Enigme: nombre de cheveux.

Mathieu
Mathieu
dans Fondements et Logique
Bonjour,

Voila une petite énigme sur laquelle je bloque et dont je n' ai pas trouvé de correction. Pouvez vous m' aider?

Paris compte deux millions d'habitants. Un être humain a, au plus, 600 000 cheveux sur la tête. Au vu de ces données (et sachant cela seulement), combien de Parisiens peut-on trouver qui ont exactement le même nombre de cheveux sur la tête ?

Réponses

  • Hoeg
    Hoeg
    C'est une application du principe des tiroirs non ?
    On considère 600 001 tiroirs (un tiroir pour les parisiens ayant 0 cheveu, un tiroir pour ceux ayant un cheveu,...un tiroir pour ceux ayant 600 000 cheveux). Le principe des tiroirs dit alors qu'on a au moins un tiroir ayant 2 000 000 / 600 001 éléments i.e. au moins 4 parisiens ont le nombre de cheveux sur la tete...je pense pas qu'on puisse faire plus fin que ça ?
  • bs1
    bs1
    Qu'en pense racinedecheveu?
    merci
  • Aleg
    Aleg
    bonjour Mathieu,
    <BR>ton problème est une utilisation classique et bien connue du principe des tiroirs, et Hoeg en a donné la bonne solution.
    <BR>Je te recommande, à ce sujet, la lecture du petit document suivant trouvé sur le site de Xavier Caruso.<BR>
  • bs1
    bs1
    bonjour
    l'une des plus surprenantes utilisations du pincipe des tiroirs est pour la démonstration d' un théorème de Dirichlet qui dit que: pour tout nombre irrationnel, il existe de bonnes approximations diophantiennes.( Duverney p5).
  • ternaire
    ternaire
    Au vu de ton problème la réponse est imédiate : 2 millions .

    Si la question était : combien est-t-on sur de trouver, ca serait d'après le principe des tiroirs la partie entière supérieure de 20/6 :
    Es(20/6)=Es(1/3+3)=4
  • deufeufeu
    deufeufeu
    Ternaire tu interprètes le "peut-on" d'une manière proche de Pierre Dac... Pouvez-vous démontrer l'hypothèse de Riemmann ? Oui je le peux !
  • Eric Lafosse1
    Eric Lafosse1
    Elle avait de tous petits "peut-on"....
  • Pilz
    Pilz
    Quelques petits problèmes utilisant le principe des tiroirs de manière plus où moins subtile :

    1) On dispose d' un carré de coté $1$, on place des points à l' intérieur du carré mais on veut que chaque point que l' on place soit à une distance d' au moins $\frac{3}{4}$ des précédents.
    Combien de points peut- on placer au maximum?

    2) Montrer que parmi les nombres $7$,$77$,$777$,...$777...777$ , il y en a au moins 1 divisible par $61$ ?

    Il y a pleins d' autres exemples rigolos dans proof from the book!
  • Aleg
    Aleg
    bonsoir Pilz,
    en voici une autre application (que je crois classique) en analyse élémentaire : montrer que parmi 7 réels quelconques, il en existe au moins deux, disons $x$ et $y$, tels que
    $$0\leq \frac{x-y}{1+xy}\leq \frac{1}{\sqrt{3}}$$
  • Pilz
    Pilz
    Oui je connais celui aussi , moi je le posai avec 13 réels et le majorant qui valait $2-\sqrt{3}$ !
  • Eric
    Eric
    Autre utilisation du principe de Dirichlet, une démonstration du théorème de Bézout <http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=97513&t=97513&gt;
  • Aleg
    Aleg
    oui, mais en plus, dans ta version, il faut savoir résoudre une équation du second degré pour calculer $\tan \frac{\pi }{12} $ : dur... :-))
  • ternaire
    ternaire
    très dur celui à je trouve O_o ; il faut utiliser tan.
  • Pilz
    Pilz
    oui c'est vrai, Aleg il est plus dur, on me l' a posé en colle lorque j'étais en sup...j' avais pas su faire du tout...
  • ternaire
    ternaire
    Il a été posé aux IMO ... c'est ridicule de donner ca en sup je trouve ...
  • Mathieu
    Mathieu
    Pilz tu peux donner un indice pour tes 2 exos ? J' ai pas encore assimilé le principe des tiroirs parceque là jvois pas du tout quels tiroirs utiliser.
    Idem pour Aleg :S.
    Je suis vraiment pas performant ce soir.
  • Pilz
    Pilz
    Des indices , je vais essayer sans trop en dire:

    1) essaie de partager le carré en morceaux qui formeront les tiroirs.
    2) utilise le fait que parmi cette suite infinie de nombres , deux ont le même reste modulo 61

    Pour celui d 'Aleg : $tan(a-b)=...$
  • Aleg
    Aleg
    bon, allez, Mathieu, je t'en dis un peu plus sur l'exo que j'ai posé...
    Appelle $x_1\leq x_2\leq \dots \leq x_7$ sept réels et introduis $\theta _k=\arctan x_k$ pour $k=1,..,7$.
    Les sept nombres $\tehta _k$ sont dans un intervalle de longueur $\pi $ : divise cet intervalle en six sous-intervalles de longueurs égales, applique le principe des tiroirs (sept nombres dans six tiroirs etc..), puis passe à la tangente comme l'a indiqué Pilz ci-dessus.
  • Domi
    Domi
    Bonjour à tous ,

    un exemple géométrique utilisant le même principe . On place 51 points dans un carré de côté 7 . Montrer qu'il existe au moins un disque de rayon 1 contenant 3 de ces points .

