Mmm, oui mais seulement si on l'a convenablement formé aux torseurs (mais pappus nous dira que cela n'existe plus depuis longtemps à la maternelle). B-)-
Un torseur, deux torseurs, trois torseurs,..et ta soeur, font une chaînette.. (comptine à la Maternelle).
Allo Remarque mes escarpins de cristal se transforment encore une fois en vieilles savates nauséabondes et malodorantes, mon carrosse en citrouille... Je disparais, je m'évanouis dans un sombre néant, je me meurs, eur<eur<eur<...(c'est l'écho lugubre de la *chaîne** maudite qui servit à nous pendre... endre<endreu<endreuh...
Adiou ciao, Remarque, à bientôt j'espère
Jacquot, je suis là. Je vais exploser l'ordi, mais c'est trop important: je viens de voir que la courbe du cosinus hyperbolique (du moins celle dessinée par GeoGebra) ne cadre pas avec les courbes des progressions arithmétiques de raison 1 et 2 , progressions que nous avons trouvées concernant les chaînettes (je continue à dire chaînettes, et non chaînes, parce que dans une chaînette à maillons les articulations entre maillons sont sur une chaînette, je ne fais donc aucune différence).
Les deux courbes ne coïncident pas: il y a un problème: ou notre théorie est fausse, ou bien alors c'est la chaînette qui n'est pas un cosinus hyperbolique... Si la chaînette n'est pas un cosinus hyperbolique, on va rentrer, toi, Remarque et moi, dans l'Histoire des Maths..
Je viens de lire dans wikipédia que " Dans le cadre de la relativité restreinte, le calcul des transformations de Lorentz fait appel à la fonction cosinus hyperbolique"... Tu te rends compte, Jacquot, on est en train de remettre en cause et revisiter les transformations de Lorentz, et la relativité restreinte d'Einstein, rien que ça... A nous la gloire, les honneurs, la médaille fields, et une rente d'état de 10000 louis d'or annuels versés par le roi hollande...
Le cosinus hyperbolique est peut-être une escroquerie intellectuelle.. Les moutons de Panurge suivent, les yeux fermés, direction le ravin..
S'il s'avère que le cosinus hyperbolique est une escroquerie, alors le sinus hyperbolique et la tangente hyperbolique le seront aussi..
Il n'y a ni escroquerie, ni révolution.
Nous savions que les articulations d'une chaîne ne se trouvent pas excactement sur une chaînette. Les animations de remarque l'avaient déjà mis en évidence. Revoir, par exemple, celle ci
La chaîne ne fournit une bonne approximation de la chaînette que si les maillons sont petits et nombreux, ou encore seulement si la pente du premier maillon est très petite.
Amicalement. jacquot
Pas convaicu du tout: les articulations de toutes les chaînes à maillons coïncident parfaitement avec une chaînette..
C'est une affirmation gratuite: tu viens justement de remarquer que ce n'est pas vrai:
Pour comprendre pourquoi le tracé de la chaîne à maillons rectilignes s'écarte de celui de la chaînette idéale, il faut se rappeler que sa position d'équilibre est régie par le poids des maillons et le forces de tension.
Si les sommets de la chaîne étaient exactement sur la chaînette, le poids de chaque maillon serait égal à celui de l'arc de courbe qu'il sous-tend. Tous ces arcs de courbes devraient donc avoir la même masse
Or le rayon de courbure de la chaînette n'est pas constant: les arcs de courbe sous-tendus sont un peu plus longs, donc un peu plus lourds dans la partie basse de la chaînette.
Mais si tu prends des tout petits maillons, les arcs de courbe seront tous de longueur presque égale.
J'ai déplacé ton dernier message dans l'autre discussion : celle-ci est déjà assez décousue comme ça. Il n'est pas souhaitable que nous y débattions encore de la trisection de l'angle...;-). jacquot
L'excellent argument d'équilibre des maillons vs. équilibre des bouts de chaînette de jacquot m'a incité à reprendre les animations antérieures en y ajoutant la chaînette de même longueur et accrochée aux mêmes points que la chaîne. Je pensais que ça se ferait les doigts dans le nez, mais en fait ça m'a demandé plus d'ingéniosité que le reste...
Jacquot, je comprends ce que vous voulez dire, toi et Remarque, mais vous êtes tous les deux dans l'erreur.
"Le poids de chaque maillon serait égal à celui de l'arc de courbe qu'il sous-tend": d'abord, dans le cas d'une chaîne à maillons, l'arc de courbe que sous-tend un maillon est virtuel, et n'a donc aucune masse; ensuite, si tu tiens absolument à lui donner une masse, alors dans ce cas-là tu compares deux objets qui n'ont pas la même longueur, tu fais un amalgame entre la longueur x d'une chaîne à maillons, et la longueur y d'une chaînette qui recouvrirait les points d'articulation de la chaîne à maillons: le poids d'une longueur x diffère du poids d'une longueur y, il n'y a rien d'anormal là-dedans. D'ailleurs, quand tu donnes la même longueur à la chaîne et à la chaînette, comme l'a fait Remarque dans ses animations, ça ne colle plus: vous comparez deux choses incomparables.
"La position d'équilibre est régie par le poids des maillons": oui, mais la position d'équilibre dont tu parles est surtout et avant tout un rapport, la résultante d'un rapport, et d'un rapport qui reste le même quel que soit le nombre de maillons de la chaîne.. Donc la position d'équilibre est toujours régie par un même rapport (rapport qui en fait n'est autre que la raison de la progression arithmétique des tangentes des pentes).. CQFD ??
Jacquot, tu ne peux pas mettre en parallèle le poids des maillons et le poids des arcs: c'est plus compliqué que tu ne le penses: les moments ne sont pas les mêmes selon la position des couples (les écarts de poids sont compensés par le moment du couple) ..
> D'ailleurs, quand tu donnes la même longueur à la chaîne et à la chaînette, comme l'a fait Remarque dans ses animations, ça ne colle plus: vous comparez deux choses incomparables.
Tu pousses un peu, c'est exactement le contraire : elles sont éminemment comparables. Dans tous les cas, il est clair (mais c'est sans doute difficile à montrer) qu'aucune chaînette de quelque longueur qu'elle soit ne passe exactement par la position des articulations entre maillons d'une chaîne. D'ailleurs pourquoi te focaliser sur les articulations et pas sur les centres de gravité des maillons ? Ou sur les barycentres entre deux articulations construits sur la progression des nombres premiers ?
L'argument de jacquot est correct. Edit : mmmmm, finalement tu n'as peut-être pas tort sur l'aspect couple, il faudrait creuser un peu plus peut-être. Sans aucune chance que cela ne change le résultat.
Bonjour,
J'approuve en tous points la réponse de remarque :
Il n'y a pas de raison que les articulations d'une chaîne se trouvent exactement sur une chaînette, mais , si les maillons sont très petits, ils se trouveront très près d'une chaînette donc leurs articulations aussi.
Je suis d'accord aussi pour ce qui concerne les moments: l'objection est recevable, j'avais répondu rapidement, à l'emporte-pièces, mais il n'y a pas de raison qu'ils "compensent" exactement les écarts de poids, à moins que mimosapopeye ne sache nous le prouver !
Je commence à me demander qu'est-ce qui t'anime, mimosapopeye ?
Apparemment, tu voudrais trouver une construction exacte de la chaînette ou de ses points avec règle et compas.
Avec la progression arithmétique des pentes, nous t'avons fourni une construction approximative de bonne qualité.
Mais quant à une construction exacte, je ne suis pas sûr qu'elle soit possible, puisque le cosinus hyperbolique est une fonction transcendante.
Faudrait peut-être étudier le texte de Leibniz que tu as cité au début de la discussion, mais apparemment, tu penses que c'est trop compliqué.
J'essaye donc d'étudier un peu plus précisément la construction de Leibniz.
Grosso modo, j'ai l'impression qu'il décrit d'abord l'obtention de la courbe verte qu'il appelle "logarithmique". En fait, il s'agit d'une exponentielle.
Connaissant le point A et le point $_3\xi$, il peut trouver une flopée d'autres points par moyennes arithmétique et géométrique:
Nous savons bien que $e^{\frac {a+b}2}=\sqrt {e^a\times e^b}$.
Ensuite la chaînette rouge sera obtenue par moyennes arithmétiques des ordonnées de points d'abscisses opposées à l'instar de ce que j'expliquais ici, page 1.
Mais, comme nous le remarquions avec soland, il n'existe qu'une seule chaînette, aux homothéties près, donc la courbe verte est, à une homothétie près, une exponentielle de base e
Ainsi, je ne comprends pas bien comment Leibniz obtient le bon calibrage de cette exponentielle grâce à ses segments D et K (d'où les sort-il ?).
D'ailleurs, au début de son texte, il écrit que $OA$ est "un segment perpendiculaire égal à $O\ _3N$ ce qui n'est manifestement pas le cas sur sa figure...
Remarque, mon observation était un peu abrupte, pardonne-moi. Tes animations sont à la fois belles et instructives. Pourquoi les articulations plutôt que les centres de gravité ou les barycentres ?: parce que les articulations viennent toutes seules, et qu'ensuite pour être honnête j'aurais grand mal à positionner des centres de gravité et des barycentres.
Jacquot, ta tentative de décryptage du grimoire de Leibniz est louable, mais on ne tirera rien de cet obscur parchemin..
Revenons à nos propres et chers moutons: progression arithmétique vs cosinus hyperbolique..
Ce qui m'anime, c'est simple: essayer de comprendre.
La progression arithmétique des pentes me remplit de bonheur (n'efface pas le message), c'est tellement simple, tellement limpide, presque effayant..
Tu dis que c'est une construction approximative de bonne qualité: je te trouve encore une fois bien modeste: cette construction est peut-être tout bonnement la vraie, la plus exacte qui soit, la seule et la plus optimale..
Or il se trouve que les progressions arithmétiques et le cosinus hyperbolique ne sont pas copains. Pour éluder cette mésentente entre eux, vous invoquez, toi et Remarque, une différence de nature entre les chaînes à maillons d'un côté, qui seraient multiples, et la chaînette d'un autre côté .. Et moi je dis que les unes et les autres ne font qu'un: ce sont toujours les mêmes: il n'y a qu'une seule et même chaînette, comme il n'y a qu'une seule et même parabole..
Du coup, si les progressions arithmétiques des pentes d'une chaîne, ou chaînette (il n'y a aucune différence), sont exactes, alors le cosinus hyperbolique, lui, est obligatoirement inexact, puisqu'il ne colle pas avec les progressions...
