Essence, puissance, existence formalisées mathématiquement

Puissance externe d'une partie à un instant $t$


Je veux obtenir une formule générale
de la puissance externe à l'instant $t$
des interactions de $O_t$ à l'instant $t$,
en interaction
avec ses interactions avec les ${(P_{i_t})}_{i_t \in I_t}$ à l'instant $t$,
[sachant que $\Big(O_t,{(P_{i_t})}_{i_t \in I_t}\Big)$ est une partition].

Pour ce faire j'ai besoin de deux outils :
Une intégrale dépendant d'une mesure $\mu_t$
et de puissances élémentaires (ici externes) ${\cal{P}}_t\Big(O_t\Big|(P_{i_t}|P_{j_t})\Big)$
qui donnent la puissance à l'instant $t$
des interactions de $O_t$ à l'instant $t$
en intéraction
avec les intéractions de $P_{i_t}$ avec $P_{j_t}$ à l'instant $t$
dont l'application correspondante est mesurable
et que je vais intégrer ou "sommer"
en sachant que ${\cal{P}}_t\Big(O_t\Big|(P_{i_t}|P_{j_t})\Big) ={\cal{P}}_t\Big(O_t\Big|(P_{j_t}|P_{i_t})\Big)$ (évident)
et ${\cal{P}}_t\Big(O_t\Big|(P_{i_t}|P_{i_t})\Big) ={\cal{P}}_t(O_t|P_{i_t})$
puisque les interactions de $O_t$ à l'instant $t$
en interaction
avec les intéractions de $P_{i_t}$ avec lui meme à l'instant $t$
sont exactement les interactions de $O_t$ avec $P_{i_t}$ à l'instant $t$ .



Soit $T = \R$

L' ensemble $E \times T$ qui est un espace vectoriel
est ce qu'on peut appeler l'ensemble univers

$\forall t \in T$

Soient $O_t,P_t,P_{1,t},P_{2,t},I_t,J_t \in {\cal{P}}(E_t)$

avec $E_t = E \times \{t\}$

Les intéractions de $O_t$ avec $P_t$ sont les relations de cause à effet entre $O_t$ et $P_t$

On note $(O_t|P_t)$ les intéractions de $O_t$ avec $P_t$.

Soit ${\cal{E}}_t$ une tribu sur $I_t$

Soit $\mu_t : {\cal{E}}_t \longrightarrow \overline{\R}$ une mesure.

L'application mesurable
puissance à l'instant $t$
des intéractions de son objet à l'instant $t$
en intéraction
avec les intéractions de $P_{1,t}$ avec $P_{2,t}$ à l'instant $t$
notée ${\cal{P}}_t\Big(.\Big|(P_{1,t}|P_{2,t})\Big)$

est définie par :

${\cal{P}}_t\Big(.\Big|(P_{1,t}|P_{2,t})\Big)$ : ${\cal{P}}(E_t) \longrightarrow \overline{\R}$ : $O_t \longmapsto {\cal{P}}_t\Big(O_t\Big|(P_{1,t}|P_{2,t})\Big)$

et ce dernier terme s'appelle
la puissance à l'instant $t$
des interactions de $O_t$ à l'instant $t$
en intéraction
avec les intéractions de $P_{1,t}$ avec $P_{2,t}$ à l'instant $t$.

L'application ${\cal{P}}_{externe,\Big(t,{\cal{P}}_t,\mu_t\Big)}\Big(.\Big|{(P_{i_t})_{i_t \in I_t}}\Big)$ est définie par :

$\displaystyle{\cal{P}}_{externe,\Big(t,{\cal{P}}_t,\mu_t\Big)}\Big(.\Big|{(P_{i_t})_{i_t \in I_t}}\Big)\,\,: \,\,{\cal{P}}(E_t) \longrightarrow \overline{\R} \,\,: \,\,O_t \longmapsto {\cal{P}}_{externe,\Big(t,{\cal{P}}_t,\mu_t\Big)}\Big(O_t\Big|{(P_{i_t})_{i_t \in I_t}}\Big)}$

où
$\displaystyle{{\cal{P}}_{externe,\Big(t,{\cal{P}}_t,\mu_t\Big)}\Big(O_t\Big|{(P_{i_t})_{i_t \in I_t}}\Big)}$

$\displaystyle{= \frac{1}{2} \int_{I_t} \int_{I_t} {\mathbb{I}}_{(i_t \neq j_t)}(i_t,j_t) {\cal{P}}_t\Big(O_t\Big|(P_{i_t}|P_{j_t})\Big) \,\,d \mu_t(i_t) \,\,d \mu_t(j_t) + \int_{I_t} {\cal{P}}_t\Big(O_t\Big|(P_{i_t}|P_{i_t})\Big) \,\,d \mu_t(i_t)}$

avec $\forall t \in T$ $\Big(O_t,{(P_{i_t})}_{i_t \in I_t}\Big) \subset E_t$ est une partition.




