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Les défis mathématiques du Monde, épisode 2

Envoyé par AitJoseph 
Les défis mathématiques du Monde, épisode 2
il y a six années
Bonjour

Voici le défi N°2 Cube tranché
[www.lemonde.fr]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par AD.
Il est chouette en plus :)
Re: Les défis mathématiques du Monde, épisode 1
il y a six années
avatar
Ça y est j'ai fini.
Re: Les défis mathématiques du Monde, épisode 1
il y a six années
avatar
C'est en effet instantané et à la portée de tous , il suffit de voir l'astuce .

Au vu des deux premiers numéros on ne peut qu'applaudir cette initiative thumbs down

Domi
Re: Les défis mathématiques du Monde, épisode 2
il y a six années
Instantané, oui et non,il m a bien fallu 1/4h pour voir pourquoi ce n'est pas possible, et le démontrer

When you talk you're only repeating what you already know.But if you listen you may learn something new. (dalaï lama)
Re: Les défis mathématiques du Monde, épisode 2
il y a six années
avatar
C'est bien pour ça que j'ai précisé qu'il suffisait de voir l'astuce :D

Domi

PS : je n'ai pas dévoilé le résultat pour que l'exercice garde son charme .



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par Domi.
bs
Re: Les défis mathématiques du Monde, épisode 2
il y a six années
avatar
Coucou,

Prolongations :

Et peut-on obtenir un hexagone régulier ?

Et comment couper le cube pour obtenir une section d'aire maximale ?

Bonne nuit.
Re: Les défis mathématiques du Monde, épisode 2
il y a six années
avatar
Pour le pentagone, si je ne me trompe, la clé c'est le parallélisme ...
On peut obtenir un hexagone régulier.
Ceci s'interprète en termes de groupes.
On le voit même dans la structure de je ne sais plus quelle molécule ou cristal, où les atomes d'un des composants forment de tels hexagones dans un cube formé par les atomes d'un autre. Peut-être l'eau ? Je n'ai pas de souvenirs plus précis.
Bonne journée.
RC
Re: Les défis mathématiques du Monde, épisode 2
il y a six années

Et peut-on obtenir un hexagone régulier ? 

Et comment couper le cube pour obtenir une section d'aire maximale ?

Bonjour

Nihil novi sub sole


http://www.mathkang.org/pdf/THGEOM20.PDF
bs
Re: Les défis mathématiques du Monde, épisode 2
il y a six années
avatar
Bonjour,

Oui une section en forme d'hexagone régulier peut être obtenue, comme l'a démontré le philosophe Henri Bergson (Prix Nobel de littérature en 1927) lorsqu'il remporta le premier prix du concours général de mathématiques en 1876, c'est le lien proposé par diego, merci diego.

Pour l'interprétation moléculaire de Raymond, je ne sais pas ou je ne sais plus.

Par contre, à la question "Et comment couper le cube pour obtenir une section d'aire maximale", ce n'est pas avec l'hexagone régulier que cette section est d'aire maximale.

Amicalement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par bs.
AD
Re: Les défis mathématiques du Monde, épisode 2
il y a six années
avatar
Bonjour
Pour peut-être bien le voir ?
[attachment 27950 hexa_sectionCube.png]
Le plan coupe les arêtes au milieu de celles-ci.
Alain


Re: Les défis mathématiques du Monde, épisode 2
il y a six années
Bonjour

Je n'arrive pas à bien voir, mais c'est incroyable et pourtant c'est vrai!

Merci AD;)
J'ai essayé de rédiger en n'utilisant que des arguments simples.
Spoiler :

Les côtés du polygone de coupe résultent de l'intersection du plan avec les différentes faces.
Or l'intersection d'un plan avec une réunion de deux plans strictement parallèles donne une réunion de deux droites strictement parallèles.
Donc deux côtés du polygone de coupe résultant de l'intersection du plan avec deux faces opposées sont parallèles.
Par ailleurs, dans tout choix de cinq faces du cube, il y a exactement deux paires de faces opposées.
Ainsi si le polygone de coupe est un pentagone, il possède deux paires de côtés parallèles, c'est donc un parallélogramme tronqué en un sommet.
En particulier il possède deux angles consécutifs supplémentaires, alors que dans un pentagone régulier, tous les angles sont obtus.
@lalaloi : C'est bien, mais tu peux t'arrêter à « un pentagone régulier n'a pas deux côtés parallèles ».
Re: Les défis mathématiques du Monde, épisode 2
il y a six années
Bonsoir

A mon avis il ne fallait pas brûler l'exercice,pour laisser les autres chercher.

