Capes 2013 (épreuve2 du 16Nov2012)
Voici le texte de l'épreuve 2 du Capes (algèbre linéaire et arithmétique, pas de géométrie :S)
PS : merci à "Rombaldi" pour avoir scanné le sujet.
PS : merci à "Rombaldi" pour avoir scanné le sujet.
Réponses
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Ah mais non, maintenant il va y avoir double post !
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?6,791842,792156#msg-792156
Bah tant pis continuons sur ce fil.
J'ai pas fait le C.3 du problème 2 non plus. J'ai eu la flemme, j'ai pas regardé. Quelqu'un l'a un peu cherché ?
Amicalement
Volny -
J'aurais d'ailleurs besoin d'un avis "éclairé" de la part de personnes qui ont ici (ou ont eu) l'habitude de corriger ce type d'épreuve. Dans le 1er problème, quelle peut être la précision de rédaction attendue ? (j'ai beaucoup rédigé la partie A, voire trop ? en redonnant par exemple la construction de la matrice de passage avec la recherche des valeurs et sous-espaces propres), mais j'avoue que dans la partie B, j'ai eu l'impression de râbacher, et qu'il n'y avait pas de grandes difficultés quand on connaît déjà la définition de convergence d'une suite matricielle). Il y avait-il quelques subtilités dans cette partie IB?
Sinon, j'attends vos retours pour les (téméraires) candidats de cette année. -
Pour le C.3 du problème 2 :
Avec les relations coefficients-racines, la somme des inverses des racines d'un polynôme $P = \displaystyle \sum_{i=0}^n \alpha_i X^i$ est $\dfrac{-\alpha_1}{\alpha_0}$.
Il suffit de l'appliquer avec le polynôme $f(x)$. -
A Volny, très classique effectivement, et nettement moins corriace que mes souvenirs d'années précédentes... Cela dit valiat mieux pour moi, car étant également en LP maintenant, cela fait plus d'un an que je n'ai pas eu l'occasion de remettre le nez dans mes cours post-bac (et heureusement qu'un cours de prépa bien appris à l'époque revient plus facilement qu'on ne le croirait). J'ai néanmoins misé sur la rédaction, donc plutôt privilégié le problème 1, et je suis un peu rouillée tout de même : comme l'aurait dit mon cher prof de sup à l'époque : "ce qui est fait n'est vraiment pas mal, mais où est le reste?" (l'avantage en algèbre linéaire, c'est qu'il est plus évident je trouve qu'en analyse d'etre précis et très rigoureux dans ses calculs et démonstrations, et en plus, tant que ça roule, c'est quon est dans le juste). Bref, un sujet que peut-être certains trouveront élémentaire, mais qui m'a bien occupée ce matin, et qui met la patate au point d'oublier ce qu'il se passait autour... je serais presque restée plus longtemps pour finir ! ^^
-
le A 3 4 du problème 2 :
On calcule le coefficient de $x^{p-1-k}$ dans les deux membres de 3.1
À gauche $pa_k$.
À droite celui de $\displaystyle\sum_{j=0}^{p-1} a_j \left( (z+1)^{p-j} - z^{p-j}\right)$.
Or $(z+1)^{p-j} - z^{p-j} = \displaystyle\sum_{m=0}^{p-j-1} \binom{p-j}{m} x^m$.
Il ne fournit un terme de degré $p-1-k$ que si $p-j-1 \geqslant p-1-k$ soit $j \leqslant k$. son coefficient est alors $\binom{p-j}{p-1-k}$ qu'il reste à multiplier par $a_j$.
Ensuite on somme pour $j$ variant de $0$ à $k$ comme indiqué plus haut.
Enfin la symétrie des coefficients du binôme et c'est marre.
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Wèè. je viens de jeter un oeuil au C3, ça se fait en quelques minutes. Ca m'apprendra à être flemmard. Y'avait qu'à l'écrire. Bah tant pis...
Le fait est que selon les arguments invoqués, on pouvait tartiner beaucoup ou être très brutal (mais je n'ai pas toujours osé). En tout cas c'est un excellent sujet, à ressortir pour les préparations des années à venir. On ne s'ennuie pas et il y en a pour tout le monde.
Amicalement
Volny -
j'ai bloqué sur ca pour au final passer avec le stress, la fatigue...franchement j'étais plus fraîche hier...
