Les défis mathématiques du Monde, épisode 2
Bonjour
Voici le défi N°2 Cube tranché
http://www.lemonde.fr/sciences/video/2013/04/05/les-defis-mathematiques-du-monde-episode-2-le-cube-tranche_3154892_1650684.html
Voici le défi N°2 Cube tranché
http://www.lemonde.fr/sciences/video/2013/04/05/les-defis-mathematiques-du-monde-episode-2-le-cube-tranche_3154892_1650684.html
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Réponses
Au vu des deux premiers numéros on ne peut qu'applaudir cette initiative (tu)
Domi
Domi
PS : je n'ai pas dévoilé le résultat pour que l'exercice garde son charme .
Prolongations :
Et peut-on obtenir un hexagone régulier ?
Et comment couper le cube pour obtenir une section d'aire maximale ?
Bonne nuit.
On peut obtenir un hexagone régulier.
Ceci s'interprète en termes de groupes.
On le voit même dans la structure de je ne sais plus quelle molécule ou cristal, où les atomes d'un des composants forment de tels hexagones dans un cube formé par les atomes d'un autre. Peut-être l'eau ? Je n'ai pas de souvenirs plus précis.
Bonne journée.
RC
Bonjour
Nihil novi sub sole
http://www.mathkang.org/pdf/THGEOM20.PDF
Oui une section en forme d'hexagone régulier peut être obtenue, comme l'a démontré le philosophe Henri Bergson (Prix Nobel de littérature en 1927) lorsqu'il remporta le premier prix du concours général de mathématiques en 1876, c'est le lien proposé par diego, merci diego.
Pour l'interprétation moléculaire de Raymond, je ne sais pas ou je ne sais plus.
Par contre, à la question "Et comment couper le cube pour obtenir une section d'aire maximale", ce n'est pas avec l'hexagone régulier que cette section est d'aire maximale.
Amicalement.
Pour peut-être bien le voir ?
Je n'arrive pas à bien voir, mais c'est incroyable et pourtant c'est vrai!
Merci AD;)
Spoiler :
Les côtés du polygone de coupe résultent de l'intersection du plan avec les différentes faces.
Or l'intersection d'un plan avec une réunion de deux plans strictement parallèles donne une réunion de deux droites strictement parallèles.
Donc deux côtés du polygone de coupe résultant de l'intersection du plan avec deux faces opposées sont parallèles.
Par ailleurs, dans tout choix de cinq faces du cube, il y a exactement deux paires de faces opposées.
Ainsi si le polygone de coupe est un pentagone, il possède deux paires de côtés parallèles, c'est donc un parallélogramme tronqué en un sommet.
En particulier il possède deux angles consécutifs supplémentaires, alors que dans un pentagone régulier, tous les angles sont obtus.
A mon avis il ne fallait pas brûler l'exercice,pour laisser les autres chercher.
Bonne nuit
Siméon je suis tout à fait d'accord, cela suffisait, mais je trouvais plus élégant de décrire la forme exacte d'une coupe pentagonale que de simplement dire 'il y a deux côtés parallèles", et une fois la description faite, autant donner cet argument simple sur les angles.
Je pense que visuellement les propositions "un pentagone régulier n'a que des angles obtus" et "un pentagone régulier ne possède pas deux côtés parallèles" sont aussi claires l'une que l'autre, mais si on rentre dans le détail et qu'on souhaite les démontrer, la première serait plus immédiate.
Et pour me prémunir d'une autre critique : quand j'écris "Or l'intersection d'un plan avec une réunion de deux plans strictement parallèles donne une réunion de deux droites strictement parallèles." je sous-entends que le premier plan intersecte effectivement les deux autres, je ne traite pas le cas où les trois plans sont parallèles.
Merci Alain pour le joli dessin permettant de deviner l'hexagone régulier.
Reste cette question : comment couper le cube pour obtenir une section plane d'aire maximale :S
Amicalement.