Je comprends votre réticence: ce que j'avance est comme un crime de lèse-majesté à l'égard de nos anciens.. Mais si c'était vrai? Faudrait-il, par faux respect envers nos maîtres, continuer à traîner des constructions fausses, et des erreurs néfastes qui faussent nos calculs?
Je suis évidemment incapable de prouver que les moments compensent les écarts de poids.. Je marche à l'intuition.
C'est pourquoi je demande aux esprits de Pappus, de Soland, et des autres sommités agrégées du forum, de se manifester, et de nous éclairer (avec simplicité si possible) ..
Alors dans ce cas, prenons la chaînette universelle (à homothétie près), $y=\mathrm{ch}\,x-1$. Pour toute raison $r>0$, traçons les deux premiers maillons partant du bas en supposant que leurs articulations sont sur la chaînette (il s'agit de MH, the mimosapopeye hypothesis). Les coordonnées de la première articulation sont $(x_1,rx_1/2)$ et celles de la seconde $(x_2, rx_1/2+2r(x_2-x_1))$ (je prends le cas d'une chaîne à nombre pair de maillons pour fixer les idées). Ceci donne pour les deux premières longueurs
$$l_1^2=\Bigl(1+\frac{r^2}4\Bigr)x_1^2\hbox{ et }l_2^2=(1+4r^2)(x_2-x_1)^2.$$
La difficulté est que $x_1$ et $x_2$, et donc $l_1$ et $l_2$, dépendent de $r$ de façon compliquée via les équations implicites
\begin{align*}
r\frac{x_1}2&=\mathrm{ch}\,x_1-1\\
r\frac{x_1}2+2r(x_2-x_1)&=\mathrm{ch}\,x_2-1.
\end{align*}
J'ai la flemme d'aller plus loin, mais je veux bien subir toutes sortes d'outrages si la MH est vraie, c'est-à-dire si $\frac{l_1^2(r)}{l_2^2(r)}=1$ pour tout $r$, voire même pour un seul $r>0$.
Un petit calcul de développements limités semble montrer que $x_1(r)\sim r$ et $x_2(r)\sim 3r$ au voisinage de $r=0$, si bien que $\frac{l_1(r)}{l_2(r)}\to\frac12$ quand $r\to 0$. La MH est singulièrement mise à mal.
Je ne suis pas bien tes calculs, remarque.
Si $\ell_1$ et $\ell_2$ sont les longueurs des deux premiers maillons, on a bien $\lim_{r\to 0}\dfrac {\ell_1}{\ell_2}=1$, mais je crois que cette limite est approchée de façon asymptotique.
J'ai préféré faire un dessin que de calculer:
Le segment $AB$ a une pente de $r/2$, le segment $BC$ a une pente de $3r/2$ ;
leurs longueurs sont respectivement $a$ et $b$.
Le point $M$ a pour coordonnées $(a ; 10 \frac {b-a}a )$ (son ordonnée est l'erreur relative multipliée par 10)
La courbe décrite par M lorsque $a$ varie corrobore ce que je me tue à répéter à mp depuis quelques temps: La chaîne fournit une bonne approximation de la chaînette.
Cette approximation devient excellente si les maillons sont petits et la pente du premier est petite.
Mais je pense comme toi qu'on n'aura jamais la coïncidence parfaite.
Bien sûr, la trajectoire de M semble confondue avec l'axe des abscisses pour $a<0,2$
Mais j'ai fait des zoom en multipliant l'erreur relative par 1000 pour vérifier son comportement asymptotique.
Je remets de valeurs (espérons) plus correctes. Les coordonnées de la première articulation sont $(x_1,rx_1/2)$ et celles de la seconde $(x_2, rx_1/2+3r(x_2-x_1)/2)$. Ceci donne pour les deux premières longueurs
$$l_1^2=\Bigl(1+\frac{r^2}4\Bigr)x_1^2\hbox{ et }l_2^2=\Bigl(1+\frac{9r^2}4\Bigr)(x_2-x_1)^2,$$
avec
\begin{align*}
rx_1/2&=\mathrm{ch}\,x_1-1\\
r(3x_2/2-x_1)&=\mathrm{ch}\,x_2-1.
\end{align*}
Ce qui donne $x_1\sim r$ et $x_2\sim 2r$ au voisinage de $0$, d'où
$$\frac{l_1(r)^2}{l_2(r)^2}\sim\frac{4+r^2}{4+9r^2}<1$$
pour $r>0$ (je sais que je n'ai pas droit au $\sim$ pour la dernière relation 8-), mais je n'ai pas envie de faire des vrais DL).
Bon, j'ai encore dû me tromper quelque part, car en faisant un calcul avec scilab*, j'obtiens le résultat contraire avec un rapport $>1$, qui est d'ailleurs plus en cohérence avec le caractère surlinéaire du cosinus hyperbolique. Il est temps d'arrêter...
* c'est peut-être ce calcul qui est faux, bien sûr... :-D
Remarque, nous ne te ferons subir aucune sorte d'outrage. Ni les premiers, ni même les derniers, on t'aime trop pour ça.
Jacquot, effectivement, la courbe décrite par un cosinus hyperbolique est une excellente approximation des chaînes à maillons, et de la véritable chaînette ..
On attend toujours l'avis éclairé et éclairant des grands pontes du forum: la question est: le cosinus hyperbolique décrit-il exactement la chaînette ?
Coucou,
@ remarque: tes calculs sont douteux:
Comment passes-tu de $\frac 3 2 r(x_2-x_1)=\mathrm{ch}x_2 -\mathrm{ch}\ x_1$
à $r(3x_2/2-x_1)=\mathrm{ch}\ x_2-1$ ?
Et d'où sors-tu ceci: $x_1\sim r$ et $x_2\sim 2r$ au voisinage de $0$ ?
Par ailleurs GeoGebra me montre que le développement limité d'ordre 2 $\
\mathrm{ch}\ x \sim 1+x^2/2$ au voisinage de 0 ne donnera rien de probant (là $\ell_2>\ell_1$), il faudra vraisemblablement aller au rang 4 $\
\mathrm{ch}\ x \sim 1+x^2/2+x^4/24$ :-(
Je n'ai pas le courage.
@ mimosapopeye: ta dernière question est vraiment désarmante : il est temps de faire un peu plus confiance au génie de Leibniz. L'équation de la chaînette s'obtient par la résolution d'une équation différentielle à partir de considérations physiques (Voir la discussion équadiff pour une chaînette).
J'ai l'impression que tu ne veux pas entendre parler du cosinus hyperbolique parce que tu n'as pas bien compris cette méthode.
@ tutti : quelqu'un saurait-il m'éclairer sur le calibrage de la courbe exponentielle sur la figure de Leibniz ? (Voir ce message plus haut, le texte afférent est mis en lien dans le message précédent).
@ jacquot, que mes calculs soient douteux ne fait aucun doute. :-D Pour la première question, je remplace $\mathrm{ch}\,x_1$ par $rx_1/2$. Pour la deuxième, je remplace le cosinus hyperbolique par son développement limité en $0$. Mais il faut clairement faire un vrai développement limité, pas des équivalents douteux.
(tu) Merci, en remplaçant $\mathrm{ch }x_1$ par $1+\frac r 2$ je te suis pour l 'égalité et pour l'obtention des équivalences grossières.
Mais la figure GeoGebra ci-dessous montre que le DL d'ordre 2 n'est pas concluant puisque , E étant placé sur $y=1+x^2/2$, on a $\ell_1<BE$ alors qu'en réalité $\ell1 > \ell_2$
@ jacquot : je viens de faire le développement limité des $x_i$ à l'ordre trois. Cela ne suffit pas, les longueurs sont égales à l'ordre qui en découle (cad pour les longueurs au carré, l'ordre 4). Il faut donc prendre le développement du ch jusqu'à l'ordre 6 ou bien dériver les équations implicites jusqu'à l'ordre 5 (au minimum). C'est consistant avec les calculs scilab, le rapport des longueurs est très plat au voisinage de $r=0$.
Je donne quand même les résultats : $x_1(r)=r-\frac{r^3}{12}+O(r^4)$, $x_2=2r-\frac{7r^3}6+O(r^4)$, d'où malheureusement $l_1^2=r^2+\frac{r^4}{12}+O(r^5)$ et $l_2^2=r^2+\frac{r^4}{12}+O(r^5)$.... C'est plus pénible que prévu.
Edit: correction, il y avait un $-$ évidemment à comprendre au sens de $+$.
T'en fais pas une obligation !
Je ne suis pas sûr que mp voudra entendre des arguments d'ordre 6 ;-)
Pour ma part, je suis plus motivé par le décryptage du texte de Leibniz..
C'est juste une question d'obstination. Finalement
$$\frac{l_1^2}{l_2^2}=\frac{1+\frac{r^2}{12}+\frac{r^4}{720}+O(r^5)}{1+\frac{r^2}{12}-\frac{12619r^4}{4560}+O(r^5)}>1$$
pour $r>0$ petit ! Yesss.
Evidemment, confiance zéro dans ce résultat obtenu à la main... :-D
Une chainette n'est qu'une progression géométrique: nul besoin de cosinus hyperbolique pour la définir. On peut construire une chainette à la règle et au compas.
Pour une "chainette de raison 3/4, les angles [par rapport à la verticale] sont (en grades) 100, 100*(3/4), 100*(3/4)^2,100*(3/4)^3,100*(3/4)^4, etc.
Or " l'analyse me dépasse " nous dit mimosapopeye. Voyons donc ce que donne l'algèbre. Nous considérons un engin articulé à cinq branches. On appelle $\left(\pm x_{2},y_{2}\right)$ les coordonnées des ancrages et $\left(\pm x_{1},y_{1}\right),\,\left(\pm x_{0},y_{0}\right)$ les coordonnées des articulations. L'objectif est de minimiser l'énergie potentielle \[ W_{pot}=\sum w_{j}=\frac{y_{0}+y_{1}}{2}+\frac{y_{1}+y_{2}}{2}+y_{2}+\frac{y_{1}+y_{2}}{2}+\frac{y_{0}+y_{1}}{2} \] sachant que \begin{eqnarray*} \left(x_{0}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{0}-y_{1}\right)^{2} & = & L\\ \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2} & = & L\\ \left(x_{2}-\left(-x_{2}\right)\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{2}\right)^{2} & = & L \end{eqnarray*}
Comme une chainette est suspendue par des points de suspension fixés $\left(\pm x_{n},\, y_{n}\right)$, le problème se ramène à minimiser $2\,y_{0}+2\,y_{1}$. On en déduit que tous problèmes avec des tiges massives (rigides) identiques et des articulations massives (parfaites) identiques sont équivalents, quelque soit la répartition des masses entre les tiges et les articulations (remarque déjà faite par remarque).
