Chaînette de raison 3/4 paire impaire
dans Géométrie
Une chaînette n'est qu'une progression géométrique: nul besoin de cosinus hyperbolique pour la définir. On peut construire une chaînette à la règle et au compas:
Réponses
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Bonjour mimosapopeye,
Après tes essais de trisection à l'aide d'une parabole qui se sont révélés bien approximatifs, je découvre ta proposition de tracé de la chaînette avec circonspection.
Je me souviens qu'en cette occasion-là, tu avais déjà essayé de nous vendre la chaînette !
Avant d'étudier ta construction pour la valider ou 'linvalider, je risquerai quelques remarques:
Une chaînette est la courbe qu'épousera une corde souple de masse linéaire constante suspendue par ses extrémités dans un champ de gravité uniforme.
En étudiant la condition d'équilibre de chaque portion de corde de longueur infinitésimale, on arrive à démontrer que la courbe de la chaînette a une équation de la forme $y=K (e^x+e^{-x})$ (voir par ici).
[ Edit: il faut corriger $y=\frac K 2 (e^{\frac x K}+e^{-\frac x K})$]
En chacun de ses points, la pente de la tangente à la chaînette est donc $y'=K (e^x-e^{-x})$
Est-ce que, à pas constant, l'angle formé par cette tangente avaec la verticale est en progression géométrique comme tu le laisses entendre (tracés rouges) ? Faut voir !
Remarquons que ta chaînette est consttituée de segments de droite, un peu comme les maillons rigides d'une chaîne.
Or, si 'l'on cherche un prolongement joliment dérivable d'une suite géométrique $(q^n)$ la fonction exponentielle $x\mapsto q^x$ sera évidemment un bon candidat.
Il y a donc évidemment un rapport entre les suites géométriques et les fonctions exponentielles, mais de là à valider ta construction, il y a un pas que je ne franchirai pas sans y regarder de plus près.
Amicalement. jacquot -
Sans calculs,
Voici un tracé GeoGebra qui illustre l'approximative progression géométrique des angles suggérée par mimosapopeye.
Le courbe rouge est $y=(e^x+e^{-x})/2$
Les angle formés par la tangente et la verticale à pas constant 0,5 sont à peu près en progression géométrique de raison 2/3, mais pas exactement -
La chaînette, souvent visible dans "le monde qui nous entoure" et pas seulement aux cous des Madames, ne peut pas être définie au collège.
Mais une approche est possible :
http://rdassonval.free.fr/flash/rouehexa.swf
Roland Dassonval. -
Mon cher Jacquot, la trisection à l'aide d'une parabole était certes une approximation, mais la trisection avec une courbe de Lissajous s'est avérée exacte d'après tes propres calculs, dont je te remercie encore une fois.
En ce qui concerne ma définition de la chaînette comme simple progression géométrique, je suis sûr de mon fait: rien ne me fera démordre. Leibnitz lui-même dans un de ses ouvrages emploie nommément le terme de "progressions géométriques" à propos de la chaînette. Si tu places une chaînette réelle devant mon graphe, tu verras que les deux coïncident parfaitement.
Chacun ses certitudes... Simples, ou inutilement compliquées... Bon Dimanche. -
Mon cher Jacquot, dans ta démonstration "sans calculs", le "pas" est peut-être constant, mais la longueur des maillons ne l'est pas: une chaînette dont les maillons sont inégaux n'est plus une chaînette... Bon week-end.
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Bonjour mimosapopeye,
Tes messages sont à la fois sibyllins et amusants.
Ta figure initiale, de facture artisanale, n'était accompagnée d'aucun commentaire et il faudra me pardonner ma mauvaise interprétation.
Sans doute as-tu voulu nous soumettre ton problème sous forme d'énigme. Disons que cette tentative de "pishing" a réussi, puisque j'ai mordu à l'hameçon ;-).
Ce sera une occasion de réviser les proriétés de la chaînette.
Avec des maillons de longueur constante, le problème se complique, mais tu as aiguisé ma curiosité. Si cette étude devait déboucher sur une contruction exacte d'une famille de points de la chaînette avec les outils courants de la géométrie, ce serait intéressant.
Veux-tu nous en dire un peu plus sur cette construction, veux-tu la décrire, ou bien préfères-tu laisser aux lecteurs le soin de la décrypter ?
PS Je n'ai, pour ma part, aucune certitude.
Amicalement. jacquot -
Cher Jacquot, j'essaie de faire bref:
Chaînette (géométrie mécanique):
"Les maillons d'une chaînette sont dans un rapport angulaire constant, et décrivent une progression géométrique. La raison de cette progression est la pente des deux maillons encadrant le maillon central et horizontal de la chaînette, plus précisément l'angle complémentaire à cette pente, en fraction d'angle droit."
