Agreg Interne 2009 — Ép. 1 — Qu. I 7
Bonjour.
Je travaille sur la première épreuve de l'agrégation interne 2009. En pièce jointe, je mets le sujet de l'épreuve et le corrigé que j'ai trouvé sur le site « prepas.org ».
I.7, il est demandé : « Proposer une méthode pour calculer cette limite. » Pour répondre à cette partie de la question et après avoir parlé de matrice de projection, le corrigé signale seulement : « On a vu dans l'exemple précédent comment on peut obtenir facilement cette matrice. » Le corrigé que l'on peut trouver dans la RMS procède de façon semblable.
À mes yeux, une telle réponse s'apparente beaucoup à un argument du style « De la même façon qu'à la question... » et me semble trop légère.
Votre avis ?
Je travaille sur la première épreuve de l'agrégation interne 2009. En pièce jointe, je mets le sujet de l'épreuve et le corrigé que j'ai trouvé sur le site « prepas.org ».
I.7, il est demandé : « Proposer une méthode pour calculer cette limite. » Pour répondre à cette partie de la question et après avoir parlé de matrice de projection, le corrigé signale seulement : « On a vu dans l'exemple précédent comment on peut obtenir facilement cette matrice. » Le corrigé que l'on peut trouver dans la RMS procède de façon semblable.
À mes yeux, une telle réponse s'apparente beaucoup à un argument du style « De la même façon qu'à la question... » et me semble trop légère.
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Réponses
Par conséquent, la réponse est donnée dans le pdf que tu proposes à la réponse I.6... et elle est très détaillée, me semble-t-il, fournissant dans chaque cas un critère permettant de déterminer la limite.
La réponse pourrait donc être : "On calcule les valeurs propres et on en déduit la limite."
J'avais bien vu le problème de numérotation mais je ne trouve pas que la réponse soit si détaillée que ça. Dans le corrigé, il est écrit : « Ainsi $A_{0}$ représente la projection sur $\ker( A - I )$ parallèlement à $\ker( A - λ 2 I )$. Le calcul peut se fait à partir de $w$ et $h$ ($V$ étant la matrice de colonnes $w$ et $h$). ». Je ne trouve pas que la méthode soit si bien explicitée : « Le calcul peut se fait à partir de $w$ et $h$ ».
De plus, je vois dans la fiche de ton profil que tu es de la région lyonnaise et je crois bien que nous nous sommes déjà rencontrés par le passé. Si tu me dis que tu as été taupin aux Lazos à Lyon, je n'aurais plus aucun doute.
(Tu peux me le dire par MP si ça te dérange de le révéler en public).
Je reviens faire un tour toujours sur la même question (cf. un de mes anciens messages). Je remets l'énoncé et les deux corrections de la première épreuve de l'agrégation interne 2009.
I.7 qui m'ennuie toujours un peu. En ce qui me concerne, je préfère le corrigé 2 que je trouve plus détaillé.
Je me demande si le texte suivant constitue une réponse satisfaisante à la question « Proposer une méthode pour calculer cette limite ».
Ce qui me gêne un peu car j'ai l'impression de ne rien apporter de plus qu'à la cinquième ligne de la réponse, j'ai l'impression de faire de la paraphrase.
Le même corrigé évoque la possibilité de déterminer la matrice d'une projection mais sans dire comment calculer ladite matrice. Ceci est-il suffisant ? Ne serait-il pas bon d'en dire un peu plus sur la « méthode » à mettre en œuvre pour calculer cette matrice de projection ?
Merci d'avance de vos contributions.
LP
[Pourquoi ne pas rester dans la discussion initiale ? Ainsi, les intervenants sauront ce qui t'a été déjà répondu. AD]
Tombant sur ce post par hasard je regarde le corrigé et je me rends compte que je ne connais pas la technique sur les colonnes. C'est à dire, pourquoi le fait d'additionner les colonnes permet de trouver une valeur propre? Merci
Si tu parles de la correction dans le I.1. c'est justifié explicitement.
On remarque que la somme de deux colonnes donne le vecteur $w$.
Et "l'astuce" est de dire qu'ajouter ces deux colonnes, c'est la même chose que multiplier la matrice par le vecteur $w$.
Cela est courant pour les matrices stochastiques.
Je ne sais pas si ça se généralise.
Si cela ne fonctionne que pour les matrices stochastiques il faut connaitre alors l'astuce car en essayant avec le polynôme caractéristique c'est pas gagné il est difficile à factoriser.
merci
ce que disent Dom et Balix est la chose suivante (sauf mécompréhension de ma part) :
si dans une matrice $M$, la somme de chaque ligne vaut un même nombre $a$, alors on a $M \times v = a.v$ où $v$ est le vecteur dont toutes les coordonnées valent $1$.
$v$ est donc un vecteur propre de $M$ associé à la valeur propre $a$.
Pour une matrice stochastique, $a=1$ mais c'est vrai pour toute valeur $a$.
m.
Oui, c'est exactement ce qu'a dit @michael.
Je n'ai jamais "senti" l'algèbre. La première fois que l'on m'a exposé cela j'ai dû avoir l'air ahuri, certainement.
Je n'avais pas compris, à l'époque, le sens de ces histoires de vecteur colonne, "dans la base canonique" et tout le tralala.
Une fois intégré, ce n'est qu'une évidence. Une paraphrase. Une manière d'écrire une chose simple. Sans profondeur.
C'est de « l'algèbre », dans le sens « écriture littérale », le sens du secondaire.
Les questions préliminaires d'un jury "sympa" lorsque le candidat est noyé sont de cet acabit : quelle est l'image par cet endomorphisme (assimilé à ladite matrice) du vecteur $e_1$ de la base canonique ? Et ce jury attend qu'on lui sorte d'une manière ou d'une autre, mais en moins de deux secondes, le premier vecteur colonne de la matrice.
Reprenons pour ne pas partir dans tous les sens :
1) rappelons la définition de ce qu'est un vecteur propre associé à une valeur propre.
2) remarquons que "ajouter les colonnes d'une matrice" revient à "multiplier la matrice par le vecteur colonne (1,1,1,..,1)
3) remarquons que dans ce cas précis, cela donne un vecteur colonne avec le même nombre partout.
4) traduire le "2)" et le "3)" et relier cette égalité au "1)".
@geo
Essaye de suivre ces étapes, un peu scolaires, je m'en excuse.
Il faut retirer les œillères, sortir la tête du guidon, et je ne t'y encourage pas avec mes directives.
Mais je crois qu'après, quand tu constateras ce que je raconte, tu reviendras en disant "ha oui ok, c'est bidon".