On introduit la fonction de Lagrange: \[ \mathcal{L}=\left(4\, x_{0}^{2}-L\right)c_{0}+2\,\left(\left(x_{0}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{0}-y_{1}\right)^{2}-L\right)c_{1}+2\,\left(\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}-L\right)c_{2}+2\, y_{0}+2\, y_{1} \] et on dérive (rappelons que la dérivation d'un polynôme n'est pas une effrayante opération analytique, mais une banale opération algébrique). Et cela fournit $7$ équations pour 10 lettres. Usuellement, $\left(L,x_{n},y_{n}\right)$ sont considérés comme connus et servent à paramétrer le problème. Mimosapopeye nous propose de paramétrer par $\left(L,t,y_{n}\right)$ en posant $t=\left(y_{1}-y_{0}\right)\div\left(x_{1}-x_{0}\right)$. Pourquoi pas!
On commence par résoudre les équations du premier degré. Cela donne: \[ c_{0}=\dfrac{1}{4\, tx_{0}},\, c_{1}=\dfrac{1}{2t\left(x_{1}-x_{0}\right)},\, c_{2}=\dfrac{1}{2t\left(x_{2}-x_{1}\right)},y_{2}=0,y_{1}=2\, t\left(x_{1}-x_{2}\right),y_{0}=2\, t\left(x_{1}-x_{2}\right)+t\left(x_{0}-x_{1}\right) \] Le moins que l'on puisse dire est que l'on constate une certaine régularité. Nous avons: \[ c_{j}=\frac{1}{2t\,\Delta x}\;;\;\left(y_{j+1}-y_{j}\right)=j\times t\left(x_{j+1}-x_{j}\right) \] Et il n'est pas bien compliqué de montrer que ces formules s'appliquent à toutes les chainettes ayant un nombre impair de tiges: passer de $2n+1$ à $2n+3$ introduit trois variables de plus: $x_{n+1},y_{n+1},c_{n+1}$ et les équations en $y_{n+1}$et $c_{n+1}$ sont du premier degré: la récurrence est immédiate.
Ceci règle le sort de la deuxième affirmation: les pentes sont en progression arithmétique (comme il est bien connu depuis Leibnitz) et donc les angles ne sont pas en progression géométrique. Prétendre justifier cette affirmation par le fait que tangente et angle sont proportionnels tant qu'ils sont infinitésimaux est une escroquerie pure et simple, équivalente à prétendre qu'un prêt à intérêt composé équivaut à un prêt à intérêt simple sous prétexte que la première année cela donne la même chose, et que la deuxième année ce n'est pas très différent.
Voyons maintenant ce que donne la construction de proche en proche qui nous a été proposée. Une fois revenu aux équations correctes, cela revient à utiliser la succession d'équations: $4\, x_{0}^{2}=L,\quad\forall j>0:\,\left(j^{2}t^{2}+1\right)\left(x_{j}-x_{j-1}\right)^{2}=L$. Mais ceci ne fournit une construction à la règle et au compas que si la pente élémentaire $t$ est connue.
Et cela est une deuxième escroquerie. Lorsque l'on attache une chaine à ses points de suspension, ce qui est connu ce n'est pas la pente élémentaire résultante, mais l'écartement des ancrages (ici $2x_{2}$, pour 5 maillons). Avec trois maillons, l'élimination de toutes les autres inconnues conduit à: \[ \left(4\, x_{1}^{2}-L\right)^{2}t^{4}+2\,\left(16\, x_{1}^{4}-24\, Lx_{1}^{2}-3\, L^{2}\right)t^{2}+\left(4\, x_{1}^{2}-L\right)\left(4\, x_{1}^{2}-9\, L\right) \] équation bicarrée et donc constructible. Avec cinq maillons, on obtient: \begin{multline*} E_{16}\left(t\right)=256\,\left(4\, x_{2}^{2}-L\right)^{4}t^{16}+1280\,\left(16\, x_{2}^{4}-24\, Lx_{2}^{2}-3\, L^{2}\right)\left(4\, x_{2}^{2}-L\right)^{2}t^{14}\\ +32\,\left(21248\, x_{2}^{8}-63744\, Lx_{2}^{6}+33696\, L^{2}x_{2}^{4}-1616\, L^{3}x_{2}^{2}+363\, L^{4}\right)t^{12}\\ +80\,\left(2368\, x_{2}^{6}-8880\, Lx_{2}^{4}+5244\, L^{2}x_{2}^{2}-217\, L^{3}\right)\left(4\, x_{2}^{2}-L\right)t^{10}\\ +\left(491776\, x_{2}^{8}-2458880\, Lx_{2}^{6}+2557792\, L^{2}x_{2}^{4}-848592\, L^{3}x_{2}^{2}+33489\, L^{4}\right)t^{8}\\ +20\,\left(9472\, x_{2}^{8}-56832\, Lx_{2}^{6}+72480\, L^{2}x_{2}^{4}-28480\, L^{3}x_{2}^{2}+1137\, L^{4}\right)t^{6}\\ +2\,\left(21248\, x_{2}^{8}-148736\, Lx_{2}^{6}+224928\, L^{2}x_{2}^{4}-90512\, L^{3}x_{2}^{2}+7355\, L^{4}\right)t^{4}\\ +20\,\left(16\, x_{2}^{4}-120\, Lx_{2}^{2}+165\, L^{2}\right)\left(4\, x_{2}^{2}-L\right)^{2}t^{2}+\left(4\, x_{2}^{2}-L\right)^{2}\left(4\, x_{2}^{2}-9\, L\right)\left(4\, x_{2}^{2}-25\, L\right) \end{multline*}
Je ne doute pas un instant que $E_{16}\left(t\right)$ puisse se résoudre par une tour d'extensions quadratiques, mais je demande à voir. Plus généralement, quelles sont les équations dont les pentes seraient solution ? Quelle serait la décomposition de ces équations en une succession d'équations du second degré en partant des deux données naturelles que sont la longueur de la chaine et l'écartement des ancrages?
Si l'on s'intéresse aux chaines avec un nombre pair de maillons, on obtient des résultats analogues, à ceci près que les pentes sont les multiples impairs de la pente élémentaire. Le "contenu physique" de ce résultat est tout entier contenu dans le fait que l'énergie potentielle à minimiser est $2\,y_1 +2\,y_2 +y_3$ pour six maillons (et donc 5 articulations).
Ci-dessous une figure, avec trois chaines de même longueur $6\sqrt{2}$ et le même écartement des ancrages ($\Delta x=4$). En trait continu, la chainette souple selon l'équation de Leibnitz. En bleu, la chaine à six maillons et en magenta, la chaine à sept maillons.
Question: déterminer et comparer l'énergie potentielle des trois configurations (prendre comme référence l'énergie de la chaine lorsqu'elle est toute entière à la hauteur des ancrages).
Question subsidiaire. Pour la chaine à sept maillons, l'équation en $t$ est de degré $48$ avec, pour l'exemple numérique, les quatre racines réelles suivantes: \[ \pm1.398882465132293903,\pm0.503453895987062115 \] Les valeurs $\pm1.4$ sont les pentes à gauche et à droite de la tige horizontale. Quelle interprétation donner aux valeurs $\pm0.5$ ?
Evidemment, confiance zéro dans ce résultat obtenu à la main... :-D
Je confirme... que tu t'es trompé.
Je trouve :
$x_1=r-\frac{r^3}{12}+\frac{13}{720}r^5+O(r^7)$ donc $\ell_1^2=r^2+\frac{r^4}{12}+\frac{r^6}{720}+O(r^8)$
puis :
$x_2=2r-\frac{7}{6}r^3+\frac{553}{360}r^5+O(r^7)$ donc $\ell_2^2=r^2+\frac{r^4}{12}-\frac{479}{720}r^6+O(r^8)$
Et finalement : $\frac{\ell_1^2}{\ell_2^2}=1+\frac{2}{3}r^4+O(r^6)>1$ si $r$ est suffisamment petit.
Mais bon, la conclusion reste la même... alors on peut pardonner une erreur sur un coefficient à l'ordre 6
PS : J'avoue avoir sorti la TI pour faire les calculs... mais c'est moi qui l'ai programmée pour calculer les DL de fonctions réciproques et les DL de fonctions implicites... alors ça compte, non ?
Merci et bienvenue aux nouveaux contributeurs, peut-être lecteurs silencieux jusque-là de cette longue discussion.
@ pldx1 : remarquable exploitation de l'énergie potentielle.
Pour la comparaison de cette énergie suivant le nombre de maillons, sans calcul, je conjecture qu'elle décroît avec le nombre de maillons. En tous cas c'est sûr pour le passage d'une chaîne de $n$ maillons à une chaîne de $2n$ maillons puisque si chacun des maillons de la première était doté d'une articulation en son milieu, la chaîne utilisera ce degré de liberté supplémentaire pour minimiser son énergie potentielle.
Pour l'interprétation des $\pm 0,503..$ des solutions de l'équation aux pentes de la 7-chaîne, je sèche :-S
@ bisam : mon GeoGebra confirme ton résultat $\dfrac {\ell_1^2}{\ell_2^2}=1+\frac 2 3 r^4+ O(r^6)$
Ainsi, pour $x_1 = 0,15$, il affiche $r= 0,15028$ et $\dfrac {\ell_1^2}{\ell_2^2}=1,00033$, conforme à $1+\frac 2 3 r^4$ le calcul à la dernière décimale près.
Merci aussi à remarque pour sa patience et sa persévérance.
jacquot
mp @ pldx1.
Pdlx1, pourquoi insinues-tu par deux fois que je suis un escroc, alors que je ne fais que poser des questions sans rien affirmer de définitif ?
Tes calculs ont beaucoup d'allure, beaucoup de panache, mais ne m'ont pas convaicu.. Je suis d'accord pour l'écartement des ancrages: il faut qu'ils soient les mêmes pour pouvoir comparer le cosh de Leibniz avec des chaînes à maillons.. Là où je ne te suis pas, c'est dans l'obligation d'avoir la même longueur pour les trois chaînes: il est clair que les articulations d'une chaîne à maillons ne pourront se positionner sur la courbe d'une chaînette physique souple, que si les deux chaînes en question ont une longueur différente: la concordance n'est pas possible autrement ..
Par les points bleus de ta figure on peut faire passer une chaînette physique souple réelle, qui ne sera pas le cosh de Leibniz.. Idem pour les points magenta de la chaîne à sept maillons.. Est-ce trop te demander de refaire tes calculs en intégrant cette optique ?
Tu dis par ailleurs qu'il est bien connu depuis Leibniz que les pentes des chaînes à maillons sont en progression arithmétique: je te défie de nous fournir un exemple certain de cette connaissance dans le passé (texte, illustration, ou même simple allusion) avec les termes "pentes des maillons en progression arithmétique" .. Je sens qu'on va attendre longtemps..