Comme dans toute progression géométrique, le énième terme vaut le premier terme multiplié par la raison élevée à la puissance n-1 (sachant que le premier terme pour une chaînette vaut toujours un droit).
Exemple n°1: Soit une chaînette possédant un nombre impair de maillons et comportant un maillon central horizontal. On pose que les deux maillons encadrant le maillon central décrivent chacun avec l'horizontale un angle de 20 grades. Ces deux maillons, que nous pouvons appeler maillons directeurs, décrivent donc avec la verticale un angle de 80 grades. C'est-à-dire 4/5 d'angle droit. Ce rapport sera la raison de la progression de cette chaînette.
On peut considérer que le maillon central et horizontal est le premier terme de la progression. Il vaut, par rapport à la verticale, 100 grades (100 multiplié par 4/5 puissance zéro, soit 100 x 1).
Les deux maillons entourant le maillon central sont les deuxièmes termes de la progression. Ils valent 80 grades (100 multiplié par 4/5 puissance 1).
Le maillon qui vient immédiatement après un maillon directeur, à droite comme à gauche, est le troisième terme de la progression. Il décrit avec la verticale 80 grades multipliés par 4/5, soit 64 grades (100 multiplié par 4/5 au carré [16/25]).
Le 4ème maillon, 4ème terme de la progression, décrit avec la verticale un angle de 64 grades multipliés par 4/5, soit 51,2 grades (100 multiplié par 4/5 au cube [64/125]).
Le 5ème maillon, 5ème terme, décrit avec la verticale 51,2 grades multipliés par 4/5, soit 40,96 grades (100 multiplié par 4/5 puissance 4).
Le 6ème maillon, 6ème terme, décrit avec la verticale 40,96 grades multipliés par 4/5, soit 32,768 grades (100 multiplié par 4/5 puissance n-1, soit puissance 5).
Etc.
Dans une chaînette, si l'on connaît le rang du maillon et la valeur angulaire de celui-ci, on peut calculer la raison de la progression. Ainsi, pour le 3ème maillon: 100 raison au carré égale 64, donc raison égale racine carrée de 0,64, soit 0,8, soit 4/5. Pour le 4ème maillon: 100 raison au cube égale 51,2, donc raison égale racine cubique de 0,512, soit 0,8, soit 4/5. Pour le 5ème maillon: 100 raison puissance 4 égale 40,96, donc raison égale racine quatrième de 0,4096, soit 0,8, soit 4/5.
Par ailleurs chaque maillon est la moyenne géométrique des deux maillons qui le comprennent (64 égale racine carrée du produit de 80 par 51,2).
Exemple n°2: Le maillon directeur décrit avec l'horizontale un angle de 30°. Il décrit donc avec la verticale un angle de 60°, soit 2/3 de droit. Ce rapport sera la raison de la progression de la chaînette.
Le maillon suivant décrira alors avec la verticale un angle de 40° (60 multiplié par 2/3).
Le maillon suivant suivant décrira avec la verticale un angle de 26,°66 (40 multiplié par 2/3).
Le maillon suivant suivant suivant décrira avec la verticale un angle de 17,°77 (26,°66 multiplié par 2/3).
Le maillon directeur doit être considéré dans tous les cas comme le deuxième terme de la progression géométrique. Le premier terme étant toujours la valeur de l'angle droit.
Un enfant de 4 ans peut désormais comprendre le fonctionnement d'une chaînette. Et le premier venu construire une voûte auto-stable, ou du moins en calculer facilement les joints.
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Le premier jet donnait ça:
" Les maillons d'une chaînette sont dans un rapport angulaire constant.
Ce rapport est déterminé par la pente du maillon de tête, proportionnellement à l'angle droit.
Les maillons de tête, ou maillons directeurs, sont les deux maillons situés immédiatement de part et d'autre du maillon central et horizontal.
Ainsi, si le chaînon de tête décrit par exemple un angle de 30° avec l'horizontale, alors le chaînon qui le suit immédiatement ( 2ème chaînon) décrira un angle de 50° avec l'horizontale. Car 30° représentent 1/3 d'angle droit. Reste 60°. Un tiers de 60 vaut 20. Et 30+20= 50. Reste 40°.
Le 3ème chaînon décrira avec l'horizontaleun angle de 30+20+13,33. Soit 63°,33. Car 1/3 de 40 vaut 13,33. Reste 26°,66.
Le 4ème chaînon décrira avec l'horizontale un angle de 63,33+8,88. Soit 72°,21. Car 1/3 de 26,66 vaut 8,88.
Et ainsi de suite, chaque maillon décrivant 1/3 de l'angle soutenu par le maillon qui le précède.
Ce rapport peut bien sûr varier selon l'ouverture de la chaînette, et le nombre de maillons qui la composent.
On peut dessiner une chaînette à la règle et au compas.