@bs
coupe maximale
Les seules coupes possibles sont:
Triangle
carré
Pentagone ?!
Hexagone
?
Ben non
Amicalement.
Tu as un exemple qui sort de cette classification? en MP éventuellement,la géométrie n'est pas mon domaine,je reconnais qu'elle est puissante.
Merci d'avance
Je suppose bien sûr que la section plane est régulière!
Bonne journée.
RC
En tout cas toute section en forme de triangle, carré, losange, et hexagone a une aire plus petite.
Je vérifierai les parallélogrammes quelconques et les pentagones quand j'aurai le temps.
Si on se restreint aux section régulières a proprement parler, la section d'aire maximale est l'hexagone précédemment décrit, avec son aire de $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$.
A cette adresse
www.crdp.ac-grenoble.fr
il y a un applet java qui permet de construire la section d'un cube par un plan à partir de 3 points situés sur les arêtes
C'est effectivement avec le rectangle $a \times a \sqrt{2}$ que la section est d'aire maximale. Peut-être un beau dessin ?
Il existe une preuve dans AMM, Vol.63 [1956], p.578 ...que je ne possède pas.
Référence : Martin Gardner - The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions - Chapitre 12 - Flatlands.
Amicalement.
Toi lorsque que tu as découvert la poussée causée par l'eau et portant ton nom maintenant,tu n'as attendu personne,tu es sorti nu en courant:J'ai trouvé,j'ai trouvé....il y'a longtemps....;)
On n'a rien dit ...
>
> Il existe une preuve dans AMM, Vol.63 [1956],
> p.578 ...que je ne possède pas.
>
Article joint.
Mais ai-je la bonne réponse ?
Merci Aleg pour l'article de l'AMM.
Amicalement.
Allez question bonus pour la forme : quelle est l'aire apparente maximale du cube unité? (pas trop difficile)
Bonne journée.
RC
> \sqrt{2}$ que la section est d'aire maximale.
> Amicalement.
Bonjour,
Merci pour la référence. Je voudrais mentionner que ce problème se généralise à la dimension supérieure : si $B_{\infty}^n$ désigne le cube de dimension $n$, on cherche l'hyperplan $v^\perp, \, v \in \mathbb{S}^{n-1}$ tel que $B_{\infty}^n \cap v^\perp$ soit de mesure n-1 dimensionnelle maximale.
La réponse a été donnée par Keith Ball*, et c'est l'hyperplan dont un vecteur normal est $v=(1/ \sqrt {2}, 1/ \sqrt {2}, 0, \ldots, 0)$ (peut être est-ce contre-intuitif ?). Cela recouvre en particulier le cas de la dimension 3.
La preuve est fort jolie, repose sur l'expression de la transformée de Fourier de la fonction $ t \mapsto \lambda_{n-1} (B_{\infty}^n \cap v^\perp + tv),$ (dont on cherche à maximiser la valeur en zéro), avec $\lambda_{n-1}$ la mesure de Lebesgue n-1 dimensionnelle.
Cela utlisie entre autre une inégalité mutli-Hölder ainsi que la majoration franchement non triviale (il lui faut 4 pages de calculs assez lourd) suivante :
Si $p \geq 2,$
$$ \frac{1}{\pi} \int_{\R} \big| \frac{sin x}{x} \big|^p dx \leq \sqrt{\frac{2}{p}},$$
avec égalité si et seulement si $p=2.$
* Keith Ball, Cube Slicing in $\R^n$, (1986)
Merci SchumiSutil pour cette généralisation qui fonctionne également en dimension 2 avec la diagonale du carré.
Amicalement.
La solution au défi 2: Cube tranché
http://www.lemonde.fr/sciences/video/2013/04/19/les-defis-mathematiques-du-monde-reponse-de-l-episode-2-le-cube-tranche_3163253_1650684.html
Bonne nuit