Bonne nuit
J'ai bien précisé spoiler, et j'avais écrit la partie solution en plus petit pour que seuls ceux qui voulaient vraiment la lire le fassent, mais mon texte a été remis à la taille normale.

Siméon je suis tout à fait d'accord, cela suffisait, mais je trouvais plus élégant de décrire la forme exacte d'une coupe pentagonale que de simplement dire 'il y a deux côtés parallèles", et une fois la description faite, autant donner cet argument simple sur les angles.
Je pense que visuellement les propositions "un pentagone régulier n'a que des angles obtus" et "un pentagone régulier ne possède pas deux côtés parallèles" sont aussi claires l'une que l'autre, mais si on rentre dans le détail et qu'on souhaite les démontrer, la première serait plus immédiate.

Et pour me prémunir d'une autre critique : quand j'écris "Or l'intersection d'un plan avec une réunion de deux plans strictement parallèles donne une réunion de deux droites strictement parallèles." je sous-entends que le premier plan intersecte effectivement les deux autres, je ne traite pas le cas où les trois plans sont parallèles.
bs
Re: Les défis mathématiques du Monde, épisode 2
il y a six années
avatar
Bonsoir,

Merci Alain pour le joli dessin permettant de deviner l'hexagone régulier.

Reste cette question : comment couper le cube pour obtenir une section plane d'aire maximale :S

Amicalement.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par bs.
Re: Les défis mathématiques du Monde, épisode 2
il y a six années
Bonjour

@bs
coupe maximale
Les seules coupes possibles sont:

Triangle
carré
Pentagone ?!
Hexagone

?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par AitJoseph.
bs
Re: Les défis mathématiques du Monde, épisode 2
il y a six années
avatar
Bonjour Joseph,

Ben non ;)

Amicalement.
Re: Les défis mathématiques du Monde, épisode 2
il y a six années
@bs

Tu as un exemple qui sort de cette classification? en MP éventuellement,la géométrie n'est pas mon domaine,je reconnais qu'elle est puissante.

Merci d'avance
Re: Les défis mathématiques du Monde, épisode 2
il y a six années
Bonjour

Je suppose bien sûr que la section plane est régulière!
Re: Les défis mathématiques du Monde, épisode 2
il y a six années
avatar
J'ai retrouvé ma référence chimique, il s'agit des cristaux de chlorure de sodium, qui sont cubiques, les atomes de chlore étant situés au milieu des arêtes, et formant donc des hexagones réguliers, sauf erreur, car je n'y connais vraiment rien, c'est une réminiscence du temps lointain où j'étais étudiant...
Bonne journée.
RC
J'ai testé un certain nombre de sections régulières, et le rectangle ayant pour longueurs les diagonales de faces opposées semble le candidat le plus sérieux. avec son aire de $\sqrt{2}$ (en supposant le cube de côté 1).
En tout cas toute section en forme de triangle, carré, losange, et hexagone a une aire plus petite.
Je vérifierai les parallélogrammes quelconques et les pentagones quand j'aurai le temps.
Je voulais dire "J'ai testé un certain nombre de sections possédant des symétries".

Si on se restreint aux section régulières a proprement parler, la section d'aire maximale est l'hexagone précédemment décrit, avec son aire de $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$.
Re: Les défis mathématiques du Monde, épisode 2
il y a six années
bonjour

A cette adresse

www.crdp.ac-grenoble.fr

il y a un applet java qui permet de construire la section d'un cube par un plan à partir de 3 points situés sur les arêtes
bs
Re: Les défis mathématiques du Monde, épisode 2
il y a six années
avatar
Bonjour,

thumbs down lalalo thumbs down


C'est effectivement avec le rectangle $a \times a \sqrt{2}$ que la section est d'aire maximale. Peut-être un beau dessin ?

Il existe une preuve dans AMM, Vol.63 [1956], p.578 ...que je ne possède pas.

Référence : Martin Gardner - The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions - Chapitre 12 - Flatlands.