Tracer un angle droit. Par bissectrices successives diviser cet angle droit en 2, puis 4 (ou 8, ou 16, ou 32). Vous obtenez ainsi par la bissectrice la plus basse tracée la pente du chaînon de tête. Donnez une longueur à ce premier chaînon.
Tracer une perpendiculaire passant par l'extrémité du 1er chaînon. Avec cette perpendiculaire et le prolongement du 1er chaînon vous obtenez un nouvel angle. Diviser ce nouvel angle autant de fois que vous avez divisé le 1er angle droit. Vous obtenez la pente du 2ème chaînon. Donnez sa longueur à ce 2ème chaînon. Portez une perpendiculaire par l'extrémité de ce 2ème chaînon. Vous obtenez un nouvel angle. Divisez encore le même nombre de fois cet angle par bissectrices successives. Vous obtenez la pente du 3ème chaînon. Etc,etc. Les maillons ont bien sûr la même longueur.
Plus la pente des maillons de tête est faible, plus le rapport angulaire est petit, et plus la chaînette est tendue.
Un angle au centre de 45° interceptant un angle inscrit de 22°,5 décrivent les pentes d'une chaînette de 4 maillons et de rapport 1/2." -
Merci pour ce document, mimosapopeye,
Je vais essayer de comprendre.
Remarquons déjà qu'il semble concerner une chaînette de maillons rigides.
La chaînette que je considérais est la courbe formée par une corde souple.
C'est vraisemblablement un lissage de la chaînette à maillons rigides..
La chaînette d'équation $y=\dfrac 1 2 (e^x+e^{-x}) $ ou $y= \cosh x$ présente une propriété intéressante :
au point $A$ d'abscisse $a$ la pente de la tangente est égale à la longueur (ou à la masse) de la portion de courbe allant du sommet jusqu'à ce point:
On a $\displaystyle \ell= \int_0^a \sqrt{1+(\sinh x)^2}\ dx=\int_0^a \cosh x\ dx = \sinh (a)$
Cette égalité traduit la condition déquilibre de la portion de courbe rouge sur le dessin ci-dessous (avec k=1).
Je ne sais pas encore si cette observation m'aidera à valider et à comprendre la progression géométrique des angles dont il est question dans ton document.
@ suivre, amicalement . jacquot -
Merci mon Jacquot, ça a l'air très complexe, l'analyse me dépasse toujours (y'a pas plus nul que moi avec les formules)..
J'ajoute un schéma pour essayer de clarifier mes propos: -
Le calcul différentiel de Leibniz appliqué à la chaînette
Auteur : Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) - mathématicien et philosophe
Auteur de l'analyse: Olivier Keller
Publication :« De Linea in quam flexile se pondere proprio curvat… », revue Acta Eruditorum, juin 1691 ; traduction française « De la courbe prise par un fil sous son propre poids, et son utilisation pour construire toutes moyennes proportionnelles et logarithmes », extrait de l’ouvrage Naissance du calcul différentiel, traduit et annoté par Marc Parmentier, Vrin 1999 ; extrait reproduit avec l'autorisation des éditions Vrin.
Année de publication :1691
Ce texte est la réponse de Leibniz au défi lancé par Bernoulli de connaître la forme prise par un fil sous l’effet de son poids : la courbe de la chaînette est ainsi découverte grâce au calcul différentiel de Leibniz. -
St Louis Arch...
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Dôme chaînette, auto-portant, car poussées latérales nulles:
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Je viens de remarquer que la courbe bleue brisée ne peut pas être une chaînette, puisque les maillons n'en sont pas égaux.. C'est dommage, parce que là on avait une flèche qui pouvait aider aux calculs et comparaisons avec une chaînette Bernoulli..
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Je sais pas si vous le voyez: j'ai la carte graphique qui bave du rose: y'en a partout, c'est pire qu'une barbe à papa... Est-ce que vous le voyez, ce rose?
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Bonjour mimosapopeye,
Voici une étude de la progression géométrique des angles préconisée par ton texte
J'ai porté sur ta figure verte les angle par rapport à l'horizontale:
D'après l'étude physique que (bilan des forces) que j'ai évoquée plus haut, les tangentes de ces angles (composante verticale de la tension de la chaÎne) doivent être en progression arithmétique :
en effet, chaque fois que tu remontes d'un maillon, le poids du maillon précédent s'ajoute au poids total à supporter
On a: tan(22,5°)=0,4142... (rac2 -1)
tan(39,375°) = 0,8206
tan(52,03125°)=1,2813
tan(61,5234 ) = 1,84... (là ça ne colle vraiment plus)
Les trois premiers termes sont à peu près en progression arithmétique, mais pour le quatrième, ça ne colle plus. Par ailleurs, le terme précédent 0,4142 est Uo=0, alors qu'on a déjà le poids du demi-maillon horizontal à supporter, ta suite géométrique des angles conviendrait plutôt à une chaînette avecun nombre de maillons pairs, sans maillon central horizontal....