Amicalement, (sans la moindre velléité d'escroquer quiconque) ..
@ bisam : merci ! (tu) Je ne m'en sors pas si mal avec un seul coefficient faux à la fin (il y en a peut-être d'autres faux en cours de route qui ont été rejetés dans les restes, donc personne n'en saura jamais rien, héhéhé). :-D
@ mimosapopeye : mon calcul (corrigé par bisam) montre que les points d'articulation ne peuvent se trouver sur aucune chaînette, quelle que soit sa longueur.
@mimosapopeye
Dans ma façon de voir les choses, un escroc est quelqu'un qui commet volontairement une escroquerie dans le but d'en tirer un bénéfice. Et donc, je ne suggère pas que tu sois un escroc. Je ne suggère pas non plus que tu sois un prestidigitateur. Car un prestidigitateur est quelqu'un qui réussit des tours de passe-passe sans que l'on voie où est l'arnaque. Si l'une des trois expressions "escroquerie", "arnaque", "tour de passe-passe" te convient plus qu'une autre, il suffit que tu le dises, je corrigerai mon message.
@ sur le fond: "Par les points bleus de ta figure on peut faire passer une chaînette physique souple réelle, qui ne sera pas le cosh de Leibniz". J'ai l'impression que tu affirmes deux choses en même temps.
(1) par les points bleus (de la chaine à six maillons de longueurs égales) on peut faire passer une chainette souple (d'une longueur ou une autre)
(2) il peut exister une chainette souple, physique, réelle, qui ne soit pas un $y/k=\cosh(x/k)$ de Leibniz.
Pour ce qui est du (2) on part du fait que les pentes sont proportionnelles à la longueur de la chaine entre le bas et le maillon considéré. Cela est vrai pour les chaines à nombre pair de maillons et aussi pour les chaines à nombre impair de maillons. On passe à la limite et on a: la pente en un point de la chainette est proportionnelle à la longueur depuis le bas. L'interprétation physique est: la pente est proportionnelle à la masse depuis le bas, mais on suppose depuis le début que les densités sont constantes (tiges de mêmes masses et mêmes longueurs, articulations de mêmes masses). On a donc, en comptant les abscisses depuis le point bas:\[ y'\left(x\right) = k\,\, \int_0^{z=x}\sqrt{1+\left( y'(z) \right)^2} \,\,\mathrm{d}z \]
Du coup, si les progressions arithmétiques des pentes d'une chaîne, ou chaînette (il n'y a aucune différence), sont exactes, alors le cosinus hyperbolique, lui, est obligatoirement inexact, puisqu'il ne colle pas avec les progressions...
Je comprends votre réticence: ce que j'avance est comme un crime de lèse-majesté à l'égard de nos anciens.. Mais si c'était vrai? Faudrait-il, par faux respect envers nos maîtres, continuer à traîner des constructions fausses, et des erreurs néfastes qui faussent nos calculs?
Du coup, puisque les progressions arithmétiques des pentes d'une chaîne, ou chaînette (il n'y a aucune différence), sont exactes, alors le cosinus hyperbolique, lui, est obligatoirement exact, puisqu'il colle avec les progressions: on dérive, on passe au carré et cela tombe tout cuit.
Je comprends votre réticence: ce que j'avance est comme un crime de lèse-majesté à l'égard de mimosapopeye. Mais, puisque cela est vrai, faudrait-il, par faux respect envers un contradicteur, se mettre à traîner des constructions fausses, et des erreurs néfastes qui fausseraient nos calculs?
Et la chaîne d'ancre reprend sa position initiale, selon la formule $y/k=\cosh(x/k)$ donnée par Leibniz.
Pour le (1): c'est en train de cuire, cela va finir par arriver.
Ci-dessous les chaines à 6 (bleu), 7 (magenta) et 8 (cyan) maillons pour une longueur totale $6\sqrt{2}$ et une distance $\Delta x=4$ entre les ancrages. Sur cet exemple, les énergies potentielles sont \[
\left(\begin{array}{rl}
6 & -16.4737364483198 \\
7 & -16.5015799162917 \\
8 & -16.5363179326533 \\
\infty& -16.6262301650681
\end{array}\right) \] suggérant qu'une augmentation du nombre des degrés de liberté (articulations) rend le dispositif plus efficace.
Pour ce qui est de faire passer une chainette souple par les articulations d'une chaine à maillons rigides, prenons n=6 comme exemple. Si la chainette est déterminée par la condition d'avoir la même longueur, on trouve $c=0.8772732391$ et il en résulte une erreur quadratique moyenne (aux articulations) de $0.0459922045901860$. Si la chainette est déterminée pour passer "au mieux" par les articulations (méthode des moindres carrés), on trouve $c=0.871118253759608960$ pour une erreur quadratique résiduelle moyenne de $0.0315508665920198823$.
Il n'y a donc aucune de chainette qui passe les articulations d'une chaine (à part les gags, comme les chaines à deux maillons). C'est comme cela, même si l'on considère des chainettes plus longues que la chaine. De toutes façons, la première caractéristique d'un objet inextensible... est sa longueur: les constantes restent constantes, même lorsque l'on passe à la limite.
mp @ remarque et pldx1.
Vos raisonnements sont des tautologies: vos conclusions les prémisses: vous partez du cosh pour arriver au cosh: petit parcours..
De toutes façons, nous avons un dialogue de sourds, et je vais arrêter là: si c'est pour se faire traiter d'escroc, de contre-facteur et d'arnaqueur, c'est pas la peine d'insister..: joli forum..
Pldx1, tu parles d'"articulations de même masse": pour moi les articulations d'une chaîne sont dans l'absolu du concept immatérielles, donc sans masse..
Pour la dernière fois, je dis ma vision des choses: les chaînes à maillons ont des articulations: ces articulations se projettent toutes sur la courbe d'une chaînette finale, chaînette qui se réalise par l'augmentation du nombre de maillons et donc des articulations, jusqu'à devenir lisse. Et cette chaînette, la vraie chaînette, la seule, n'est pas le cosinus hyperbolique donné par Leibniz. La courbe décrite par le cosinus hyperbolique de Leibniz n'est qu'une approximation de la vraie chaînette.
J'arrête là, parce que vous êtes sourds et aveugles: rivés sur vos formules, vous n'avez plus aucune vision globale des phénomènes. Jusqu'à devenir sectaires et intolérants. L'avenir dira qui de nous avait la raison..
Pldx1, un scientifique prouve ce qu'il dit: nous attendons encore la preuve de la pré-connaissance par les anciens de la progression arithmétique des pentes..
Ne nous emportons pas, mimosapopeye,
Évitons de nous lancer des noms d'oiseaux.
Tu as raison sur quelques points:
Oui, nous avons un dialogue de sourds parce que tu ne peux peux pas entendre nos arguments, faute d'un bagage mathématique suffisant.
remarque et pldx1 se sont efforcés de prouver leurs affirmations. De ton côté, tu t'es contenté de lancer des conjectures (progression géométrique des angles, pentes proportionnelles à la suite des nombres premiers) sans jamais arriver à les prouver. Et puis tu nous les assènes avec aplomb ou grandiloquence (voir le message initial). Je m'en suis souvent amusé, ainsi la discussion s'est prolongée de façon assez conviviale, je crois, et nous y avons pris plaisir.
Oui la chaînette, la vraie la seule (...) se réalise par l'augmentation du nombre de maillons et donc des articulations, jusqu'à devenir lisse.
Mais c'estle cosinus hyperbolique donné par Leibniz. Les lignes brisées décrites par les chaînes ne sont que des approximations de la vraie chaînette.
Puisque tu es sensible à l'argument de la suite arithmétique des pentes, je vais, une dernière fois, partir de là pour t'expliquer comment on en est venu au cosinus hyperbolique:
Dans le lissage des chaînes par l'augmentation du nombre de maillons, la pente d'un maillon élémentaire devient assimilable à la pente de la tangente de la courbe finale (idéale).
Dire que cette pente est en progression arithmétique revient alors à affirmer qu'elle est, en tout point de la chaîne, proportionnelle à la longueur totale des maillons précédents (de la demi-chaîne).
Cette proportionnalité se traduit, pardonne-moi, par $\displaystyle \int_0^x \sqrt {1+[f'(t)]^2}\ dt = k.f'(x)$
Et c'est la résolution de cette équation différentielle qui donne, à une homothétie près, $f(x)=\cosh (x)$
Maintenant pour l'affirmation: ces articulations se projettent toutes sur la courbe d'une chaînette finale, il faudrait que tu précises quelle est la "projection" que tu considères.
remarque et bisam ont montré à l'aide des développements limités, que même si tu prends des maillons petits, la troisième articulation s'écarte déjà de la courbe idéale d'un infime chouïa (voir aussi mon GeoGebra)
Pldx1, lui, a calculé que, si l'on augmente le nombre de maillons, les chaînes suivantes ne repasseront plus jamais par les mêmes points, utilisant leurs degrés de liberté plus nombreux pour se rapprocher mieux de la chaînette idéale... (à méditer)
Maintenant, si tu ne veux plus en discuter, tu peux garder tes certitudes, mais si tu veux nous convaincre, il faudra que tu apportes des preuves à tes affirmations.
Amicalement. jacquot
Et je relance ma question restée sans réponse: quelqu'un voudrait-il se pencher sur la construction de Leibniz et le texte afférent pour m'aider à comprendre comment Leibniz choisit son calibrage de la courbe exponentielle à l'aide des longueurs de deux segments ? Merci.
Pldx1, tu parles "d'articulations de même masse": pour moi les articulations d'une chaîne sont dans l'absolu du concept immatérielles, donc sans masse..
On en déduit que tous problèmes avec des tiges massives (rigides) identiques et des articulations massives (parfaites) identiques sont équivalents, quelque soit la répartition des masses entre les tiges et les articulations (remarque déjà faite par remarque).
@ mimosapopeye. Si tu as suivi la discussion, tu as constaté que plusieurs intervenants se sont posé la question de voir ce qui change lorsque l'on passe du "problème de mimosapopeye" où les tiges sont massives et identiques (masse $m>0$, longueur $\sqrt{L}$) et les articulations sont parfaites et de masse $\mu=0$ à un problème plus général où les articulations sont parfaites et de masse $\mu>0$. Le résultat est que tous ces problèmes ont la même solution tant que l'on ne change pas la distance entre les ancrages, le nombre de maillons et la longueur totale. Autrement dit, "négliger la masse des articulations" n'est pas une approximation simplificatrice, mais ne change rien à la solution.