Remarque :

${\cal{P}}_t\Big(O_t\Big|(P_{i_t}|P_{i_t})\Big) = {\cal{P}}_t(O_t|P_{i_t})$

et s'appelle la puissance
des intéractions de $O_t$ avec $P_{i_t}$ à l'instant $t$.

On ne simplifiera pas d'avantage l'expression ${\cal{P}}_t(O_t|O_t)$,
mais on pourra aussi l'appeler autrement comme nous le verrons plus tard.

On considéra plus tard la puissance interne
et la puissance intersection ou interface
entre la puissance interne et la puissance externe.

Grace à la théorie présentée par Michel Coste,
il va etre possible
pour certaines classes d'ensembles
de différencier les cardinaux
d'ensembles infinis
qu'on peut mettre en bijection,
ce que ne peut faire le cardinal de Cantor.
Càd qu'on va pouvoir structurer $\overline{\R}$,
et meme autrement qu'avec l'analyse non standard.


Soit ${(O_{i_t})}_{i_t \in J_t}$ une partition de $O_t$

Soit ${\cal{F}}_t$ une tribu sur $J_t$

Soit $\nu_t$ : ${\cal{F}}_t \longrightarrow \overline{\R}$ une mesure

L'application mesurable ${\cal{P}}_{interne,(t,{\cal{P}}_t})}$ est définie par :

${\cal{P}}_{interne,(t,{\cal{P}}_t)}$ : ${\cal{P}}(E_t) \longrightarrow \overline{\R_+}$ : $O_t \longmapsto {\cal{P}}_{interne,(t,{\cal{P}}_t)}(O_t) = {\cal{P}}_t(O_t|O_t) $

où on a la relation :

$\displaystyle{{\cal{P}}_{interne,(t,{\cal{P}}_t,\nu_t)}(O_t)}$

$\displaystyle{= \Big(\int_{J_t} \int_{J_t} {\cal{P}}_t(O_{i_t}|O_{j_t})\,\,d \nu_t(i_t)\,\,d \nu_t(j_t)\Big) {\mathbb{I}}_{\overline{\R_+}}\Big(\int_{J_t} \int_{J_t} {\cal{P}}_t(O_{i_t}|O_{j_t})\,\,d \nu_t(i_t)\,\,d \nu_t(j_t)\Big)}$



Si $T$ est totalement ordonné


On dit que ${(O_t)}_{t \in T|t \geq t_i}$ est nait ou a été crée à l'instant $t_i$

si $\displaystyle{\exists t_i \in T \,\,: \forall t \in T \,\, : \,\, t <t_i \,\,{\cal{P}}_{interne,(t,{\cal{P}}_{t},\nu_{t})}(O_{t}) = 0}$

[càd ${(O_t)}_{t \in T|t < t_i} \subset \emptyset$]

et ${\cal{P}}_{interne,(t_i,{\cal{P}}_{t_i},\nu_{t_i})}(O_{t_i}) \neq 0$


On dit que ${(O_t)}_{t \in T| t < t_f}$ est définitivement détruit ou mort à l'instant $t_f$

si $\displaystyle{\exists t_f \in T \,\,: \,\, t_f > t_i \,\, \forall t \in T \,\, : \,\, t \geq t_f \,\,{\cal{P}}_{interne,(t,{\cal{P}}_{t},\nu_{t})}(O_{t}) = 0}$

càd ${(O_t)}_{t \in T|t \geq t_f} \subset \emptyset$




Pour mieux comprendre ma notion de puissance :
prendre $\mu_t$, $\nu_t$ des mesures de comptage,
et prendre les partitions considérées : finies ou dénombrables.

Prendre

$\displaystyle{\mu_t (A_t)= \sum_{i_t \in \N} {\mathbb{I}}_{A_t} (i_t)}$

$\displaystyle{\nu_t (B_t) = \sum_{i_t \in \N} {\mathbb{I}}_{B_t} (i_t)}$

$\Big(O_t,{(P_{i_t})}_{i_t \in \N_{n_t}}\Big)$ partition,

${(O_{i_t})}_{i_t \in \N_{m_t}}$ partition de $O_t$



A un instant $t_0$:

On pose $\Big(O,{(P_i)}_{i \in \N_2^*}\Big)$ partition.