Tu pourras faire les calculs pour la chaînette "de raison 2/3 pourremarquer que c'est pire.
Ta progression géométrique des angles est donc, hélas, très approximative.:-S
@ suivre, amicalement -
Quant au texte de Leibniz, tu observeras qu'il n'y est pas question de progression géométrique des angles, mais des ordonnées, tu l'as d'ailleurs souligné.
Leibniz y explique avec son vocabulaire que pour constuire uen chaînette, on peut tracer deux exponentielles symétriques dont la chaînette sera alors la courbe des ordonnées moyennes (demi-somme des ordonnées)
Mais comme visiblement, il ne connait pas le mot "exponentielle", il évoque le prologement continu d'une suite géométrique "courbe qu'il a coutume d'appeler llogarithmique"
lorsque la raison de cette progression géométrique est e, on obtient bien la chaînette d'équation $y=\cosh (x)$ présentée ci-desous: -
Il était intéressant de rappeleur les qualités de stabilité des voûtes en chaînette.
C'est effectivement la voûte auto-stable idéale si elle ne doit supporter aucune charge hormis la sienne. (Voir cette photo)
Pour le hangar présenté plus bas, on ne reconnaît pas une chaînette, mais plutôt un demi-cercle qui n'est pas idéal.
Il faudrait aller voir du côté de la Sagrada Familia, cathédrale de Barcelone dont la construction n'est pas achevée. il me semble que son architecte Gaudi s'est intéressé aux qualités dynamiques de la chaînette.
Je me souviens y avoir visité ue exposition au sous-sol, où l'on présentait des maquettes de la structure réalisée à l'envers, en ficelles avec les petites masselotes qui matérialisent les charges que la structure doit supporter.
Voir par ici. Cela devrait t'intéresser.
Amicalement. jacquot -
Je suis condamné aux approximations: damned!
Ne m'appelez plus Mimosa, mais Proxima.
Mon père était de Barcelone, et sa mère était une Milà, appartenant à la famille qui, en partie, a financé la construction de la cathédrale. Il existe une maison Milà à Barcelone, construite par Gaudi. Ce doit être pour ça que les chaînettes m'intéressent..
Merci Jacquot pour tes explications -
Aidez un pauvre hère
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Bonjour mimosapopeye,
Voici, sans calculs, une superposition qui propose une bonne coïncidence.
Tu pourras éventuellement utiliser les graduations pour faire ton calibrage.
Attention, je n'ai pas pris $y=2\cosh (x/2)$, mais plus simplement $y=\cosh x$ qui donne la même courbe dans le rapport 1/2.
Amicalement. jacquot.
PS J'ai également visité la Casa Milà lors de mon séjour à Barcelone en 2004 ;-) -
Un doute m'habite ::o
Tes points rouges sont presque sur une chaînette :
Soient $(X; Y)$ les coordonnées des points de ton tracé et $(x;y)$ les coordonnées du repère dans lequel j'ai tracé ma chaînette d'équation $y=\cosh (x)$
À peu de chose près, on a : $x = 0,1055 X$ et $y=0,1055 Y +1 $
C'est à dire que l'équation de ma chaînette dans ton repère est :$$\boxed {Y=\dfrac {\cosh (0,1055 X)-1}{0,1055}}$$
Je me suis servi de ton point rouge tout à gauche pour calibrer le changement de repère et voilà ce que j'obtiens: -
Mille fois merci Jacquot: Proxima du Centaure se rapproche enfin du centre de la Galaxie... i i i
Je pense que la vraie chaînette c'est les points bleus, mais comme il n'y a pas de flèche, bonjour les calculs. J'ai dessiné la courbe brisée rouge pour avoir une flèche, et pouvoir comparer avec la chaînette Bernoulli, mais je suis incapable de faire des calculs avec des cosinus hyperboliques, j'ai déjà du mal avec de simples sinus... e puissance x/2 + e puissance -x/2 me dépassent tout autant: je n'ai eu aucune formation en maths, le peu que je sais, ou crois savoir, je l'ai fait tout seul. Heureusement que tu es là. Merci Jacquot de ton aide inestimable. Et de tes connaissances incommensurables.:) -
Modère un peu tes superlatifs, je t'en prie mimosapopeye.
L'ajustement présenté ci-dessus relève plutôt du bricolage, d'ailleurs il n'est pas parfait (9,1229 au lieu de 9,1225). Mais c'est suffisant pour constater que les points rouges ne décrivent pas exactement une chaînette. Merci GeoGebra.
Je regarderai ce qu'il en est des points bleus, ce sera un peu plus difficile, et je n'ai pas le temps là tout de suite.
Peux-tu juste me confirmer que tu les as construits en considérant une chaîne de maillons de longueur 4 , dont les angles à la verticale sont en progression géométrique de raison 3/4 ?