Cette propriété est intéressante parce qu'elle permet l'expérimentation avec une vraie chaine formée de vrais maillons. En effet, dans une chaîne d'ancre, la densité linéaire est discontinue. Et en plus, il n'est pas évident de savoir à qui attribuer la partie d'un maillon qui est engagée dans le maillon suivant. Le fait que les valeurs de $m\ge 0$ et de $\mu \ge 0$ n'aient pas d'importance tant que $m+\mu >0$ et que $L$ est invariable permet de passer outre, et d'adopter une modélisation plus simple mais qui conduit à un résultat inchangé.
Cordialement, Pierre.
Edit: ajout en bleu. Cela allait sans dire, mais cela va encore mieux en le disant.
> Vos raisonnements sont des tautologies: vos conclusions les prémisses: vous partez du cosh pour arriver au cosh: petit parcours..
Non, ce n'est pas ça, tu n'as pas du tout compris. Ce que je dis est la chose suivante : si on prend une chaîne (à nombre pairs de maillons, je n'ai pas fait le calcul à nombre impair car c'était déjà pénible), il n'existe aucune chaînette, quelle que soit sa longueur, qui contienne toutes les articulations. Le raisonnement est le suivant. Soit une chaînette qui contient toutes les articulations. En particulier, elle contient la plus basse. On sait que la chaîne a ses pentes en progression arithmétique. Ce que j'ai montré, c'est que si l'on trace les deux premiers points sur la chaînette correspondant à une progression arithmétique des pentes, alors ces points ne sont pas à distance égale, au moins pour de petites pentes, donc ne peuvent pas correspondre à deux maillons de même longueur. Ca c'est établi. Par conséquent aucune chaîne de petite progression à nombre pair de maillons ne peut avoir toutes ses articulations sur une chaînette.
Par ailleurs, le calcul numérique montre que la situation empire pour les grandes pentes, mais bon, là je n'ai rien démontré car les petites pentes suffisent à infirmer ce que tu affirmais.
D'ailleurs pour les pentes grandes, c'est encore plus radical que ça. En effet, si le premier maillon a pour pente $\frac r2$ et le second maillon pour pente $\frac{3r}2$, alors on doit avoir $\frac r2\le \mathrm{sh}\,x_1\le \frac{3r}2$ avec $\frac r2=\frac{\mathrm{ch}\,x_1}{x_1}$. En particulier, cela implique que $x_1\le 3\mathrm{coth}\, x_1$, c'est-à-dire $x_1<3,\mathrm{des}\,\mathrm{poussieres}$. Au delà de ça, le deuxième maillon n'a plus la place de se loger dans la chaînette... Donc une raison maximale de l'ordre de 6,7.
Ça fait plaisir d'avoir de tes nouvelles. Peut-être remarque donnera-t-il aussi signe de vie:-S.
J'ai l'impression que ton hyperbole, c'est du Canada-dry :-D !
Prenons des chaînons de longueur $1$. Soient $x$ et $y$ les coordonnées de l'articulation médiane de droite.
La progression arithmétique des pentes qui fut notre trouvaille il y a quatre ans et qui fut établie impose :$$\dfrac {-y}{\sqrt{1-y^2}}=3\dfrac{\sqrt{1-x^2}}x$$ d'où $$9-9x^2-9y^2+8x^2y^2=0$$
En notant $X=x^2$ et $Y=y^2$ tu en tireras que $Y=\dfrac{X-1}{\frac 8 9 X-1}$ qui est bien l'équation d'une hyperbole, mais dans un repère aux coordonnées quadratiques :-S.
M'étonnerait qu'en revenant aux petits $x$ et $y$ ça reste bien hyperbolique:
$y=-\sqrt{\dfrac{x^2-1}{\frac 8 9 x^2-1}}$
Bref, ça ressemble à une hyperbole, mais ce n'en est pas une. Dommage que tu n'essayes pas de prouver tes conjectures.
Amicalement. jacquot
Réponses
Mmm, oui mais seulement si on l'a convenablement formé aux torseurs (mais pappus nous dira que cela n'existe plus depuis longtemps à la maternelle). B-)-
Allo Remarque mes escarpins de cristal se transforment encore une fois en vieilles savates nauséabondes et malodorantes, mon carrosse en citrouille... Je disparais, je m'évanouis dans un sombre néant, je me meurs, eur<eur<eur<...(c'est l'écho lugubre de la *chaîne** maudite qui servit à nous pendre... endre<endreu<endreuh...
Adiou ciao, Remarque, à bientôt j'espère
Les deux courbes ne coïncident pas: il y a un problème: ou notre théorie est fausse, ou bien alors c'est la chaînette qui n'est pas un cosinus hyperbolique... Si la chaînette n'est pas un cosinus hyperbolique, on va rentrer, toi, Remarque et moi, dans l'Histoire des Maths..
Je viens de lire dans wikipédia que " Dans le cadre de la relativité restreinte, le calcul des transformations de Lorentz fait appel à la fonction cosinus hyperbolique"... Tu te rends compte, Jacquot, on est en train de remettre en cause et revisiter les transformations de Lorentz, et la relativité restreinte d'Einstein, rien que ça... A nous la gloire, les honneurs, la médaille fields, et une rente d'état de 10000 louis d'or annuels versés par le roi hollande...
S'il s'avère que le cosinus hyperbolique est une escroquerie, alors le sinus hyperbolique et la tangente hyperbolique le seront aussi..
Il n'y a ni escroquerie, ni révolution.
Nous savions que les articulations d'une chaîne ne se trouvent pas excactement sur une chaînette. Les animations de remarque l'avaient déjà mis en évidence. Revoir, par exemple, celle ci
La chaîne ne fournit une bonne approximation de la chaînette que si les maillons sont petits et nombreux, ou encore seulement si la pente du premier maillon est très petite.
Amicalement. jacquot
C'est une affirmation gratuite: tu viens justement de remarquer que ce n'est pas vrai:
Pour comprendre pourquoi le tracé de la chaîne à maillons rectilignes s'écarte de celui de la chaînette idéale, il faut se rappeler que sa position d'équilibre est régie par le poids des maillons et le forces de tension.
Si les sommets de la chaîne étaient exactement sur la chaînette, le poids de chaque maillon serait égal à celui de l'arc de courbe qu'il sous-tend. Tous ces arcs de courbes devraient donc avoir la même masse
Or le rayon de courbure de la chaînette n'est pas constant: les arcs de courbe sous-tendus sont un peu plus longs, donc un peu plus lourds dans la partie basse de la chaînette.
Mais si tu prends des tout petits maillons, les arcs de courbe seront tous de longueur presque égale.
J'ai déplacé ton dernier message dans l'autre discussion : celle-ci est déjà assez décousue comme ça. Il n'est pas souhaitable que nous y débattions encore de la trisection de l'angle...;-). jacquot
Je viens de lire Galilée, dans "deux systèmes du monde". Il propose de tracer une parabole en calquant .. une chaînette.
Cordialement.
"Le poids de chaque maillon serait égal à celui de l'arc de courbe qu'il sous-tend": d'abord, dans le cas d'une chaîne à maillons, l'arc de courbe que sous-tend un maillon est virtuel, et n'a donc aucune masse; ensuite, si tu tiens absolument à lui donner une masse, alors dans ce cas-là tu compares deux objets qui n'ont pas la même longueur, tu fais un amalgame entre la longueur x d'une chaîne à maillons, et la longueur y d'une chaînette qui recouvrirait les points d'articulation de la chaîne à maillons: le poids d'une longueur x diffère du poids d'une longueur y, il n'y a rien d'anormal là-dedans. D'ailleurs, quand tu donnes la même longueur à la chaîne et à la chaînette, comme l'a fait Remarque dans ses animations, ça ne colle plus: vous comparez deux choses incomparables.
"La position d'équilibre est régie par le poids des maillons": oui, mais la position d'équilibre dont tu parles est surtout et avant tout un rapport, la résultante d'un rapport, et d'un rapport qui reste le même quel que soit le nombre de maillons de la chaîne.. Donc la position d'équilibre est toujours régie par un même rapport (rapport qui en fait n'est autre que la raison de la progression arithmétique des tangentes des pentes).. CQFD ??
Tu pousses un peu, c'est exactement le contraire : elles sont éminemment comparables. Dans tous les cas, il est clair (mais c'est sans doute difficile à montrer) qu'aucune chaînette de quelque longueur qu'elle soit ne passe exactement par la position des articulations entre maillons d'une chaîne. D'ailleurs pourquoi te focaliser sur les articulations et pas sur les centres de gravité des maillons ? Ou sur les barycentres entre deux articulations construits sur la progression des nombres premiers ?
L'argument de jacquot est correct. Edit : mmmmm, finalement tu n'as peut-être pas tort sur l'aspect couple, il faudrait creuser un peu plus peut-être. Sans aucune chance que cela ne change le résultat.
J'approuve en tous points la réponse de remarque :
Il n'y a pas de raison que les articulations d'une chaîne se trouvent exactement sur une chaînette, mais , si les maillons sont très petits, ils se trouveront très près d'une chaînette donc leurs articulations aussi.
Je suis d'accord aussi pour ce qui concerne les moments: l'objection est recevable, j'avais répondu rapidement, à l'emporte-pièces, mais il n'y a pas de raison qu'ils "compensent" exactement les écarts de poids, à moins que mimosapopeye ne sache nous le prouver !
Je commence à me demander qu'est-ce qui t'anime, mimosapopeye ?
Apparemment, tu voudrais trouver une construction exacte de la chaînette ou de ses points avec règle et compas.
Avec la progression arithmétique des pentes, nous t'avons fourni une construction approximative de bonne qualité.
Mais quant à une construction exacte, je ne suis pas sûr qu'elle soit possible, puisque le cosinus hyperbolique est une fonction transcendante.
Faudrait peut-être étudier le texte de Leibniz que tu as cité au début de la discussion, mais apparemment, tu penses que c'est trop compliqué.
Amicalement. jacquot
Grosso modo, j'ai l'impression qu'il décrit d'abord l'obtention de la courbe verte qu'il appelle "logarithmique". En fait, il s'agit d'une exponentielle.
Connaissant le point A et le point $_3\xi$, il peut trouver une flopée d'autres points par moyennes arithmétique et géométrique:
Nous savons bien que $e^{\frac {a+b}2}=\sqrt {e^a\times e^b}$.
Ensuite la chaînette rouge sera obtenue par moyennes arithmétiques des ordonnées de points d'abscisses opposées à l'instar de ce que j'expliquais ici, page 1.
Mais, comme nous le remarquions avec soland, il n'existe qu'une seule chaînette, aux homothéties près, donc la courbe verte est, à une homothétie près, une exponentielle de base e
Ainsi, je ne comprends pas bien comment Leibniz obtient le bon calibrage de cette exponentielle grâce à ses segments D et K (d'où les sort-il ?).