On pose $\forall i,j \in \N_2^*$ ${\cal{P}}_{t_0}\Big(O|(P_i|P_j)\Big) ={\cal{P}}_{t_0}\Big(O|(P_j|P_i)\Big)= p_{i,j}$ où $p_{i,j} \in \overline{\R}$

On a : $\forall i \in \N_2^*$ ${\cal{P}}_{t_0}\Big(O|(P_i|P_i)\Big) = {\cal{P}}_{t_0}(O|P_i) = p_{i,i} = p_i \in \overline{\R}$

En prenant $\mu_{t_0}$ une mesure de comptage sur $\N_2^*$

On a :

${\cal{P}}_{externe,(t_0,{\cal{P}}_{t_0},\mu_{t_0})}\Big(O\Big|{(P_i)}_{i \in \N_2^*}\Big) $

$= {\cal{P}}_{t_0}\Big(O|(P_1|P_1)\Big) + {\cal{P}}_{t_0}\Big(O|(P_1|P_2)\Big) + {\cal{P}}_{t_0}\Big(O|(P_2|P_2)\Big)$

$= {\cal{P}}_{t_0}(O|P_1) + {\cal{P}}_{t_0}\Big(O|(P_1|P_2)\Big) + {\cal{P}}_{t_0}(O|P_2)$

$= p_{1,1} + p_{1,2} + p_{2,2}$

$= p_1 + p_{1,2} + p_2$

Le problème est si par exemple il existe au moins deux coefficients distincts $p_{i,j}$ tels que
$p_{i_1,j_1} = +\infty$ et $p_{i_2,j_2} = -\infty$ :

Dans ce cas,
il faut structurer $\overline{\R}$
et ne pas considérer les deux infinis
comme des points
mais comme des ensembles,
pour l'instant,
il existe deux manière de le faire,
soit par l'analyse non standard,
soit par la théorie des cardinaux
présentée par Michel Coste,
qui peut se généraliser
sur certaines classes de parties de ${\cal{P}}^m_{ensemble}(\R^n)$,
et qui peut distinguer les cardinaux de deux ensembles infinis
qu'on peut mettre en bijection :

En celà ces cardinaux que Michel Coste ne veut pas appeler à tort "cardinaux",
sont plus fins, plus précis que ceux de Cantor
en poursuivant et en prolongeant l'intuition de départ
qu'on en avait dans le cas fini.

Bien entendu le problème est qu'on ne peut les appliquer qu'à certaines classes d'ensembles.




Nous disons souvent qu'untel homme politique ou PDG est influent ou puissant :
Il s'agit de mesurer cette puissance.

Bien sûr il y a d'innombrables façons de le faire qui n'aboutissent pas au même résultat, et c'est suivant le type de contexte dans lequel on se trouve qu'on choisira le type de résultat, et notamment la détermination des ${\cal{P}}_t$, des $\mu_t$ et des $\nu_t$ à chaque instant $t$.

Pour obtenir la puissance totale, il faut retirer ce qu'il y a de commun entre la puissance interne et la puissance externe.




Bruno m'a fait la remarque
que je devais mieux formaliser
ma définition des intéractions entre deux corps à un instant ,
mais à ce stade :
Ce n'est plus du ressort des mathématiques,
mais des modélisateurs en biologie, en physique-chimie, en sciences humaines et sociales,
qui les interprètent à leur manière
selon leurs intérêts.

Idem pour définir plus précisément les , les et les .




L'application existence est définie par :

$existence$ : ${\cal{P}}(E) \longrightarrow {\cal{P}}(E)$ : $O \longmapsto existence(O) = O$

Soit $P \in {\cal{P}}(E)$ : On dit que $P$ est une dimension de $E$

L'application existence par rapport à $P$ est définie par :

$existence(.|P)$ : ${\cal{P}}(E) \longrightarrow {\cal{P}}(E)$ : $O \longmapsto existence(O|P) = O \cap P = existence(O) \cap existence(P)$

$\forall O,P \in {\cal{P}}(E)$ $existence(O|P) = existence(P|O)$

$\displaystyle{O = \bigcup_{P \subset E}(O \cap P) \subset \bigcup_{P \subset E} P = E}$
$\displaystyle{existence(O) = \bigcup_{P \subset E} existence(O|P) \subset \bigcup_{P \subset E} existence(P) = existence(E)}$