Quel logiciel as-tu utilisé pour faire tes tracés ?
@ plus tard. jacquot -
Pour le contrôle de tes points bleus, j'ai procédé un peu différemment:
J'ai cherché avec GeoGebra tla longueur du maillon tel que le premier fasse un angle de 22,5° avec le maillon horizontal, puis j'ai continué à placet bout à bout des maillons d'égale longueur sur la cha^nette d'équation $y= \cosh (x)$
Le calcul des angles montre qu'ils s'écartent petit à petit de la progression géométrique de raison 3/4.
Dans ton repère, ma chaînette aurait pour équation $$Y=\frac 2{0,4167}(e^{0,10418\ X}+e^{-0,10418\ X}-1,02178)$$
Si elle est bien calibrée ainsi, elle doit passer pile poil par les extrémités du maillon horizontal et celles du premier maillon oblique, mais ensuite elle s'en écarte. -
Jacquot, je confirme: les points bleus ont été construits en considérant une chaîne de maillons de longueur quatre, dont les angles à la verticale sont en progression géométrique de raison 3/4 (j'ai procédé par bissectrices). J'ai utilisé GeoGebra pour les tracés, ensuite j'ai fait une copie avec le presse-papier et Paint.
Les calculs de vérification sont toujours très délicats à faire, très difficiles, et varient souvent d'un vérificateur à l'autre. J'ai parcouru les divers forums, nombreux sont les désaccords, divergents les avis et interprétations. Je te remercie pour tes calculs, et le temps que tu as passé. Le principe de ma chaînette me plaît, je le trouve rigolo et somme toute très logique: tu vas me dire que je manque pas de culot, mais après tout, qui nous dit que Bernoulli et Leibniz n'ont pas eux-mêmes trouvé qu'une simple approximation?
Je vais tracer une chaîne d'un plus grand nombre de maillons (une vingtaine) et vérifier physiquement. Je verrai bien si ça coïncide toujours...
Je ne pourrai pas venir sur le forum de trois semaines, ou plus: j'ai épuisé mon crédit octets et mon crédit temps (ma curatrice, Miss Herr Essa, ne m'autorise pour Internet qu'une dépense mensuelle de 10 euros: c'est pas bésef, elle est pas sympa).
A dans un mois, mon Jacquot, encore merci, je vais me balancer sur ma chaînette. -
Allô Jacquot J'ai réussi à faire le mur et avoir une rallonge de trois euros.
Tu avais raison: les courbes que j'ai proposées jusqu'à présent sont des approximations. J'ai vérifié avec une chaînette de lavabo, sur un tracé de raison 1/2, et là c'est flagrant, ça coïncide mal.
Je propose à ta sagacité une nouvelle formule: c'est tout simple: j'ai l'impression que les maillons des chaînettes obéissent à la série élémentaire: 1/2 2/3 3/4 4/5 5/6 6/7 7/8 etc. Je prends l'exemple du maillon qui démarre à 3/4 de Droit: le maillon suivant prendra alors 4/5 de 67°,5.
J'ai pas le temps de faire un tracé propre sur GoeGebra, je joins un simple schéma main levée.
J'ai fait un tracé soigné sur papier, j'ai plaqué dessus ma chaînette de lavabo, et ça à l'air de coller.
Amicalement -
Bonsoir mimosapopeye,
Je me réjouis pour ta rallonge ;-).
Pour ta nouvelle conjecture, je suis aussi circonspect que pour la précédente.
Je pense que si tu veux proposer un modèle qui tienne la route, il faudra en passer par une étude mécanique en étudiant la condition d'équilibre de chaque maillon.
En tous cas pour déterminer la courbe décrite par une corde souple de masse linéaire constante, c'est bien une étude mécanique qui a permis d'écrire l'équation différentielle qui permet de prouver que la bonne solution est la "chaînette de Bernoulli"
Il est possible que pour une chaîne assez grossière, les maillons en équilbre s'écartent sensiblement de la chaînette parfaite $y=\cosh (x)$ puisque au voisinage du point le plus bas, la longueur de chaque chaînon est sensiblement plus courte que l'arc de courbe passant par ses extrémités.
En revanche s'il y a un grand nombre de maillons très petits et bien tendus dans la partie horizontale, on devrait être proche de la chaînette théorique (voir le message d'albertine dans l'autre discussion)
Bref, je n'ai pas envie de détailler ce soir, mais je pense que pour la chaîne à maillons rigides, les tangentes des angles à l'horizontale doivent suivre une progression arithmétique,
Si tel est la cas, ça pourrait conduire à une construction géométrique assez simple, et je crois que c'est bien là ce que tu souhaites.