Amicalement.
Re: Les défis mathématiques du Monde, épisode 2
il y a six années
avatar
Lorsqu'un défi est lancé sur un site, il est d'usage de ne pas en donner la réponse sur un autre site ! C'est par ailleurs une simple question de correction et de bon sens.
Re: Les défis mathématiques du Monde, épisode 2
il y a six années
@Archimède


Toi lorsque que tu as découvert la poussée causée par l'eau et portant ton nom maintenant,tu n'as attendu personne,tu es sorti nu en courant:J'ai trouvé,j'ai trouvé....il y'a longtemps....;)
On n'a rien dit ...
Re: Les défis mathématiques du Monde, épisode 2
il y a six années
bs écrivait:
-------------------------------------------------------
>
> Il existe une preuve dans AMM, Vol.63 [1956],
> p.578 ...que je ne possède pas.
>


Article joint.
[attachment 27987 bs_8_04_2013.pdf]
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - bs_8_04_2013.pdf (300.7 KB)
Je suis assez fier, je viens de faire le problème E1235 du lien donné par Aleg en 5 minutes (ça valait une petite séance d'auto-congratulation).
Mais ai-je la bonne réponse ?
bs
Re: Les défis mathématiques du Monde, épisode 2
il y a six années
avatar
Bonsoir,

Merci Aleg pour l'article de l'AMM.

Amicalement.
On trouve une remarque intéressante dans ce lien de la MMS : une coupe d'aire maximale d'un polyèdre convexe qui possède un centre de symétrie passe nécessairement par ce centre. Cet argument permet de bien déblayer le terrain.

Allez question bonus pour la forme : quelle est l'aire apparente maximale du cube unité? (pas trop difficile)
Re: Les défis mathématiques du Monde, épisode 2
il y a six années
avatar
La question de l'aire apparente maximum d'un cube, autrement dit de l'aire maximum de sa projection sur un plan, a été posée au Concours général en 1997. C'est l'aire de l'hexagone régulier obtenu en prenant le plan perpendiculaire à une diagonale du cube, comme l'on pouvait s'en douter. J'ai rédigé une solution qui utilise le produit vectoriel. Voir "Tangente" n° 57, mai-juin 1997.
Bonne journée.
RC
Re: Les défis mathématiques du Monde, épisode 2
il y a six années
> C'est effectivement avec le rectangle $a \times a
> \sqrt{2}$ que la section est d'aire maximale.

> Amicalement.

Bonjour,

Merci pour la référence. Je voudrais mentionner que ce problème se généralise à la dimension supérieure : si $B_{\infty}^n$ désigne le cube de dimension $n$, on cherche l'hyperplan $v^\perp, \, v \in \mathbb{S}^{n-1}$ tel que $B_{\infty}^n \cap v^\perp$ soit de mesure n-1 dimensionnelle maximale.

La réponse a été donnée par Keith Ball*, et c'est l'hyperplan dont un vecteur normal est $v=(1/ \sqrt {2}, 1/ \sqrt {2}, 0, \ldots, 0)$ (peut être est-ce contre-intuitif ?). Cela recouvre en particulier le cas de la dimension 3.

La preuve est fort jolie, repose sur l'expression de la transformée de Fourier de la fonction $ t \mapsto \lambda_{n-1} (B_{\infty}^n \cap v^\perp + tv),$ (dont on cherche à maximiser la valeur en zéro), avec $\lambda_{n-1}$ la mesure de Lebesgue n-1 dimensionnelle.
Cela utlisie entre autre une inégalité mutli-Hölder ainsi que la majoration franchement non triviale (il lui faut 4 pages de calculs assez lourd) suivante :
Si $p \geq 2,$
$$ \frac{1}{\pi} \int_{\R} \big| \frac{sin x}{x} \big|^p dx \leq \sqrt{\frac{2}{p}},$$
avec égalité si et seulement si $p=2.$

* Keith Ball, Cube Slicing in $\R^n$, (1986)
bs
Re: Les défis mathématiques du Monde, épisode 2
il y a six années
avatar
Bonjour,

Merci SchumiSutil pour cette généralisation qui fonctionne également en dimension 2 avec la diagonale du carré.

Amicalement.
Les défis Mathématiques du monde,Réponse N°2
il y a six années
Bonsoir


La solution au défi 2: Cube tranché


[www.lemonde.fr]


Bonne nuit
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