Ensemble des parties de l'ensemble ...

Si le problème est uniquement qu'on ne peut pas écrire de symbole de math ici (je ne sais pas non plus comment m'y prendre mais je vais voir si je peux apprendre le latex sur ce site ...), je pense qu'on peut peut-être s'en sortir :

[Je te traduis ton message en LaTeX. Clique sur "Code LaTeX" pour voir comment écrire. AD]

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Sauf erreur, ce qui "ne fait que dire que si un ensemble est une partie d'un premier alors c'est que les éléments de cet ensemble sont des éléments du premier", ce n'est pas l'axiome de l'ensemble des parties mais la définition de l'inclusion :

Je note $E \subset F$ : "$E$ est inclus dans $F$" (ce qui se dit aussi "$E$ est une partie de $F$") et $x \in E$ : "$x$ appartient à $E$".

Définition de l'inclusion :
$E \subset F \Leftrightarrow \forall x,\ x \in E \Rightarrow x \in F$

L'axiome de l'ensemble des parties postule que pour tout élément, il existe un ensemble qui est l'ensemble des parties de $E$, c'est à dire des ensembles inclus dans $E$ :
$\forall E,\ \exists F,\ (x \in E \Leftrightarrow x \subset F)$
Cet ensemble est unique par extensionalité (je passe la démonstration) :
$\forall E,\ \exists ! F,\ (x \in E \Leftrightarrow x \subset F)$
Comme cet ensemble $F$ existe et est unique pour tout $E$, je me permets d'introduire un symbole "parties" : $\mathcal P$, fonction à une variable avec :
$\forall E,\ \forall x,\ ( x \in \mathcal P(E) \Leftrightarrow x \subset E )$, par définition du symbole "$\mathcal P(E)$" \qquad $(1)$

J'applique cet énoncé à l'ensemble vide (que je note $\emptyset$ si ça ne vous dérange pas) :
$x \in \mathcal P(\emptyset) \Leftrightarrow x \subset \emptyset \qquad (2)$

J'ai pu démontrer par ailleurs que :
$x \subset \emptyset \Leftrightarrow x = \emptyset$ (je vous passe la démonstration)
Donc en substituant $x = \emptyset$ à $x \subset \emptyset$ j'obtiens :
$x \in \mathcal P(\emptyset) \Leftrightarrow x = \emptyset \qquad (3)$
Ce dernier énoncé exprime bien que l'ensemble des parties de l'ensemble vide ne contient qu'un élément : l'ensemble vide.

Eh bien je souhaiterais démontrer la formule suivante :
$x \in \mathcal P( \mathcal P(\emptyset) ) \Leftrightarrow ( x = \mathcal P(\emptyset) \mathrm{\ ou\ } x = \emptyset )$. C'est là où j'échoue.

Je conçois qu'il peut paraitre superflu voire inintéressant pour un mathématicien de rechercher une démonstration formelle de chose en effet évidentes !
Je vous serais d'autant plus reconnaissant de votre aide. Je précise que je cherche la liste précise des étapes permettant de passer d'une proposition à une autre, chaque étape étant décrite sans ambigüité :

A titre d'exemple, je suis passé de la proposition $(1)$ à la proposition $(2)$ en appliquant deux fois la règle d'élimination du quantificateur universel.
Je suis passé de $(2)$ à $(3)$ en utilisant une règle dite de substitution dans une formule d'énoncés équivalent, qui n'est pas une règle de la déduction naturelle mais je ne suis pas psychorigide. En fait tout système déductif me conviendra pourvu qu'il soit rigoureux et qu'on reste dans la logique des prédicats du premier ordre, classique.

Cordialement



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par AD.

Ne pourrait-on dire que $A\subset \{\emptyset\}$ si et seulement si $\forall x\in A$, on a $x\in \{\emptyset\}$ ? Or le seul élément de $\{\emptyset\}$ est $\emptyset$. Donc, si $A=\emptyset$, c'est OK, $A\subset\{\emptyset\}$, sinon, la seule possibilité est que $A=\{\emptyset\}$. D'où ${\cal P}({\cal P}(\emptyset))=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$.

*Edit : @ GG : et pis d'abord, c'est mieux en LaTeX, na !



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par remarque.