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Bonjour,
Je remarque que ce sujet est bien plus intéressant et instructif que celui que j'ai passé hier. Je précise que j'ai passé le Capes 3ème concours. J'aurais donc aimé plancher sur ce sujet plutôt que sur l'autre.
Avec tout mon respect,
T. PomaLe chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
je préférais celui d'hier plus simple pour moi
-
E.V.
Merci pour le A 3.4 j'ai bien fait de ne pas le regarder trop longtemps : j'étais en train de développer des $(1+1)^n$ dans $f(2)$ pour retomber sur des trucs très compliqués, et j'ai préféré continuer.
Je vais tout de suite aller voir ça.
amicalement
Volny -
Le problème d'arithmétique était plus intéressant. Mais je l'ai traîté un peu moins que la moitié. La dernière partie je n'y ai pas touché dès que j'ai vu algo j'ai rebroussé chemin...
-
En fait l'algo était bidon (comme d'habitude) mais ce n'était qu'une question (comme d'habitude) qui n'empéchait pas de passer à la suite (idem)
La leçon que j'en tire c'est que si on a peur d'une question on loupe quelque chose (c'est ce que j'ai fait au C3) -
L'algo est ici plutôt pour le décor, mais je trouve qu'il oriente bien pour la toute dernière question.
amicalement,
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Ce sont surtout les trois exemples qui m'ont aidé. D'un autre coté avac ou sans algo, lorsqu'on ajoute des fractions on fait toujours une réduction au même dénominateur, et les habitués de ce forum doivent systématiquement viser la représentation irréductible, à force de paresse ou d'habitude.
C'est vrai que le résultat est plaisant.
Quelqu'un sait si il a des applications ? Par curiosité.
Amicalement
Volny -
Bonsoir ,
alors moi j'ai manqué de temps !
Ce qui m'a posé problème :
Problème 1 : parties C et fin du D ; la E je n'ai fait que la première question.
Et dans le problème 2 je n'ai eu le temps de faire que la partie A (et pas la dernière question).
Ne trouvez vous pas que globalement les sujets étaient plus difficiles que l'année dernière ? -
Bonjour, j'ai donné un programme scilab comme suit :
S=zeros(1,10)
T=zeros(1,10)
S(1)=1
T(1)=1
for i=2:10
s=i*S(i-1)+T(i-1)
t=i*T(i-1)
p= gcd (int32([ s ; t ]))
S(i)=s/p
T(i)=t/p
end
je ne sais est ce qu'il sera accépté (je ne sais pas faire des programmes avec les calculatrices!)
je viens de le tourner chez moi tranquille , voila le résultat
S =[1. 3. 11. 25. 137. 49. 363. 761. 7129. 7381. ]
T=[ 1. 2. 6. 12. 60. 20. 140. 280. 2520. 2520.] -
Pour la E il n'y avait que 2 questions, et la seconde était juste un calcul de valeurs propres. Tu as bien fait de ne pas y passer une heure (ni même dix minutes).
2.1 $det(A) = \frac{4}{100}$ et $tr(A)=\frac{5}{10}$
poly caractéristique $\khi_u = X^2 - tr(A) X + det(A)$
discriminant $\frac{25-16}{100}$ et deux racines : $\frac{-5\pm3}{20}$ dont le module est inférieur à $1$ donc convergence.
et je ne sais plus où j'ai posé mon sujet pour les deux autres, mais c'est pareil. La 3X3 est diagonale par bloc et on se ramène au cas 2X2. -
Salut !
Pour cette question, à la première et à la troisième je trouve la convergence. Par contre à la deuxième je trouve une divergence car le Ker et le Im n'ont pas une intersection = {0}
Tu confirmes ? -
Maple confirme.
-
Oui, pour la 2 $ker(u-I) = e_1 \mathbb{C}$ et $im(u-I) = <e_1 ; e_2>$ donc divergence.
Oui, pour la 3, elle est diagonale par bloc, donc pas de problèmes pour le bloc de 1 (qui est d'ailleurs tout petit), et pour le bloc restant même principe : $tr(A) = i$ et $det(A) = \frac{-1}{4}$
Discriminant nul, racine double de carré $det(A)= \frac{-1}{4}$ et de somme $i$ donc $\frac{i}{2}$ qui est de module inférieur à $1$ donc convergence. -
Merci pour vos réponses.
