Les défis mathématiques du Monde, épisode 2

Il est chouette en plus

C'est en effet instantané et à la portée de tous , il suffit de voir l'astuce .

Au vu des deux premiers numéros on ne peut qu'applaudir cette initiative (tu)

Domi

C'est bien pour ça que j'ai précisé qu'il suffisait de voir l'astuce

Domi

PS : je n'ai pas dévoilé le résultat pour que l'exercice garde son charme .

Pour le pentagone, si je ne me trompe, la clé c'est le parallélisme ...
On peut obtenir un hexagone régulier.
Ceci s'interprète en termes de groupes.
On le voit même dans la structure de je ne sais plus quelle molécule ou cristal, où les atomes d'un des composants forment de tels hexagones dans un cube formé par les atomes d'un autre. Peut-être l'eau ? Je n'ai pas de souvenirs plus précis.
Bonne journée.
RC

Bonjour,

Oui une section en forme d'hexagone régulier peut être obtenue, comme l'a démontré le philosophe Henri Bergson (Prix Nobel de littérature en 1927) lorsqu'il remporta le premier prix du concours général de mathématiques en 1876, c'est le lien proposé par diego, merci diego.

Pour l'interprétation moléculaire de Raymond, je ne sais pas ou je ne sais plus.

Par contre, à la question "Et comment couper le cube pour obtenir une section d'aire maximale", ce n'est pas avec l'hexagone régulier que cette section est d'aire maximale.

Amicalement.

@lalaloi : C'est bien, mais tu peux t'arrêter à « un pentagone régulier n'a pas deux côtés parallèles ».

J'ai bien précisé spoiler, et j'avais écrit la partie solution en plus petit pour que seuls ceux qui voulaient vraiment la lire le fassent, mais mon texte a été remis à la taille normale.

Siméon je suis tout à fait d'accord, cela suffisait, mais je trouvais plus élégant de décrire la forme exacte d'une coupe pentagonale que de simplement dire 'il y a deux côtés parallèles", et une fois la description faite, autant donner cet argument simple sur les angles.
Je pense que visuellement les propositions "un pentagone régulier n'a que des angles obtus" et "un pentagone régulier ne possède pas deux côtés parallèles" sont aussi claires l'une que l'autre, mais si on rentre dans le détail et qu'on souhaite les démontrer, la première serait plus immédiate.

Et pour me prémunir d'une autre critique : quand j'écris "Or l'intersection d'un plan avec une réunion de deux plans strictement parallèles donne une réunion de deux droites strictement parallèles." je sous-entends que le premier plan intersecte effectivement les deux autres, je ne traite pas le cas où les trois plans sont parallèles.

J'ai retrouvé ma référence chimique, il s'agit des cristaux de chlorure de sodium, qui sont cubiques, les atomes de chlore étant situés au milieu des arêtes, et formant donc des hexagones réguliers, sauf erreur, car je n'y connais vraiment rien, c'est une réminiscence du temps lointain où j'étais étudiant...
Bonne journée.
RC

Je voulais dire "J'ai testé un certain nombre de sections possédant des symétries".

Si on se restreint aux section régulières a proprement parler, la section d'aire maximale est l'hexagone précédemment décrit, avec son aire de $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$.

Bonjour,

C'est effectivement avec le rectangle $a \times a \sqrt{2}$ que la section est d'aire maximale. Peut-être un beau dessin ?

Il existe une preuve dans AMM, Vol.63 [1956], p.578 ...que je ne possède pas.

Référence : Martin Gardner - The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions - Chapitre 12 - Flatlands.

Amicalement.

Je suis assez fier, je viens de faire le problème E1235 du lien donné par Aleg en 5 minutes (ça valait une petite séance d'auto-congratulation).
Mais ai-je la bonne réponse ?

On trouve une remarque intéressante dans ce lien de la MMS : une coupe d'aire maximale d'un polyèdre convexe qui possède un centre de symétrie passe nécessairement par ce centre. Cet argument permet de bien déblayer le terrain.

Allez question bonus pour la forme : quelle est l'aire apparente maximale du cube unité? (pas trop difficile)

> C'est effectivement avec le rectangle $a \times a
> \sqrt{2}$ que la section est d'aire maximale.

> Amicalement.

Bonjour,

Merci pour la référence. Je voudrais mentionner que ce problème se généralise à la dimension supérieure : si $B_{\infty}^n$ désigne le cube de dimension $n$, on cherche l'hyperplan $v^\perp, \, v \in \mathbb{S}^{n-1}$ tel que $B_{\infty}^n \cap v^\perp$ soit de mesure n-1 dimensionnelle maximale.

La réponse a été donnée par Keith Ball*, et c'est l'hyperplan dont un vecteur normal est $v=(1/ \sqrt {2}, 1/ \sqrt {2}, 0, \ldots, 0)$ (peut être est-ce contre-intuitif ?). Cela recouvre en particulier le cas de la dimension 3.

La preuve est fort jolie, repose sur l'expression de la transformée de Fourier de la fonction $ t \mapsto \lambda_{n-1} (B_{\infty}^n \cap v^\perp + tv),$ (dont on cherche à maximiser la valeur en zéro), avec $\lambda_{n-1}$ la mesure de Lebesgue n-1 dimensionnelle.
Cela utlisie entre autre une inégalité mutli-Hölder ainsi que la majoration franchement non triviale (il lui faut 4 pages de calculs assez lourd) suivante :
Si $p \geq 2,$
$$ \frac{1}{\pi} \int_{\R} \big| \frac{sin x}{x} \big|^p dx \leq \sqrt{\frac{2}{p}},$$
avec égalité si et seulement si $p=2.$

* Keith Ball, Cube Slicing in $\R^n$, (1986)