l'on a traîtées avoir plus que la moyenne.
Sinon avez-vous entendu parler des oraux avancés ???
Franchement ce serait mieux ....
Au fait, le deuxième sujet de ce matin vous intéresse ?
Merci.
RC
Nettement plus classique, non ?
Quelqu'un a eu le courage de se taper le A 3 4 du problème 2 ?
Amicalement
Volny
NE REPONDEZ PAS ICI MAIS DANS LE FIL SUIVANT :
Je ne sais pas si c'est ici que je peux demander une aide sur une question des sujets d'hier et aujourd'hui mais bon je le fais ...
Il y a plein de questions que je n'ai pas traitées (surtout hier) mais alors 2 en particulier :
Hier la toute première question ... irrationnalité de $\sqrt{n}$
j'ai pensé que c'était comme pour le classique $\sqrt{2}$ mais en fait je ne crois pas, la démo classique ne marche que pour un nombre premier, du coup il doit falloir ajouter un truc mais je n'ai pas trouvé ...
(j'y ai passé trop de temps ... c'est toujours énervant de coincer sur la première question d'un sujet).
Aujourd'hui la question 2 de la partie C du problème 1 :
Montrer que $Ker(u-Id)\cap Im(u-Id) = \{0\}$
puis question 5 de la partie D :
Montrer que $Ker(u-Id)$ et $Im(u-Id)$ sont supplémentaires.
C'est plus précisémment de montrer que $Ker(u-Id)+Im(u-Id)=\mathbb{C}^p$ que j'ai coincé.
J'ai commencé en prenant un $x\in\mathbb{C}$ quelconque et à l'écrire $x=v_1+x-v_1$ avec $v_1$ vecteur propre associé à la valeur propre $\lambda_1 = 1$ donc $v_1\in Ker(u-Id)$ mais pas moyen de montrer que $x-v_1$ est dans $Im(u-Id)$ ...
Merci de m'aider
question 2 de la partie C du problème 1 :
Tu prends $x\in Ker(u-Id)$, tu as $u^n(x) = x$.
Si $x\in Im(u-Id)$ alors $\exists y\in\C^p$, $x = u(y) - y$. Alors $u^n(x) = u^{n+1}(y) - u^n(y) \to 0$.
Unicité de la limite, $x= 0$.
e.v.
[Edit : Tu peux regarder ce lien]
Ainsi que celui-ci.
J'ai bien failli écrire la même démo que pour $\sqrt{2}$ 8-) je ne sais pas si on peut perdre des points si on écrit des âneries ?
Ensuite tu vérifies que si $p$ et $q$ sont premiers entre eux alors $p^2$ et $q^2$ le sont aussi.
La conclusion vient de ce que la fraction irréductible qui représente un entier doit avoir un numérateur dénominateur égal à un. (merci Felix).
Si tu as choisi la convention usuelle $\frac{p}{q}$ avec $(p,q) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}^*$ alors il vient $q=1$ et si $\sqrt{n}$ est rationnel, il est entier.
Qu'est-ce que tu appelles une ânerie ? Non mais des fois tu veux savoir la pointure de mon sabot ?
amicalement,
e.v.
Enlever des points peut être pas mais partir avec un très mauvais à priori sur le candidat c'est possible ...
la fraction irréductible qui représente un entier doit avoir un numérateur égal à un.
Il doit s'agir d'une faute de frappe.
e.v.
Il y a trop de doigts sur mes mains et de touches sur mon clavier.
Heureusement il manque des neurones dans mon cerveau.
Volny
Pas bouleversifiant d'originalité, mais sympa.
Partie B : cette démonstration de l'irrationalité de $\pi $ est très connue, elle est due au mathématicien Etats-Unien Ivan Niven (1915-1999), elle est proposée en exercice dans maint ouvrage. L'auteur du problème ne sait peut-être pas qu'en fait cette démonstration donne l'irrationalité de $\pi ^{2}$. Je l'ai posée je ne sais combien de fois dans ma carrière, dans plusieurs sortes de classes. La première fois, c'était en prépa-HEC en 1983 (comme le temps passe) et j'en avais profité pour mettre sous les yeux de mes élèves l'article original d'Ivan Niven, Bulletin AMS, 1947, p. 509. On n'a pas toujours l'occasion de faire ça. "L'occasion, il faut la saisir", comme dit la chanson.
Cette démonstration figure dans un grand nombre d'ouvrages, et notamment dans : Ivan Niven, Irrational numbers, The Carus Math. Monographs, Nr 11, MAA, 1967, où l'auteur donne quelques démonstrations d'irrationalité et un bref historique avec références.
Je l'ai rencontrée pour la première fois dans une revue qui existait jadis chez Vuibert, analogue à la RMS, mais à l'usage des élèves de Terminale, c'était "Le Journal de Mathématiques élémentaires", en 1961. Même conception que la RMS : énoncés et solutions de problèmes de bac, et aussi de Concours général (très utile donc pour ceux qui voudraient faire l'histoire de ce vénérable concours), précédés d'articles sur divers sujets mathématiques. Je vous communique cet article. Dommage que ce collègue G. Blanchard n'ait pas cité ses sources, enfin il aura eu le mérite de faire connaître cette belle démonstration à nos lycéens (dont j'étais à l'époque).
J'ajoute qu'il existait aussi chez Vuibert une autre revue, pour les élèves de Troisième, c'était "L'Education mathématique", de même conception.
Bonne soirée.
RC