Dans l'ensemble j'ai trouvé les deux sujets "plutôt faciles", mais personnellement moi qui aime bien les polynômes j'ai été frustré de bloquer sur la question avec le binôme de Newton pour trouver l'expression des ak.
Les années précédentes on rencontrait déjà ce type de questions, mais en plus simple, je trouve
Et au CAPES, ce sont des fans d'arithmétique, ça tombe souvent !! -
> je ne sais est ce qu'il sera accépté (je ne sais
> pas faire des programmes avec les calculatrices!)
>
> je viens de le tourner chez moi tranquille , voila
> le résultat
>
> S =[1. 3. 11. 25. 137. 49. 363.
> 761. 7129. 7381. ]
>
> T=[ 1. 2. 6. 12. 60. 20. 140.
> 280. 2520. 2520.]
Je ne connais pas la syntaxe scilab mais ton programme me semble correct et en plus il donne les mêmes valeurs que j'ai trouvées (que j'ai calculées à la main jusqu'au rang $n=6$, j'ai eu la flemme de calculer $s_10$ qui était demandé.
J'ai bien plus réussi ce second sujet qui m'a bien plu. J'irai aux oraux sans stress du coup. -
Bonjour
alors moi j ai zappé l algo faute de temps et surtout ne voulant pas perdre plus de temps (!) (dans le meme genre j'ai zappé le graph des valeurs absolues de l epreuve 1 j ai trouvé que c etait long pour à mon avis peu de points mais bon c est peut etre une erreur strategique...)
par contre suis d accord avec baggins c etait pour moi plus facile l epreuve 2 que l epreuve 1 de toute facon l analyse n'a jamais été mon fort ... bon par contre c est quand les resultats? vous commencez a bosser l oral quand et avec quels outils?
bon courage pour la suite
gigi31 -
L'algo était pas trop difficile, il suffisait de voir que $H_{n+1}=\frac{s_n}{t_n}+\frac{1}{n+1}$, ça donnait directement comment calculer $s_{n+1}$ et $t_{n+1}$.
Les graphes, là non plus ça pourrait ne pas être très long, il fallait découper l'intervalle et on avait les fonctions affines de chaque intervalle une fois les valeurs absolues enlevées. Par contre, pour tracer les droits c'est plus pratique avec une règle et qui c'est qui oublie sa règle dans son sac ? Du coup graduation au compas associé à ma carte d'idéntité et j'ai pu m'en sortir.
L'admissibilité devrait être annoncé en janvier, mais on ne saura pas nos notes avant juillet. À la fac on commencera à bosser les oraux en janvier. Comment, cela reste à voir. -
Ok merci Baggins
-
Idem j'ai fait l'algo. une fois rentré à la maison ! (comme les 3/4 de la compo. je vous rassure).
Je n'ai pas programmé la calcu. (il va falloir que je m'y mette d'ailleurs) mais j'ai tout fait à la main (simplifications des fractions etc...).
Question : sur cette épreuve pouvait-on programmer sa calculatrice et "balancer" les différentes valeurs de sn et tn demandées, sans justification calculatoires écrites ?
Je suppose que oui mais j'aimerai avoir la confirmation d'experts
Merci. B-) -
Je détaille le A 3 4 du problème 2, des $z$ étant rentrés en collision avec des $x$ :
On calcule le coefficient de $x^{p-1-k}$ dans les deux membres de 3.1
À gauche $pa_k$.
À droite celui de $\displaystyle\sum_{j=0}^{p-1} a_j \left( (x+1)^{p-j} - x^{p-j}\right)$.
Or $(x+1)^{p-j} - x^{p-j} = \displaystyle\sum_{m=0}^{p-j-1} \binom{p-j}{m} x^m$.
Le polynôme $(x+1)^{p-j} - x^{p-j}$ est de degré $p-j-1$, donc il ne fournit un terme de degré $p-1-k$ que si $p-j-1 \geqslant p-1-k$ soit $j \leqslant k$. Son coefficient est alors $ \displaystyle\binom{p-j}{p-1-k}$ qu'il reste à multiplier par $a_j$ pour avoir le coefficient de de degré $p-1-k$ dans $ a_j \left( (x+1)^{p-j} - x^{p-j}\right)$.
Donc le coefficient de de degré $p-1-k$ dans $\displaystyle\sum_{j=0}^{p-1} a_j \left( (x+1)^{p-j} - x^{p-j}\right)$ est $\displaystyle\sum_{j=0}^k a_j \binom{p-j}{p-1-k}$ en sommant sur $j$. Or comme indiqué plus haut $j$ varie de $0$ à $k$ .