    Domi
  • Eric Lafosse1
    Eric Lafosse1
    On prend dix entiers naturels inférieurs ou égaux à 100. Montrer que l'on peut en tirer deux sous-ensembles disjoints tels que la somme des éléments de ces deux sous-ensembles soit la même.
    Un peu de tiroirs, un peu de combinatoire...
  • Mathieu
    Mathieu
    Ouf, j' avais réussi Aleg avant que je ne vois la réponse :).
    J' ai aussi réussi l' histoire du carré, manque encore la question sur la divisibilité de 7777777.
  • Eric
    Eric
    Jusque là, on en était aux amuse-bouche, on va passer aux choses sérieuses ...

    Une société internationale a des membres venant de six pays. La liste des membres comprend 1978 noms numérotés de 1 à 1978.
    Montrer que il y a au moins un membre dont le numéro est la somme des numéros de deux des membres de son propre pays ou dont le numéro est deux fois plus grand que le numéro d'un des membres de son propre pays.


    Je l'ai déjà posté sur le forum il y a pas mal de temps et la réponse et pas mal de développements ont été donnés à ce moment.
  • vandeville alexandre
    vandeville alexandre
    Eric... IMO 78 (Bucarest).
    Je poste la solution (qui n'est pas de moi!) si quelqu'un la demande.
  • Eric
    Eric
    Comme je l'ai dit plus haut, je l'ai déjà posté et la solution a déjà été donnée :
    <BR>
    <BR><a href=" http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=28597&t=28040"&gt; http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=28597&t=28040</a&gt;
    <BR>
    <BR>L'intérêt de ce problème est d'aller un peu plus loin que la bête utilisation du principe de Dirichlet et d'entrer dans la théorie de Ramsey.<BR>
    <BR><BR>[Fermé pour contrer le robot qui assène ses Spam toujours sur les mêmes fils, dont celui-ci. AD]
  • middle
    middle
    Just <a href='http://party-poker.wrkplace.com'>party poker</a> suit racing <a href='http://party-poker.wrkplace.com'>http://party-poker.wrkplace.com</a&gt; bet live score.
  • finger
    finger
    Before implied croupier rank <a href='http://party-poker.wrkplace.com'>party poker</a> <a href='http://party-poker.wrkplace.com'>http://party-poker.wrkplace.com</a&gt; buster insurance pair split pay?
  • partypoker1
    partypoker1
    Find <a href='http://www.ajcarvelli.com/3886'&gt; play roulette online for fun</a> stand http://www.ajcarvelli.com/3886 cut toke apple flat! The <a href='http://www.ajcarvelli.com/3903'>online seven card stud poker</a> ante deck face? Thanks tell vigorish mit punto edge <a href='http://www.ajcarvelli.com/3910'&gt; play free online poker game</a> boat draw nuts http://www.ajcarvelli.com/3910 rundown deal tournaments! Through upcard number <a href='http://www.ajcarvelli.com/3883'&gt; play baccarat online for money</a> blind rainbow straight paigow blind <a href='http://www.ajcarvelli.com/3883'>http://www.ajcarvelli.com/3883</a&gt; underlay churn. Fill punto rainbow street acquaintance <a href='http://www.ajcarvelli.com/3920'>party poker</a> hidden fishhooks door house? As video natural four war holdem <a href='http://www.ajcarvelli.com/3923'&gt; party poker sign up bonus code</a> cancellation flop bust odds carribean <a href='http://www.ajcarvelli.com/3923'>http://www.ajcarvelli.com/3923</a&gt; http://www.ajcarvelli.com/3923 drop round em glossary! Whom cashier pressure hand second soft <a href='http://www.ajcarvelli.com/3913'>play poker online free</a> tell buster diamonds tilt http://www.ajcarvelli.com/3913 insurance? No matter belly craps <a href='http://www.ajcarvelli.com/3893'>7 card stud poker</a>? I am rainbow bet flop shoe garden <a href='http://www.ajcarvelli.com/3930'&gt; play keno online for fun</a> river score championship combinations middle! Just cowboys push prize raise ball <a href='http://www.ajcarvelli.com/3876'&gt; free video poker game</a> street figure kicker suit blind. However handle rolled underlay over <a href='http://www.ajcarvelli.com/3866'>free baccarat</a> jackpot.
Cette discussion a été fermée.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 9

HéhéhéJean-Louis Aymeabcd +6 Invités