Pour l'histoire des abréviation merci je n'avais pas oublié

Je voulais dire que je ne devrais pas, ou en tout cas je ne souhaiterais pas avoir recours à l'axiome de la paire pour démontrer mon résultat. Et je parle du formalisme de la paire car, pour vous, me semble-t-il, la seule manière convenable de dire qu'un ensemble contient un unique élément, ou qu'un ensemble ne contient que deux éléments c'est d'écrire quelque-chose du genre :

$E=\{a\}$
$E=\{a,b\}$

Soit, ça ne me dérange pas mais cette notation ne m'apporte rien du point de vue de la démonstration.
Dans vos solutions, ou vos pistes de solution, vous n'utilisez pas l'axiome de la paire ; vous vous contentez de remplacer
$\cal P(\emptyset)$ par $\{\emptyset\}$ en imaginant que ça va apporter quelque chose mais il n'en est rien.

J'ai cru que GG me mettait sur la voie en me donnant l'idée d'exploiter le fait que si x n'est pas l'ensemble vide, alors :

$\exists a,a\in x$

Mais et après ? GG prétend ensuite que :
$\forall y,y \in x \Rightarrow y \in \{\emptyset\}$ D'où sort ce résultat ? Naturellement il semble exact ... une fois admise la conclusion

Ceci étant, je conçois que si j'arrivais (je pense que c'était la piste que GG a essaye de m'ouvrir) à démontrer que :

de
$\exists a (a \in x \mathrm{\ et\ } x \subset \cal P(\emptyset))$ ( ou si vous préférez : $\exists a(a \in x \mathrm{\ et\ } x \subset \{\emptyset\})$ )

on peut déduire :
$x=\emptyset$

alors je tiendrais ma démonstration.
Mais je n'y arrive pas.

Ma question reste donc ouverte.

Je me demande si tu ne te compliques pas un peu trop la vie.

\begin{align*}
{\cal P}(\{\emptyset\})&=\{A,A\subset\{\emptyset\}\}\\
&=\{A,\forall x\in A\to x\in\{\emptyset\}\}\\
&=\{A,\forall x\in A\to x=\emptyset\}
\end{align*}
Donc de deux choses l'une, soit $A=\emptyset$, qui vérifie bien $\forall x\in A\to x=\emptyset$, soit $A\neq\emptyset$, c'est-à-dire $\exists x\in A$, auquel cas, $x=\emptyset$ d'après ce qui est écrit plus haut. Quand $A$ n'est pas vide, il ne contient donc qu'un seul élément $\emptyset$, ce qui implique que $A=\{\emptyset\}$ par l'axiome de je ne sais plus quoi.

On a ainsi établi que $A\in {\cal P}(\{\emptyset\})\to A=\emptyset$ ou $A=\{\emptyset\}$. En d'autres termes, axiome de la paire, ${\cal P}(\{\emptyset\})\subset\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$. Comme on a toujours ${\cal P}(\{\emptyset\})\supset\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$, on a l'égalité par le même axiome que tout à l'heure dont le nom m'échappe.

Je réponds à la remarque de "remarque" :

A un moment de votre démonstration vous dites :

"sinon, la seule possibilité est que $A=\{\emptyset\}$ "

J'entends bien mais qu'est ce qui vous le prouve ? C'est en gros le résultat que je souhaite démontrer, posé d'une certaine façon.

Ce qui le prouve, et pas qu'à moi, c'est que $\forall x\in A$, $x=\emptyset$ et l'axiome d'extensionnalité (j'ai dû aller à la pêche à son nom, finalement).

Citation
Remarque
Je me demande si tu ne te compliques pas un peu trop la vie.
\begin{align*}
{\cal P}(\{\emptyset\})&=\{A,A\subset\{\emptyset\}\}\\
&=\{A,\forall x\in A\to x\in\{\emptyset\}\}\\
&=\{A,\forall x\in A\to x=\emptyset\}
\end{align*}
...

Hum ...
La troisième ligne est erronée. Tu es en train de supposer que $x \in \{\emptyset\}$ équivaut à $x=\emptyset$ ce qui est faux : $x \in \{\emptyset\}$ équivaut à $x=\emptyset \mathrm{\ ou\ } x=\{\emptyset\}$ (ce que je souhaite démontrer)

Il faudrait dire pour reprendre ta notation, à la ligne 3 :
... $=\{A,\forall x\in A, x=\emptyset \mathrm{\ ou\ } x=\{\emptyset\}\}$

ou bien
...$=\{A,\forall x\in A, x \in \{\emptyset,\{\emptyset\}\}$ si tu préfères

Mais ce sont tout simplement d'autres expressions du résultat que je veux démontrer. Ca ne constitue en rien une démonstration, désolé.

Mais tu as raison sur un point : Cela simplifie beaucoup la vie d'admettre une proposition fausse car on peut en déduire que tout ce qu'on veut est vrai



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par AD.