D'ailleurs, au début de son texte, il écrit que $OA$ est "un segment perpendiculaire égal à $O\ _3N$ ce qui n'est manifestement pas le cas sur sa figure...
Jacquot, ta tentative de décryptage du grimoire de Leibniz est louable, mais on ne tirera rien de cet obscur parchemin..
Revenons à nos propres et chers moutons: progression arithmétique vs cosinus hyperbolique..
Ce qui m'anime, c'est simple: essayer de comprendre.
La progression arithmétique des pentes me remplit de bonheur (n'efface pas le message), c'est tellement simple, tellement limpide, presque effayant..
Tu dis que c'est une construction approximative de bonne qualité: je te trouve encore une fois bien modeste: cette construction est peut-être tout bonnement la vraie, la plus exacte qui soit, la seule et la plus optimale..
Or il se trouve que les progressions arithmétiques et le cosinus hyperbolique ne sont pas copains. Pour éluder cette mésentente entre eux, vous invoquez, toi et Remarque, une différence de nature entre les chaînes à maillons d'un côté, qui seraient multiples, et la chaînette d'un autre côté .. Et moi je dis que les unes et les autres ne font qu'un: ce sont toujours les mêmes: il n'y a qu'une seule et même chaînette, comme il n'y a qu'une seule et même parabole..
Du coup, si les progressions arithmétiques des pentes d'une chaîne, ou chaînette (il n'y a aucune différence), sont exactes, alors le cosinus hyperbolique, lui, est obligatoirement inexact, puisqu'il ne colle pas avec les progressions...
Je comprends votre réticence: ce que j'avance est comme un crime de lèse-majesté à l'égard de nos anciens.. Mais si c'était vrai? Faudrait-il, par faux respect envers nos maîtres, continuer à traîner des constructions fausses, et des erreurs néfastes qui faussent nos calculs?
Je suis évidemment incapable de prouver que les moments compensent les écarts de poids.. Je marche à l'intuition.
C'est pourquoi je demande aux esprits de Pappus, de Soland, et des autres sommités agrégées du forum, de se manifester, et de nous éclairer (avec simplicité si possible) ..
$$l_1^2=\Bigl(1+\frac{r^2}4\Bigr)x_1^2\hbox{ et }l_2^2=(1+4r^2)(x_2-x_1)^2.$$
La difficulté est que $x_1$ et $x_2$, et donc $l_1$ et $l_2$, dépendent de $r$ de façon compliquée via les équations implicites
\begin{align*}
r\frac{x_1}2&=\mathrm{ch}\,x_1-1\\
r\frac{x_1}2+2r(x_2-x_1)&=\mathrm{ch}\,x_2-1.
\end{align*}
J'ai la flemme d'aller plus loin, mais je veux bien subir toutes sortes d'outrages si la MH est vraie, c'est-à-dire si $\frac{l_1^2(r)}{l_2^2(r)}=1$ pour tout $r$, voire même pour un seul $r>0$.
Edit : un minuscule 1/2 manquant rajouté...
Si $\ell_1$ et $\ell_2$ sont les longueurs des deux premiers maillons, on a bien $\lim_{r\to 0}\dfrac {\ell_1}{\ell_2}=1$, mais je crois que cette limite est approchée de façon asymptotique.
J'ai préféré faire un dessin que de calculer:
Le segment $AB$ a une pente de $r/2$, le segment $BC$ a une pente de $3r/2$ ;
leurs longueurs sont respectivement $a$ et $b$.
Le point $M$ a pour coordonnées $(a ; 10 \frac {b-a}a )$ (son ordonnée est l'erreur relative multipliée par 10)
La courbe décrite par M lorsque $a$ varie corrobore ce que je me tue à répéter à mp depuis quelques temps: La chaîne fournit une bonne approximation de la chaînette.
Cette approximation devient excellente si les maillons sont petits et la pente du premier est petite.
Mais je pense comme toi qu'on n'aura jamais la coïncidence parfaite.
Bien sûr, la trajectoire de M semble confondue avec l'axe des abscisses pour $a<0,2$
Mais j'ai fait des zoom en multipliant l'erreur relative par 1000 pour vérifier son comportement asymptotique.
$$l_1^2=\Bigl(1+\frac{r^2}4\Bigr)x_1^2\hbox{ et }l_2^2=\Bigl(1+\frac{9r^2}4\Bigr)(x_2-x_1)^2,$$
avec
\begin{align*}
rx_1/2&=\mathrm{ch}\,x_1-1\\
r(3x_2/2-x_1)&=\mathrm{ch}\,x_2-1.
\end{align*}
Ce qui donne $x_1\sim r$ et $x_2\sim 2r$ au voisinage de $0$, d'où
$$\frac{l_1(r)^2}{l_2(r)^2}\sim\frac{4+r^2}{4+9r^2}<1$$
pour $r>0$ (je sais que je n'ai pas droit au $\sim$ pour la dernière relation 8-), mais je n'ai pas envie de faire des vrais DL).
* c'est peut-être ce calcul qui est faux, bien sûr... :-D
Jacquot, effectivement, la courbe décrite par un cosinus hyperbolique est une excellente approximation des chaînes à maillons, et de la véritable chaînette ..
On attend toujours l'avis éclairé et éclairant des grands pontes du forum: la question est: le cosinus hyperbolique décrit-il exactement la chaînette ?
@ remarque: tes calculs sont douteux:
Comment passes-tu de $\frac 3 2 r(x_2-x_1)=\mathrm{ch}x_2 -\mathrm{ch}\ x_1$
à $r(3x_2/2-x_1)=\mathrm{ch}\ x_2-1$ ?
Et d'où sors-tu ceci: $x_1\sim r$ et $x_2\sim 2r$ au voisinage de $0$ ?
Par ailleurs GeoGebra me montre que le développement limité d'ordre 2 $\
\mathrm{ch}\ x \sim 1+x^2/2$ au voisinage de 0 ne donnera rien de probant (là $\ell_2>\ell_1$), il faudra vraisemblablement aller au rang 4 $\
\mathrm{ch}\ x \sim 1+x^2/2+x^4/24$ :-(
Je n'ai pas le courage.
@ mimosapopeye: ta dernière question est vraiment désarmante : il est temps de faire un peu plus confiance au génie de Leibniz. L'équation de la chaînette s'obtient par la résolution d'une équation différentielle à partir de considérations physiques (Voir la discussion équadiff pour une chaînette).
J'ai l'impression que tu ne veux pas entendre parler du cosinus hyperbolique parce que tu n'as pas bien compris cette méthode.
@ tutti : quelqu'un saurait-il m'éclairer sur le calibrage de la courbe exponentielle sur la figure de Leibniz ? (Voir ce message plus haut, le texte afférent est mis en lien dans le message précédent).
Bonne journée à tous.jacquot
Mais la figure GeoGebra ci-dessous montre que le DL d'ordre 2 n'est pas concluant puisque , E étant placé sur $y=1+x^2/2$, on a $\ell_1<BE$ alors qu'en réalité $\ell1 > \ell_2$
Je donne quand même les résultats : $x_1(r)=r-\frac{r^3}{12}+O(r^4)$, $x_2=2r-\frac{7r^3}6+O(r^4)$, d'où malheureusement $l_1^2=r^2+\frac{r^4}{12}+O(r^5)$ et $l_2^2=r^2+\frac{r^4}{12}+O(r^5)$.... C'est plus pénible que prévu.
Edit: correction, il y avait un $-$ évidemment à comprendre au sens de $+$.
Cela n'illustre-t-il pas , justement, que la chaîne devient chaînette quand le maillons sont bien petits ?
Bon, les calculs aux ordres supérieurs sont un peu immondes à la main. Je ne sais pas si ça vaut le coup...
Je ne suis pas sûr que mp voudra entendre des arguments d'ordre 6 ;-)
Pour ma part, je suis plus motivé par le décryptage du texte de Leibniz..
$$\frac{l_1^2}{l_2^2}=\frac{1+\frac{r^2}{12}+\frac{r^4}{720}+O(r^5)}{1+\frac{r^2}{12}-\frac{12619r^4}{4560}+O(r^5)}>1$$
pour $r>0$ petit ! Yesss.
Evidemment, confiance zéro dans ce résultat obtenu à la main... :-D
mimosapopeye a lancé cette discussion en affirmant que:
Or " l'analyse me dépasse " nous dit mimosapopeye. Voyons donc ce que donne l'algèbre. Nous considérons un engin articulé à cinq branches. On appelle $\left(\pm x_{2},y_{2}\right)$ les coordonnées des ancrages et $\left(\pm x_{1},y_{1}\right),\,\left(\pm x_{0},y_{0}\right)$ les coordonnées des articulations. L'objectif est de minimiser l'énergie potentielle \[ W_{pot}=\sum w_{j}=\frac{y_{0}+y_{1}}{2}+\frac{y_{1}+y_{2}}{2}+y_{2}+\frac{y_{1}+y_{2}}{2}+\frac{y_{0}+y_{1}}{2} \] sachant que \begin{eqnarray*} \left(x_{0}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{0}-y_{1}\right)^{2} & = & L\\ \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2} & = & L\\ \left(x_{2}-\left(-x_{2}\right)\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{2}\right)^{2} & = & L \end{eqnarray*}
Comme une chainette est suspendue par des points de suspension fixés $\left(\pm x_{n},\, y_{n}\right)$, le problème se ramène à minimiser $2\,y_{0}+2\,y_{1}$. On en déduit que tous problèmes avec des tiges massives (rigides) identiques et des articulations massives (parfaites) identiques sont équivalents, quelque soit la répartition des masses entre les tiges et les articulations (remarque déjà faite par remarque).
On introduit la fonction de Lagrange: \[ \mathcal{L}=\left(4\, x_{0}^{2}-L\right)c_{0}+2\,\left(\left(x_{0}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{0}-y_{1}\right)^{2}-L\right)c_{1}+2\,\left(\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}-L\right)c_{2}+2\, y_{0}+2\, y_{1} \] et on dérive (rappelons que la dérivation d'un polynôme n'est pas une effrayante opération analytique, mais une banale opération algébrique). Et cela fournit $7$ équations pour 10 lettres. Usuellement, $\left(L,x_{n},y_{n}\right)$ sont considérés comme connus et servent à paramétrer le problème. Mimosapopeye nous propose de paramétrer par $\left(L,t,y_{n}\right)$ en posant $t=\left(y_{1}-y_{0}\right)\div\left(x_{1}-x_{0}\right)$. Pourquoi pas!