@ suivre. jacquot -
jacquot a écrit:Bref, je n'ai pas envie de détailler ce soir, mais je pense que pour la chaîne à maillons rigides, les tangentes des angles à l'horizontale doivent suivre une progression arithmétique,
On voit facilement que cela ne peut pas être le cas en prenant une chaînette à 4 maillons très longs par rapport à l'écartement des deux points d'ancrage. -
Bonsoir remarque,
Je me réjouis de ta participation à cette discussion.
Je pensais m'intéresser d'abord aux chaînes symétriques avec un nombre de maillons impair, plus exactement aux demi - chaînes de ce type.
Sur ton dessin ci-dessus, je pense que la pente de la droite GB est double de celle de la droite CG.
[Edit 21 novembre: Faux, c'est le triple.]
Sommes-nous d'accord ?
(La pente est la tangente de l'angle que forme la droite avec l'horizontale. ) -
Voici comment j'imagine l'équilibre d'une chaîne avec un nombre impair de maillons.
Les nombres représentent les masses suspendues en chacun des points de la ligne brisée. La composante horizontale de la tension reste constante.
Mais je ne suis pas sûr de la justesse de ce modèle.
[Edit 21novembre: construction fausse; la suite des pentes reste arithmétique au passage du minimum ]
Qu'en pensez-vous, remarque, ...? -
Le dessin que j'ai fait est au pif et n'intègre que les contraintes cinématiques, en fait c'est un problème compliqué à résoudre et le problème continu limite est beaucoup plus simple que le problème discret. La progression arithmétique des pentes n'est pas possible car il y a des exemples où elle n'est clairement pas vraie (bon d'accord, ce n'est pas totalement une preuve). J'en donne un autre :
-
Bonjour remarque,
Alors, je précise: la progression arithmétique ne concerne pas le maillon horizontal, elle ne sera observée que sur les branches montantes.[Corrigé lr 21/11]
Ton exemple trivial ne contredit pas cette suite arithmétique des pentes, puisque
$\infty = \infty +1=\infty+2=\dots$
Tu as dessiné le cas particulier où la tension horizontale est nulle.
Voudrais-tu juste me dire si pour la chaîne que j'ai dessinée dans mon message précédent, chaque maillon est bien en équilibre, à ton avis ?
Amicalement. jacquot -
Bonsoir,
Peut-être n'est-il pas suffisant de faire le bilan des forces qui s'exercent sur chaque maillon de la chaîne.
Je vais réfléchir aussi aux moments des forces par rapport à l'extrémité supérieure de chaque maillon, là où se trouve l'articulation pour expliquer pourquoi chaque maillon prend telle ou telle orientation...
Je pense que le problème n'est pas insurmontable...
@ suivre. jacquot -
Salut Jacquot.
Je vais me mettre à l'étude des coordonnées polaires. Etude étant un bien grand mot. Je vais voir s'il y a des choses que je peux comprendre là-dedans, et qui pourraient m'aider. -
Chaînette 1/2 paire impaire
Chaînette 2/3 paire impaire -
@ jacquot : il me semblait avoir posté un message disant que je ne comprenais pas ton dessin, mais apparemment j'ai rêvé. Bon bref, je ne le comprends toujours pas. Je n'ai pas essayé de réfléchir en fait (c'est fatigant), mais je me suis plutôt amusé à faire les choses numériquement, en minimisant l'énergie. Ce n'est pas très concluant, il y a des fois où les pentes semblent sensiblement en progression arithmétique et d'autres pas du tout, mais c'est peut-être un effet d'une mauvaise convergence de l'algorithme d'optimisation.