D'où le résultat après un coup de symétrie des coefficients du binôme.
Est-ce que c'est assez détaillé comme ça ?
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Merci beaucoup pour le développement de la correction.
Mais juste une chose :
Pourquoi doit-on avoir
$p-j-1 \geqslant p-1-k$
afin d'avoir un terme de degré p - 1 - k ?? -
Ben c'est quoi le degré d'un polynôme ?
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
OK j'étais dans le gaz.
Merci ev ! -
Bonjour.
J'essaye de comprendre l'énoncé de l'épreuve 2, problème 2 question B.3.
Que comprenez-vous par : Montrer que la réciproque du théorème de Wilson est vraie.
Quelle distinction faites-vous avec la question 4
On se propose d'étudier ce que devient le théorème de Wilson (qui s'applique - rappelons-le - aux nombres premiers) pour les entiers non premiers.
Des idées ?
amicalement,
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Bonjour,
le 4. donne une information précise sur la valeur de $(n-1)! [n]$
au lieu de se contenter de "différent de -1" ?
Cordialement -
Bonjour,
Peut-être ceci ?
La réciproque c'est :
$(p-1)! \equiv -1 [p] \Rightarrow p$ premier.
Par contraposée, on montre que
si $p=1 \Rightarrow (p-1)! \equiv 0$ (modulo $p=1$)
si $p=4 \Rightarrow (p-1)! \equiv 2$ (modulo $p=4$)
si $p$ composé , $p \neq 4 \Rightarrow (p-1)! \equiv 0$ (modulo $p$)
Vieux souvenirs : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,320294,320554#msg-320554
Amicalement. -
Merci à vous deux.
Je vais reposer ma question autrement:
Quelle différence faites-vous entre la question 3 et 4. Moi je n'en vois pas !
Je dirais que la 3. c'est la 4. en plus mal écrit.
Une autre façon de voir : Comment démontrer 3. sans établir que $(n-1)! \equiv 0 \mod n$ ?
amicalement,
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Supposons $n$ non premier, soit $p$ un diviseur premier de $n$.
Alors $p<n$, par suite $p$ apparaît dans $(n-1)!$ et donc $p / (n-1)!$
or on a également $p / n$ donc $p / -1$. Contradiction ? -
La réciproque du théorème de Wilson est facile à montrer :
Soit $p$ un nombre entier supérieur ou égal à 2 tel que $(p-1)!\equiv -1 [p]$. Il existe donc $k$ entier tel que $(p-1)!+1=kp$. Soit $d$ un diviseur de $p$ différent de $p$, on a alors $1\leq d\leq p-1$ donc $d$ divise $(p-1)!$, et par conséquent $d$ divise $1$. Les seuls diviseurs de $p$ sont $1$ et $p$ donc il est premier. -
Contradiction !
Bien joué Gram !
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Merci Baggins.
N'empèche que si on a fait le 4. on peut en déduire le 3.
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
le 4 indique que pour p non premier on est congru à 0 modulo p, sauf pour 4 où on est congru à 2. Si nous avons l'équivalence et pas simplement une implication, nous pouvons alors conclure que $(p-1)!$ n'est pas congru à 0 modulo p quand p est premier. il reste quand même à montrer que c'est -1.
Amicalement
Volny -
Bonjour à tous :
Le découpage proposé dans l'énoncé est assez étonnant !
Si $n>4$ n'est pas premier, il s'écrit alors $n=ab$ avec $2\leq
a\leq b\leq n-1.$
Si $a<b,$ dans le produit $\left( n-1\right) !$
apparaissent les entiers $a$ et $b,$ donc $n=ab$ divise $\left( n-1\right)
!,$ soit $\left( n-1\right) !\equiv0$ $\operatorname{mod}\left( n\right).$
Si $a=b,$ nécessairement $a\geq3$ puisque $n=a^{2}>4$ et dans
le produit $\left( n-1\right) !$ apparaissent les entiers $a$ et $2a$ (on a
$2\leq a<2a<a^{2}=n$) donc $2a^{2}=2n$ divise $\left( n-1\right) !$ et
$\left( n-1\right) !\equiv0$ $\operatorname{mod}\left( n\right) .$
Les questions \textbf{4.a.} \textbf{4.b.} et \textbf{4.c.} en découlent. -
Bonjour Jean-Etienne.