$existence(P|P) = P =existence(P)$

$existence(E|E) = E = existence(E)$

$existence(E|P) = P = existence(P)$


Soient $O_1,O_2 \in {\cal{P}}(E)$

S'il existe une bijection $b$ de $O_1$ dans $O_2$ :

On dit que $O_2$ est l'essence de $O_1$ par rapport à la bijection $b$

et on note :

$O_2 = essence(O_1|b)$

On peut prendre $O_2 = O_1$

et dans ce cas il existe une bijection $b$ de $O_1$ dans $O_1$ :

l'identité par exemple

et $O_1 = essence(O_1|b) = existence(O_1)$



$existence(H|T) = H \cap T$ désigne l'existence de l'homme $H$ par rapport au temps $T$

ou plus précisément l'intersection des existences de l'homme $H$ et du temps $T$

et $existence(T|H) = T \cap H$ désigne l'existence du temps $T$ par rapport à l'homme $H$

ou plus précisément l'intersection des existences du temps $T$ et de l'homme $H$,

puisque $H = existence(H)$ et $T = existence(T)$

Ne pas oublier que $H$ et $T$ sont des dimensions de l'espace-temps,
puisque ce sont des parties de l'espace-temps.



egoroff ,

j'essaye de formaliser mathématiquement les notions d'essence, de puissance et d'existence,

alors il est vrai dans ce cas
que l'existence c'est trivialement l'identité,

à ne pas confondre avec l'existence sartrienne
qui elle relève plutot de nos intéractions avec notre environnement
et plus particulièrement de notre puissance externe.

La composition de plusieurs applications $existence$ n'a aucun intéret,
sauf à montrer que l'existence de l'existence c'est toujours l'existence
et en ce sens à montrer qu'il n'y a pas de métaphysique de l'existence.

Par ailleurs mes notions de puissances externes et internes,
ne sont pas définies de manière unique :
Ce qui laisse beaucoup de liberté d'applications.



Bruno,

tu as raison,
en plus des relations causales plus ou moins libres ou déterministes,
il existe des relations non causales
en particulier en mécanique quantique.

christophe chalons :

La définition d'un objet est une des essences possibles de cet objet :
En effet les essences de cet objet sont cette définition à une bijection près

Dieu c'est l'Univers la "réunion" de tout ce qui existe

Nous n'avons rien à attendre ou à espérer de l'Univers,
nous devons vivre et survivre en lui,
puisque nous n'en avons qu'une connaissance locale, partielle et approximative.

Parcontre nous pouvons avoir une certaine foi
en le faux dieu
que sont l'Humanité et certaines communautés extraterrestres.


L'Univers c'est le monde de tous les possibles où tout n'est pas possible.


Supposons que Dieu existe
alors Dieu est une "partie" de l'Univers

Supposons que Dieu est une "partie" stricte de l'Univers
alors il n'est pas absolument infini
et n'est pas Dieu,
donc Dieu c'est l'Univers.

Et si Dieu n'existe pas :
Bah, qu'est-ce que ça change ?

(Bien sur avant de parler de quoique ce soit :
il faut le définir)

L'erreur majeure de Spinoza est justement
d'avoir voulu "définir" des relations
entre des corps quelconques de l'Univers en général,
au lieu de les définir plus raisonnablement
sur des corps de l'Univers connu.

Pourtant beaucoup de ses propositions restent intuitives.



Billy,

relit ce que j'ai dit
sur Spinoza
dans mon message précédent :
Je n'en pense pas moins
que toi sur son Ethique.

Cependant on peut dire certaines choses certaines
sur L'Univers
qui est la cause première de toute chose
et en particulier de lui-même.

L'Univers se (re)crée perpétuellement lui meme.

Moi,
je pense que nous ne ferons qu'approximer les dimensions localement,
je ne crois pas à l'indépendance des dimensions à grande échelle ou à petite échelle,
je crois que plus l'échelle est grande ou petite
plus il y en aura à considérer
et qu'elles seront de moins en moins indépendantes :

C'est pour celà que je préfère nommer dimension de L'Univers :
Toute "partie" de L'Univers.


Attention,
chez Spinoza la nature d'une chose n'est pas son essence,
l'essence d'une chose chez Spinoza n'est pas celle du sens commun,
au contraire mon essence d'une chose se confond bien avec la nature de cette chose.

Il faudrait trouver un autre mot plus adapté
pour nommer ce que Spinoza nomme essence.

Par ailleurs Spinoza ne définit le mot essence
qu'il utilise dans la première partie,
que dans la seconde partie.


Souvent,
lorsque Spinoza écrit $A$ appartient à $B$,
il faut plutot traduire par $A$ est inclus dans $B$.