On commence par résoudre les équations du premier degré. Cela donne: \[ c_{0}=\dfrac{1}{4\, tx_{0}},\, c_{1}=\dfrac{1}{2t\left(x_{1}-x_{0}\right)},\, c_{2}=\dfrac{1}{2t\left(x_{2}-x_{1}\right)},y_{2}=0,y_{1}=2\, t\left(x_{1}-x_{2}\right),y_{0}=2\, t\left(x_{1}-x_{2}\right)+t\left(x_{0}-x_{1}\right) \] Le moins que l'on puisse dire est que l'on constate une certaine régularité. Nous avons: \[ c_{j}=\frac{1}{2t\,\Delta x}\;;\;\left(y_{j+1}-y_{j}\right)=j\times t\left(x_{j+1}-x_{j}\right) \] Et il n'est pas bien compliqué de montrer que ces formules s'appliquent à toutes les chainettes ayant un nombre impair de tiges: passer de $2n+1$ à $2n+3$ introduit trois variables de plus: $x_{n+1},y_{n+1},c_{n+1}$ et les équations en $y_{n+1}$et $c_{n+1}$ sont du premier degré: la récurrence est immédiate.
Ceci règle le sort de la deuxième affirmation: les pentes sont en progression arithmétique (comme il est bien connu depuis Leibnitz) et donc les angles ne sont pas en progression géométrique. Prétendre justifier cette affirmation par le fait que tangente et angle sont proportionnels tant qu'ils sont infinitésimaux est une escroquerie pure et simple, équivalente à prétendre qu'un prêt à intérêt composé équivaut à un prêt à intérêt simple sous prétexte que la première année cela donne la même chose, et que la deuxième année ce n'est pas très différent.
Voyons maintenant ce que donne la construction de proche en proche qui nous a été proposée. Une fois revenu aux équations correctes, cela revient à utiliser la succession d'équations: $4\, x_{0}^{2}=L,\quad\forall j>0:\,\left(j^{2}t^{2}+1\right)\left(x_{j}-x_{j-1}\right)^{2}=L$. Mais ceci ne fournit une construction à la règle et au compas que si la pente élémentaire $t$ est connue.
Et cela est une deuxième escroquerie. Lorsque l'on attache une chaine à ses points de suspension, ce qui est connu ce n'est pas la pente élémentaire résultante, mais l'écartement des ancrages (ici $2x_{2}$, pour 5 maillons). Avec trois maillons, l'élimination de toutes les autres inconnues conduit à: \[ \left(4\, x_{1}^{2}-L\right)^{2}t^{4}+2\,\left(16\, x_{1}^{4}-24\, Lx_{1}^{2}-3\, L^{2}\right)t^{2}+\left(4\, x_{1}^{2}-L\right)\left(4\, x_{1}^{2}-9\, L\right) \] équation bicarrée et donc constructible. Avec cinq maillons, on obtient: \begin{multline*} E_{16}\left(t\right)=256\,\left(4\, x_{2}^{2}-L\right)^{4}t^{16}+1280\,\left(16\, x_{2}^{4}-24\, Lx_{2}^{2}-3\, L^{2}\right)\left(4\, x_{2}^{2}-L\right)^{2}t^{14}\\ +32\,\left(21248\, x_{2}^{8}-63744\, Lx_{2}^{6}+33696\, L^{2}x_{2}^{4}-1616\, L^{3}x_{2}^{2}+363\, L^{4}\right)t^{12}\\ +80\,\left(2368\, x_{2}^{6}-8880\, Lx_{2}^{4}+5244\, L^{2}x_{2}^{2}-217\, L^{3}\right)\left(4\, x_{2}^{2}-L\right)t^{10}\\ +\left(491776\, x_{2}^{8}-2458880\, Lx_{2}^{6}+2557792\, L^{2}x_{2}^{4}-848592\, L^{3}x_{2}^{2}+33489\, L^{4}\right)t^{8}\\ +20\,\left(9472\, x_{2}^{8}-56832\, Lx_{2}^{6}+72480\, L^{2}x_{2}^{4}-28480\, L^{3}x_{2}^{2}+1137\, L^{4}\right)t^{6}\\ +2\,\left(21248\, x_{2}^{8}-148736\, Lx_{2}^{6}+224928\, L^{2}x_{2}^{4}-90512\, L^{3}x_{2}^{2}+7355\, L^{4}\right)t^{4}\\ +20\,\left(16\, x_{2}^{4}-120\, Lx_{2}^{2}+165\, L^{2}\right)\left(4\, x_{2}^{2}-L\right)^{2}t^{2}+\left(4\, x_{2}^{2}-L\right)^{2}\left(4\, x_{2}^{2}-9\, L\right)\left(4\, x_{2}^{2}-25\, L\right) \end{multline*}
Je ne doute pas un instant que $E_{16}\left(t\right)$ puisse se résoudre par une tour d'extensions quadratiques, mais je demande à voir. Plus généralement, quelles sont les équations dont les pentes seraient solution ? Quelle serait la décomposition de ces équations en une succession d'équations du second degré en partant des deux données naturelles que sont la longueur de la chaine et l'écartement des ancrages?
Si l'on s'intéresse aux chaines avec un nombre pair de maillons, on obtient des résultats analogues, à ceci près que les pentes sont les multiples impairs de la pente élémentaire. Le "contenu physique" de ce résultat est tout entier contenu dans le fait que l'énergie potentielle à minimiser est $2\,y_1 +2\,y_2 +y_3$ pour six maillons (et donc 5 articulations).
Ci-dessous une figure, avec trois chaines de même longueur $6\sqrt{2}$ et le même écartement des ancrages ($\Delta x=4$). En trait continu, la chainette souple selon l'équation de Leibnitz. En bleu, la chaine à six maillons et en magenta, la chaine à sept maillons.
Question: déterminer et comparer l'énergie potentielle des trois configurations (prendre comme référence l'énergie de la chaine lorsqu'elle est toute entière à la hauteur des ancrages).
Question subsidiaire. Pour la chaine à sept maillons, l'équation en $t$ est de degré $48$ avec, pour l'exemple numérique, les quatre racines réelles suivantes: \[ \pm1.398882465132293903,\pm0.503453895987062115 \] Les valeurs $\pm1.4$ sont les pentes à gauche et à droite de la tige horizontale. Quelle interprétation donner aux valeurs $\pm0.5$ ?
Cordialement, Pierre.
Je trouve :
$x_1=r-\frac{r^3}{12}+\frac{13}{720}r^5+O(r^7)$ donc $\ell_1^2=r^2+\frac{r^4}{12}+\frac{r^6}{720}+O(r^8)$
puis :
$x_2=2r-\frac{7}{6}r^3+\frac{553}{360}r^5+O(r^7)$ donc $\ell_2^2=r^2+\frac{r^4}{12}-\frac{479}{720}r^6+O(r^8)$
Et finalement : $\frac{\ell_1^2}{\ell_2^2}=1+\frac{2}{3}r^4+O(r^6)>1$ si $r$ est suffisamment petit.
Mais bon, la conclusion reste la même... alors on peut pardonner une erreur sur un coefficient à l'ordre 6
PS : J'avoue avoir sorti la TI pour faire les calculs... mais c'est moi qui l'ai programmée pour calculer les DL de fonctions réciproques et les DL de fonctions implicites... alors ça compte, non ?
@ pldx1 : remarquable exploitation de l'énergie potentielle.
Pour la comparaison de cette énergie suivant le nombre de maillons, sans calcul, je conjecture qu'elle décroît avec le nombre de maillons. En tous cas c'est sûr pour le passage d'une chaîne de $n$ maillons à une chaîne de $2n$ maillons puisque si chacun des maillons de la première était doté d'une articulation en son milieu, la chaîne utilisera ce degré de liberté supplémentaire pour minimiser son énergie potentielle.
Pour l'interprétation des $\pm 0,503..$ des solutions de l'équation aux pentes de la 7-chaîne, je sèche :-S
@ bisam : mon GeoGebra confirme ton résultat $\dfrac {\ell_1^2}{\ell_2^2}=1+\frac 2 3 r^4+ O(r^6)$
Ainsi, pour $x_1 = 0,15$, il affiche $r= 0,15028$ et $\dfrac {\ell_1^2}{\ell_2^2}=1,00033$, conforme à $1+\frac 2 3 r^4$ le calcul à la dernière décimale près.
Merci aussi à remarque pour sa patience et sa persévérance.
jacquot
Pdlx1, pourquoi insinues-tu par deux fois que je suis un escroc, alors que je ne fais que poser des questions sans rien affirmer de définitif ?
Tes calculs ont beaucoup d'allure, beaucoup de panache, mais ne m'ont pas convaicu.. Je suis d'accord pour l'écartement des ancrages: il faut qu'ils soient les mêmes pour pouvoir comparer le cosh de Leibniz avec des chaînes à maillons.. Là où je ne te suis pas, c'est dans l'obligation d'avoir la même longueur pour les trois chaînes: il est clair que les articulations d'une chaîne à maillons ne pourront se positionner sur la courbe d'une chaînette physique souple, que si les deux chaînes en question ont une longueur différente: la concordance n'est pas possible autrement ..
Par les points bleus de ta figure on peut faire passer une chaînette physique souple réelle, qui ne sera pas le cosh de Leibniz.. Idem pour les points magenta de la chaîne à sept maillons.. Est-ce trop te demander de refaire tes calculs en intégrant cette optique ?
Tu dis par ailleurs qu'il est bien connu depuis Leibniz que les pentes des chaînes à maillons sont en progression arithmétique: je te défie de nous fournir un exemple certain de cette connaissance dans le passé (texte, illustration, ou même simple allusion) avec les termes "pentes des maillons en progression arithmétique" .. Je sens qu'on va attendre longtemps..
Amicalement, (sans la moindre velléité d'escroquer quiconque) ..
@mimosapopeye
Dans ma façon de voir les choses, un escroc est quelqu'un qui commet volontairement une escroquerie dans le but d'en tirer un bénéfice. Et donc, je ne suggère pas que tu sois un escroc. Je ne suggère pas non plus que tu sois un prestidigitateur. Car un prestidigitateur est quelqu'un qui réussit des tours de passe-passe sans que l'on voie où est l'arnaque. Si l'une des trois expressions "escroquerie", "arnaque", "tour de passe-passe" te convient plus qu'une autre, il suffit que tu le dises, je corrigerai mon message.
@ sur le fond: "Par les points bleus de ta figure on peut faire passer une chaînette physique souple réelle, qui ne sera pas le cosh de Leibniz". J'ai l'impression que tu affirmes deux choses en même temps.
(1) par les points bleus (de la chaine à six maillons de longueurs égales) on peut faire passer une chainette souple (d'une longueur ou une autre)
(2) il peut exister une chainette souple, physique, réelle, qui ne soit pas un $y/k=\cosh(x/k)$ de Leibniz.