Donc je ne sais pas. :-DN=20 // nombre de maillons L=1 // écartement des points d'ancrage l=.4 // longueur d'un maillon a=L/l if N*l<L then print(%io(2),'Maillon trop court !') abort end function y=E(u,v) y=(N:-1:1)*v' endfunction function y=F(u,v) y=sum(u)-a endfunction function y=G(u,v) y=sum(v) endfunction // énergie + gradient function [f,g,ind]=chaine(x,ind) u=x(1:N)' v=x(N+1:2*N)' k=u.*u+v.*v-ones(u) f=E(u,v)+p1*(F(u,v)^2+G(u,v)^2)+p2*sum(k.*k) g=[zeros(1:N)';(N:-1:1)'] g=g+2*p1*F(u,v)*[ones(1:N)';zeros(N:-1:1)'] g=g+2*p1*G(u,v)*[zeros(1:N)';ones(N:-1:1)'] g=g+4*p2*[k';k'].*x endfunction // facteurs de pénalisation p1=500 p2=5000 // initial guess if modulo(N,2)==0 then h=sqrt(N^2*l^2-L^2)/2 u0=L*ones(1:N) v0=2*h*[-ones(1:N/2),ones(1:N/2)] x0=[u0';v0']/N else h=sqrt((N-1)^2*l^2-(L-l)^2)/2 u0=(L-l)*ones(1:N)/(N-1) u0((N+1)/2)=l v0=2*h*[-ones(1:(N-1)/2),0,ones(1:(N-1)/2)]/(N-1) x0=[u0';v0'] end //minimisation de l'énergie [fopt,xopt]=optim(chaine,x0) //visualisation clf u=[0;xopt(1:N)] u=l*cumsum(u) v=[0;xopt(N+1:2*N)] v=l*cumsum(v) plot2d(u,v,style=5,frameflag=4) plot2d(u,v,style=-5,frameflag=4) xtitle('Chaine N = '+string(N)) pentes=xopt(N+1:2*N)./xopt(1:N) xset('window',1) clf plot(1:N,pentes,'d') plot([1,N],[pentes(1),pentes(N)]) xtitle('Pentes N = '+string(N)) xset('window',0) -
J'ai eu le tort de penser que les rapports entre les maillons d'une chaînette étaient les mêmes d'une chaînette à l'autre, et cela quelle que soit l'ouverture de la dite chaînette: erreur grossière: ces rapports varient sans cesse: ce qui est valable pour une chaînette démarrant par une pente de 1/3 n'est plus vrai pour une chaînette démarrant par une pente de 1/4. Donc aucune généralisation possible par ce biais. Je commence à penser sérieusement qu'il n'y a aucun salut en dehors du cosinus hyperbolique.. Donc Merci Bernoulli, et Merci Leibniz.
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@ Remarque:
remarque, ta chaine N=20 est du plus bel effet quand on fait défiler l'image, mais elle a quand-même une drôle de tête, t'es sûr que c'est une chaînette? -
> t'es sûr que c'est une chaînette?
What else? Par contre, j'ai mis les masses sur les articulations plutôt que dans les maillons, mais je ne suis pas sûr que cela change grand-chose. -
De toutes façons, je n'ai ni moments ni forces, je minimise l'énergie donc peu me chaut. Ce n'est pas dur de mettre les masses aux centres de gravité des maillons, mais je n'ai pas le temps là (edit : mais ça va certainement modifier l'aspect en particulier tout en bas, en effet).
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Ah, oui,
tu minimises l'énergie, qui dépend fortement de la répartition des masses (peux-tu vraiment résumer un maillon par son centre de gravité ?).
Cordialement. -
Je prends les chose en cours. Dans le cas limite (qui est explicite si je ne m'abuse) la "conjecture des pentes" est-elle vérifiée ?
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@gerard0 : oui si la répartition des masses dans le maillon est symétrique par rapport à son centre. Ceci dit, du coup ça ne change rien à l'énergie à une constante près, sauf que la méthode que j'ai utilisée pour imposer les contraintes par pénalisation + la boîte noire scilab d'optimisation devient sensible au paramètre de pénalisation. Du coup, confiance moyenne dans le résultat. Si j'ai le temps, j'essaierai un algorithme d'Uzawa à la place.
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Bonjour remarque, mimosapopeye et Cie,
Merci à remarque pour son aide et son approche originale par les énergies (potentielles ?)
Je ne comprends pas (encore ?) comment tu as programmé la simulation, mais il est sûr que si l'on suspend une chaîne assez longue entre deux points d'ancrage, les mauillons vont chercher, pour autant que leur liberté de mouvement le permet, la position telle que l'énergie potentielle soit minimale.
Cette énergie potentielle est simplement proportionnelle à la somme des ordonnées des (7) maillons, puisque leurs masses sont égales.
Cette idée de traitement me séduit , mais j'ai du mal à imaginer les calculs sous-jacents qu'imposent la liaison des maillons !
Ainsi, la chaîne à 7 maillons semble respecter à peu près. la progression arithmétique des pentes que j'avais postulée sur d'autres considérations (voir plus loin)
Si les erreurs sont imputables à des imprécisions de calcul, mon modèle reste acceptable, sinon, c'est que l'un de nous deux a fait des erreurs.
En revanche, je ne comprends vraiment pas la suite des pentes (bleue pour la chaîne à 20 maillons : le fait qu'elle soit épisodiquement décroissante signifierait que la chaine tourne parfois sa concavité vers le bas !
En tous cas, je ne vois rien de tel sur le tracé rouge correspondant..
J'essaye aussi d'expliquer mon tracé par les tangentes des angles, (pentes des maillons)
je commence par le maillon horizontal.
Je postule que
i) la composante horizontale de la tension est constante
ii) la masse totale suspendue à l'extrémité de chaque maillon égale la masse de demi-chaine qui se trouve en dessous (on rajoute donc la masse d'un maillon à chaque étape)
Le premier angle avec l'horizontale peut être choisi arbitrairement. en réalité, il dépendra de la longueur de totale de la chaîne et de l'écartement des points d'ancrage.