Bien sûr c'est plus simple et jusqu'à ce jour j'avais toujours procédé comme cela y compris pour montrer la réciproque de la question 3. (la solution de Baggins est toutefois plus élégante à mon sens)
Du coup, avec une rédaction telle de l'énoncé, j'ai peur que ta solution ne ramasse pas tous les points !
À énoncé pourave, barème pourave, non ?
amicalement,
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Pour la partie A et la partie B, c'est bien compliqué dans cet énoncé destiné à des étudiants de M2.
En fait ce " théorème de Lagrange " est une trivialité si on connaît le
théorème de Lagrange sur les groupes (résultat peut être connu d'un étudiant de niveau M1 mathématiques) : si $ G$ est
un groupe multiplicatif fini d'ordre $ n\geq1,$ alors l'ordre de tout
élément de $ G$ divise l'ordre de $ G$ et en conséquence, on a
$ g^{n}=1$ pour tout $ g\in G.$
Si $ p$ est un nombre premier, alors
$ \mathbb{Z}_{p}=\dfrac{\mathbb{Z}}{p\mathbb{Z}}$ est un corps commutatif à
$ p$ éléments et tout élément $ \overline{k}$ du groupe
multiplicatif $ \mathbb{Z}_{p}^{\ast}$ est racine du polynôme
$ X^{p-1}-\overline{1},$ donc $ X^{p-1}-\overline{1}=\prod\limits_{k=1}\newline ^{p-1}\left( X-\overline{k}\right) $ dans $ \mathbb{Z}_{p}\left[ X\right]\newline .$ Il en résulte que $ \left( -X\right) ^{p-1}-\overline{1}\newline =\prod\limits_{k=1}^{p-1}\left( -X-\overline{k}\right) ,$ soit
$ X^{p-1}-\overline{1}=\prod\limits_{k=1}^{p-1}\left( X+\overline{k}\right)\newline =\overline{f}\left( X\right) $ pour $ p$ impair. Il en résulte que
$ \overline{a_{k}}=\overline{0}$ pour $ k$ compris entre $ 1$ et $ p-2$ et
$ \overline{a_{0}}=-\overline{1},$ ce qui nous dit que $ a_{k}$ est divisible
par $ p$ pour $ k$ compris entre $ 1$ et $ p-2$ et que $ a_{0}=\left( p-1\right)\newline !$ est congru à $ -1$ modulo $ p$ (théorème de
Wilson).
Mais pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué.
pcc Rombaldi [les \% ne passent pas sur le phôrüm] [Merci à ev pour sa correction, je n'avais pas trouvé cette faille. Bruno] -
Merci EV et Bruno. Trois Rombaldi c'est trop
-
Sans le théorème de Lagrange (qui est de toutes façons une trivialité dans le cas commutatif), on a
$(X+1)f(X+1) = f(X)(X+p)$ donc $f(\overline1) = \overline0$ etc.
On retrouve ensuite ton égalité dans $ \mathbb{Z}_{p}\left[ X\right]$. On est alors dans l'adhérence du programme de MP donc d'écrit de capes.
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Bonjour
Quelqu'un a t il rédigé un corrigé de l'épreuve 2 problème 1?
Je me demande si pour aller plus vite on peut utiliser des théorèmes connus (style théorème du rang ) ou si il fallait tout re-démontrer "à la main".
De même pour la question D 4 2 . Au départ je m'étais dit ok rayon spectral, norme matricielle etc... on a le résultat direct, mais je n'ai pas l'impression que c'est ce qui était attendu . -
Bonjour,
Est-ce qu'un corrigé complet de cette épreuve est disponible quelque part ?
Merci ! -
-
Merci beaucoup !
Je recherche aussi un corrigé de la partie 1 avec les matrices.
PS : Pourquoi est-ce que le ministère ne fournit pas de corrigés officiels des épreuves écrites d'ailleurs ? Les correcteurs doivent bien avoir les sujets corrigés de référence non ? -
Je reviens sur la correction de la partie A du problème n°2 d'Arithmétique, pour la démonstration du théorème de Lagrange.
La récurrence s'effectue sur quel entier ? Je suis un peu perdu ...
Merci de votre aide. -
Bonjour,
je ne vois pas d'équivoque.
A ton avis, sur quel entier ?
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Bonjour!
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