Pour ce qui est du (2) on part du fait que les pentes sont proportionnelles à la longueur de la chaine entre le bas et le maillon considéré. Cela est vrai pour les chaines à nombre pair de maillons et aussi pour les chaines à nombre impair de maillons. On passe à la limite et on a: la pente en un point de la chainette est proportionnelle à la longueur depuis le bas. L'interprétation physique est: la pente est proportionnelle à la masse depuis le bas, mais on suppose depuis le début que les densités sont constantes (tiges de mêmes masses et mêmes longueurs, articulations de mêmes masses). On a donc, en comptant les abscisses depuis le point bas:\[ y'\left(x\right) = k\,\, \int_0^{z=x}\sqrt{1+\left( y'(z) \right)^2} \,\,\mathrm{d}z \]
Et nous avons alors deux points de vue:
Et la chaîne d'ancre reprend sa position initiale, selon la formule $y/k=\cosh(x/k)$ donnée par Leibniz.
Pour le (1): c'est en train de cuire, cela va finir par arriver.
Cordialement, Pierre.
Ci-dessous les chaines à 6 (bleu), 7 (magenta) et 8 (cyan) maillons pour une longueur totale $6\sqrt{2}$ et une distance $\Delta x=4$ entre les ancrages. Sur cet exemple, les énergies potentielles sont \[
\left(\begin{array}{rl}
6 & -16.4737364483198 \\
7 & -16.5015799162917 \\
8 & -16.5363179326533 \\
\infty& -16.6262301650681
\end{array}\right) \] suggérant qu'une augmentation du nombre des degrés de liberté (articulations) rend le dispositif plus efficace.
Pour ce qui est de faire passer une chainette souple par les articulations d'une chaine à maillons rigides, prenons n=6 comme exemple. Si la chainette est déterminée par la condition d'avoir la même longueur, on trouve $c=0.8772732391$ et il en résulte une erreur quadratique moyenne (aux articulations) de $0.0459922045901860$. Si la chainette est déterminée pour passer "au mieux" par les articulations (méthode des moindres carrés), on trouve $c=0.871118253759608960$ pour une erreur quadratique résiduelle moyenne de $0.0315508665920198823$.
Il n'y a donc aucune de chainette qui passe les articulations d'une chaine (à part les gags, comme les chaines à deux maillons). C'est comme cela, même si l'on considère des chainettes plus longues que la chaine. De toutes façons, la première caractéristique d'un objet inextensible... est sa longueur: les constantes restent constantes, même lorsque l'on passe à la limite.
Cordialement, Pierre.
Vos raisonnements sont des tautologies: vos conclusions les prémisses: vous partez du cosh pour arriver au cosh: petit parcours..
De toutes façons, nous avons un dialogue de sourds, et je vais arrêter là: si c'est pour se faire traiter d'escroc, de contre-facteur et d'arnaqueur, c'est pas la peine d'insister..: joli forum..
Pldx1, tu parles d'"articulations de même masse": pour moi les articulations d'une chaîne sont dans l'absolu du concept immatérielles, donc sans masse..
Pour la dernière fois, je dis ma vision des choses: les chaînes à maillons ont des articulations: ces articulations se projettent toutes sur la courbe d'une chaînette finale, chaînette qui se réalise par l'augmentation du nombre de maillons et donc des articulations, jusqu'à devenir lisse. Et cette chaînette, la vraie chaînette, la seule, n'est pas le cosinus hyperbolique donné par Leibniz. La courbe décrite par le cosinus hyperbolique de Leibniz n'est qu'une approximation de la vraie chaînette.
J'arrête là, parce que vous êtes sourds et aveugles: rivés sur vos formules, vous n'avez plus aucune vision globale des phénomènes. Jusqu'à devenir sectaires et intolérants. L'avenir dira qui de nous avait la raison..
Pldx1, un scientifique prouve ce qu'il dit: nous attendons encore la preuve de la pré-connaissance par les anciens de la progression arithmétique des pentes..
Évitons de nous lancer des noms d'oiseaux.
Tu as raison sur quelques points:
Oui, nous avons un dialogue de sourds parce que tu ne peux peux pas entendre nos arguments, faute d'un bagage mathématique suffisant.
remarque et pldx1 se sont efforcés de prouver leurs affirmations. De ton côté, tu t'es contenté de lancer des conjectures (progression géométrique des angles, pentes proportionnelles à la suite des nombres premiers) sans jamais arriver à les prouver. Et puis tu nous les assènes avec aplomb ou grandiloquence (voir le message initial). Je m'en suis souvent amusé, ainsi la discussion s'est prolongée de façon assez conviviale, je crois, et nous y avons pris plaisir.
Oui la chaînette, la vraie la seule (...) se réalise par l'augmentation du nombre de maillons et donc des articulations, jusqu'à devenir lisse.
Mais c'est le cosinus hyperbolique donné par Leibniz. Les lignes brisées décrites par les chaînes ne sont que des approximations de la vraie chaînette.
Puisque tu es sensible à l'argument de la suite arithmétique des pentes, je vais, une dernière fois, partir de là pour t'expliquer comment on en est venu au cosinus hyperbolique:
Dans le lissage des chaînes par l'augmentation du nombre de maillons, la pente d'un maillon élémentaire devient assimilable à la pente de la tangente de la courbe finale (idéale).
Dire que cette pente est en progression arithmétique revient alors à affirmer qu'elle est, en tout point de la chaîne, proportionnelle à la longueur totale des maillons précédents (de la demi-chaîne).
Cette proportionnalité se traduit, pardonne-moi, par $\displaystyle \int_0^x \sqrt {1+[f'(t)]^2}\ dt = k.f'(x)$
Et c'est la résolution de cette équation différentielle qui donne, à une homothétie près, $f(x)=\cosh (x)$
Maintenant pour l'affirmation: ces articulations se projettent toutes sur la courbe d'une chaînette finale, il faudrait que tu précises quelle est la "projection" que tu considères.
remarque et bisam ont montré à l'aide des développements limités, que même si tu prends des maillons petits, la troisième articulation s'écarte déjà de la courbe idéale d'un infime chouïa (voir aussi mon GeoGebra)
Pldx1, lui, a calculé que, si l'on augmente le nombre de maillons, les chaînes suivantes ne repasseront plus jamais par les mêmes points, utilisant leurs degrés de liberté plus nombreux pour se rapprocher mieux de la chaînette idéale... (à méditer)
Maintenant, si tu ne veux plus en discuter, tu peux garder tes certitudes, mais si tu veux nous convaincre, il faudra que tu apportes des preuves à tes affirmations.
Amicalement. jacquot
Et je relance ma question restée sans réponse: quelqu'un voudrait-il se pencher sur la construction de Leibniz et le texte afférent pour m'aider à comprendre comment Leibniz choisit son calibrage de la courbe exponentielle à l'aide des longueurs de deux segments ? Merci.
@ mimosapopeye. Si tu as suivi la discussion, tu as constaté que plusieurs intervenants se sont posé la question de voir ce qui change lorsque l'on passe du "problème de mimosapopeye" où les tiges sont massives et identiques (masse $m>0$, longueur $\sqrt{L}$) et les articulations sont parfaites et de masse $\mu=0$ à un problème plus général où les articulations sont parfaites et de masse $\mu>0$. Le résultat est que tous ces problèmes ont la même solution tant que l'on ne change pas la distance entre les ancrages, le nombre de maillons et la longueur totale. Autrement dit, "négliger la masse des articulations" n'est pas une approximation simplificatrice, mais ne change rien à la solution.
Cette propriété est intéressante parce qu'elle permet l'expérimentation avec une vraie chaine formée de vrais maillons. En effet, dans une chaîne d'ancre, la densité linéaire est discontinue. Et en plus, il n'est pas évident de savoir à qui attribuer la partie d'un maillon qui est engagée dans le maillon suivant. Le fait que les valeurs de $m\ge 0$ et de $\mu \ge 0$ n'aient pas d'importance tant que $m+\mu >0$ et que $L$ est invariable permet de passer outre, et d'adopter une modélisation plus simple mais qui conduit à un résultat inchangé.
Cordialement, Pierre.
Edit: ajout en bleu. Cela allait sans dire, mais cela va encore mieux en le disant.
Non, ce n'est pas ça, tu n'as pas du tout compris. Ce que je dis est la chose suivante : si on prend une chaîne (à nombre pairs de maillons, je n'ai pas fait le calcul à nombre impair car c'était déjà pénible), il n'existe aucune chaînette, quelle que soit sa longueur, qui contienne toutes les articulations. Le raisonnement est le suivant. Soit une chaînette qui contient toutes les articulations. En particulier, elle contient la plus basse. On sait que la chaîne a ses pentes en progression arithmétique. Ce que j'ai montré, c'est que si l'on trace les deux premiers points sur la chaînette correspondant à une progression arithmétique des pentes, alors ces points ne sont pas à distance égale, au moins pour de petites pentes, donc ne peuvent pas correspondre à deux maillons de même longueur. Ca c'est établi. Par conséquent aucune chaîne de petite progression à nombre pair de maillons ne peut avoir toutes ses articulations sur une chaînette.
Par ailleurs, le calcul numérique montre que la situation empire pour les grandes pentes, mais bon, là je n'ai rien démontré car les petites pentes suffisent à infirmer ce que tu affirmais.
Tout va bien sauf que j'ai pas d'ordi en propre.
A +
Ça fait plaisir d'avoir de tes nouvelles. Peut-être remarque donnera-t-il aussi signe de vie:-S.
J'ai l'impression que ton hyperbole, c'est du Canada-dry :-D !
Prenons des chaînons de longueur $1$. Soient $x$ et $y$ les coordonnées de l'articulation médiane de droite.
La progression arithmétique des pentes qui fut notre trouvaille il y a quatre ans et qui fut établie impose :$$\dfrac {-y}{\sqrt{1-y^2}}=3\dfrac{\sqrt{1-x^2}}x$$ d'où $$9-9x^2-9y^2+8x^2y^2=0$$
En notant $X=x^2$ et $Y=y^2$ tu en tireras que $Y=\dfrac{X-1}{\frac 8 9 X-1}$ qui est bien l'équation d'une hyperbole, mais dans un repère aux coordonnées quadratiques :-S.
M'étonnerait qu'en revenant aux petits $x$ et $y$ ça reste bien hyperbolique:
$y=-\sqrt{\dfrac{x^2-1}{\frac 8 9 x^2-1}}$
Bref, ça ressemble à une hyperbole, mais ce n'en est pas une. Dommage que tu n'essayes pas de prouver tes conjectures.
Amicalement. jacquot