Avec ce modèle, la somme des trois forces exercées sur chaque maillon est nulle (tension du maillon précédent, tension du maillon suivant, poids du maillon courant).
Mais j'ai un doute, car il me semble que la somme des moments du poids et de la tension du maillon précédent par rapport à l'articulation supérieure n'est pas nulle et que le maillon devrait alors pivoter autour de cette articulation...est-ce à dire que mon postulat i) n'est pas bon ?
@ mimosapopeye : les modèles que tu proposes sont basés sur la seule observation.
remarque et moi essayons de mobiliser nos connaissances en mécanique ou en cinématique pour valider le bon modèle.
Et puis, il me smble assez normal qu'une chaîne composée de 7 ou 20 maillons rectilignes rigides s'écarte sensiblement du modèle théorique de la chaînette y= cosh(x) de Messieurs Leibniz et Bernoulli, puisque la corde souple s'arrondit près de son point le plus bas. Ainsi, au voisinage de ce point, chaque arc de courbe est notoirement plus long que sa corde
Réciproquement, si tu prends des arcs de courbes de longueurs égales, ce sont les cordes qui deviendraient inégales. La chaîne à maillons rigides ne formera un dessin proche de la chaînette de Bernoulli que si elle compre un grand nombre de maillons, que les points d'ancrage sont bien écartés et que tu la regardes de loin, de sorte que les maillons puissent être considérés de très petite longueur...
Je pars bientôt en vacances, mais le sujet me passionne. Continuez, si vous êtes motivés, je voudrais bien que nous arrivions à résoudre ce problème.
Et si un mécanicien veut nous rejoindre, il sera le bienvenu.....
Amicalement. jacquot
PS, le temps que je tape, gerard0 et H nous ont rejoints. Bienvenue au club !(tu) -
Entre la statique analytique de Remarque et celle un peu pifométrique de MimosaPopeye, il y a place pour la statique graphique de nature plus géométrique.
Je pense en particulier au livre d'Eugène Rouché: Elements de Statique Graphique, publié en 1889 chez Baudry à Paris.
C'est bien le Eugène Rouché du fameux livre de géométrie de Rouché-Comberousse ou du non moins autrefois fameux théorème de Rouché-Fontenay!
Peut-être peut-on le consulter dans les bonnes bibliothèques ou le lire en version numérisée ou bien plus simplement le commander sur Amazon, pourquoi pas?
En tout cas, bonne lecture avec les courbes funiculaires!
Plus prosaïquement, je serais heureux de voir un bilan du torseur des forces agissant sur une chaine formée de trois maillons pour commencer!
Amicalement
Pappus -
(tu) Bonjour pappus.
@ H :
Oui la "conjecture de la progression aritmetique des pentes est validée pour le cas limite de la chainette $ y = \cosh (x) $:
En effet,
À l abscisse x, la longueur de chaînette déployée depuis son "milieu" est $\sinh (x) $ qui est aussi la pente de la tangente à la courbe en ce point. B-) -
Bon,soir,
Je me réjouis de la participation de tous.
L'observation formulée ci-dessus par gerard0 me paraît très pertinente et sa discussion avec remarque elle m'a donné à réfléchir:
Si la masse de chaque maillon est concentrée sur son centre de gravité et que ces perles sont équidistantes (réparties sur un fil de masse négligeable), nous n'avons plus à nous embarasser de moments: le bilan des 3 forces exercées sur chaque perle est suffisant et ma conjecture des pentes en progression arithmétique pourra être validée.
En revanche, pour une chaîne constituée de baguettes rectilignes articulées, remarque a raison: un peut concentrer la masse de chaque baguette sur son milieu pour le calcul de l'énergie potentielle, mais ces milieux ne seront pas équidistants: ils se rapprochent quand l'angle des baguettes est plus marqué.
Le schéma d'équilibre de cette chaîne-là peut donc être sensiblement différent de celui du collier de perles.... remarque semblait dire que c'est pareil, je ne suis pas d'accord, et à présent, je pense que ma conjecture des pentes en progression arithmétique ne conviendra pas pour cette chaîne-là. La forme des maillons a donc son importance, sauf s'ils sont nombreux, petits et que la chaîne est plutôt tendue.
pappus nous proposait de nous intéresser à une chaîne de trois maillos...là c'est un peu vite vu, mais pour comprendre exactement ce qui se passe des chaînes de 5 ou 7 maillons me semblent être dignes d'intérêt.
@ suivre, amicalement. jacquot -
Mon cher Jacquot
Je ne comprends pas pourquoi tu dis que dans le collier de perles, on a pas à s'embarasser de moments?
Suggèrerais-tu que dans ce cas le moment du torseur des forces agissant sur le collier serait automatiquement nul?
Si je comprends bien, on peut négliger la masse des objets, (fils ou barres solides?), reliant les perles?
Amicalement
Pappus
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